MAT1110

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Kalkulus og lineær algebra

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Karakteristisk polynom: $\det(\lambda I - A) = 0$
•Egenverdiproblemet: $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
•Grenseverdi: $A^n \mathbf{x}_0 = \sum_i c_i \lambda_i^n \mathbf{v}_i$
•Basis-test: $\det(\mathbf{v}_1 \; \mathbf{v}_2 \; \mathbf{v}_3) \neq 0 \iff \text{basis for } \mathbb{R}^3$
•For $2 \times 2$: $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$

Lineaere likningssystemer og matriser

•Dimensjonssetningen: $\text{rang}(A) + \dim(\text{nullrom}) = \text{antall kolonner}$
•Invers $2\times2$: $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
•Løsning via invers: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
•Normallikningene (minste kvadrater): $A^T A \mathbf{x} = A^T \mathbf{b}$

Partielle deriverte og gradient

•Gradient: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
•Kjerneregel: $\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = f_x \cdot x'(t) + f_y \cdot y'(t)$
•Tangentplan: $z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
•Implisitt derivasjon: $g'(x) = -\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}$
•Normalvektor til $F(x,y,z)=c$: $\mathbf{n} = \nabla F$

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Stasjonaert punkt: $\nabla f(a,b) = \mathbf{0}$ , dvs. $f_x = f_y = 0$
•Andrederiverttesten: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0, \; A > 0 \Rightarrow$ lokalt minimum
• $D > 0, \; A < 0 \Rightarrow$ lokalt maksimum
• $D < 0 \Rightarrow$ sadelpunkt

Lagranges multiplikatormetode

•Lagranges likninger: $\nabla f = \lambda \nabla g, \quad g(\mathbf{x}) = 0$
•For to variable: $f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x,y) = 0$
•Med flere bibetingelser: $\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2$
•Sammenlign f-verdier i alle kandidatpunkter for å avgjore maks/min

Rekker og konvergensomrade

•Forholdstesten: $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
•Geometrisk rekke: $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1$
•Logaritmerekke: $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad -1 \le x < 1$
• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
•Konvergensomrade: $|x| < R$, sjekk endepunktene separat
•Forholdstest for tallrekke: $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \Rightarrow \text{konvergens}$
•p-rekke: $\sum \frac{1}{n^p} \text{ konvergerer} \iff p > 1$
•Leibniz: alternerende, $a_n \downarrow 0$ gir konvergens

Dobbelt- og trippelintegraler

•Polarkoordinater: $dA = r\,dr\,d\theta$
•Sylinderkoordinater: $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
•Kulekoordinater: $dV = \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$
•Variabelskifte: $dA = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv$
•Flateareal: $A = \iint_D \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA$

Parametriserte kurver og buelengde

•Fart: $v(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\textstyle\sum_i x_i'(t)^2}$
•Buelengde: $L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\, dt$
•Linjeintegral: $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt$
•Konservativt felt langs lukket kurve: $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$

Greens teorem og linjeintegraler

•Greens teorem: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$
•Linjeintegral: $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt$
•Konservativt felt: $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
•Weiunavhengighet: $\int_C \nabla\phi \cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{b}) - \phi(\mathbf{a})$

Divergensteoremet og flateintegraler

•Divergens: $\text{div}\,\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
•Divergensteoremet: $\oint_T \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_V \text{div}\,\mathbf{F}\,dV$
•Flateintegral: $\int_T \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_A \mathbf{F} \cdot \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du\,dv$
•Plan flate $z = c$, $\mathbf{n} = \mathbf{k}$: $\int_T \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_R R(x,y,c)\,dA$
•Curl: $\text{curl}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}$
•Stokes: $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_T (\text{curl}\,\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$

Implisitt definerte funksjoner

•Implisitt derivasjon (2D): $g'(x) = -\frac{F_x}{F_y}$
•Implisitt derivasjon (3D): $\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$
•Eksistensbetingelse: $F(a,b) = 0 \text{ og } F_y(a,b) \neq 0$
•Generelt: deriverer du $F(x,g(x))=0$ mhp x med kjerneregelen

Vanlige feil å unngå

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Feil fortegn i det karakteristiske polynomet: det er det(lambda*I - A), ikke det(A - lambda*I) -- begge gir samme polynom, men pass på fortegnene.
•Glemme å sjekke at A^n-grensen krever |lambda| < 1 for de andre egenverdiene. Dersom |lambda| > 1, divergerer grensen.
•Ved dekomponering av x_0 i egenvektorer: løse feil likningssystem eller glemme å verifisere løsningen.
•Forveksle determinant lik 0 (lineaert avhengige) med determinant ulik 0 (lineaert uavhengige/basis).

Lineaere likningssystemer og matriser

•Lese av kolonnerommet fra den radreduserte matrisen i stedet for de tilsvarende kolonnene i den OPPRINNELIGE matrisen A.
•Glemme frie variabler: hver kolonne uten pivot gir en parameter i losningsmengden.
•Forsoke a invertere en matrise med determinant 0 (ikke inverterbar).
•Ved minste kvadrater: glemme a transponere -- det er A^T*A og A^T*b, ikke A*A og A*b.

Partielle deriverte og gradient

•Glemme kjerneregelen: når du deriverer f(x,y) = ln(1 + x^2*y^2) med hensyn på x, må du multiplisere med den indre deriverte 2xy^2/(1 + x^2*y^2).
•Forveksle tangentplanet (z = ...) med normalvektoren (nabla F). Tangentplanet er en likning, normalvektoren er en vektor.
•Ved implisitt derivasjon: feil fortegn. Formelen er g'(x) = -f_x / f_y, IKKE f_x / f_y.
•Glemme å sjekke at f_y != 0 for setningen om implisitt definerte funksjoner kan brukes.

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Glemme løsninger i likningssystemet: når du løser f_x = 0 og f_y = 0, må du finne ALLE løsninger, ikke bare de mest apenbare.
•Bruke andrederiverttesten feil: D = AC - B^2, IKKE D = A + C - B^2.
•Glemme at D = 0 betyr at testen er inkonklusiv -- du må bruke andre argumenter (f.eks. at f >= 0 overalt).
•Faktoriseringsfeil når du løser likningssystemet: f.eks. x^4 - x = x(x^3 - 1), IKKE (x^2 - 1)(x^2 + 1).

Lagranges multiplikatormetode

•Glemme spesialtilfeller: når du dividerer to Lagrange-likninger for å eliminere lambda, må du behandle tilfellene der nevneren er 0 separat.
•Glemme å evaluere f i alle kandidatpunktene. Lagranges metode gir kandidater, ikke direkte svar på maks/min.
•Feil oppstilling av bibetingelsen: g = 0 skal være på formen h(x,y) = c, dvs. flytt alt til en side.
•Feil fortegn i gradienten til g: dobbeltsjekk at du deriverer g(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3 korrekt.

Rekker og konvergensomrade

•Glemme å sjekke endepunktene: konvergensradius gir intervallet (-R, R), men du må teste x = R og x = -R separat.
•Feil manipulasjon av rekkeindekser: pass på at summasjonsgrensene stemmer når du substituerer m = n + k.
•Forveksle ln(1-x) og ln(1+x): ln(1-x) = -sum x^n/n, men ln(1+x) = sum (-1)^{n+1} x^n/n.
•Glemme tilfellet x = 0 når du dividerer med x for å finne lukket form.
•Bruke forholdstesten når L = 1: da er testen inkonklusiv, og du må bruke sammenligning eller Leibniz i stedet.
•Forveksle absolutt og betinget konvergens: en rekke kan konvergere (Leibniz) selv om summen av absoluttverdiene divergerer.
•Glemme n-te-leddstesten: hvis a_n ikke går mot 0, divergerer rekken uansett -- sjekk dette først.

Dobbelt- og trippelintegraler

•Glemme faktoren r i polarkoordinater: dA = r dr d(theta), IKKE dr d(theta).
•Feil integrasjonsgrenser: tegn omradet og finn skjaeringspunktene for du begynner å integrere.
•Bruke kartesiske koordinater når polarkoordinater er mye enklere (f.eks. når integranden inneholder x^2 + y^2).
•Forveksle Jacobideterminanten for kulekoordinater (rho^2 sin phi) med sylinderkoordinater (r).

Parametriserte kurver og buelengde

•Glemme kjerneregelen/kvadratrota i fartsformelen: |r'(t)| er kvadratrota av SUMMEN av kvadratene.
•Ikke gjenkjenne et perfekt kvadrat under rottegnet (f.eks. t^2 + 2 + 1/t^2 = (t + 1/t)^2), som gjør integralet enkelt.
•Bruke Greens teorem på en aapen kurve -- det krever en LUKKET kurve.
•Glemme aa derivere parametriseringen for du setter inn i linjeintegralet.

Greens teorem og linjeintegraler

•Feil orientering: Greens teorem krever MOT klokka. Med klokka gir motsatt fortegn.
•Forveksle rekkfolgen i Greens teorem: det er dQ/dx - dP/dy, IKKE dP/dx - dQ/dy.
•Glemme at Greens teorem krever en LUKKET kurve. For apne kurver, bruk parametrisering direkte.
•Feil beregning av dQ/dx - dP/dy: dobbeltsjekk de partielle deriverte for du integrerer.

Divergensteoremet og flateintegraler

•Feil retning på normalvektoren: normalen skal peke UT av volumet. For det ovre planet peker n oppover (k), for det nedre ned (-k).
•Glemme Jacobideterminanten i sylinderkoordinater: dV = r dr d(theta) dz, ikke dr d(theta) dz.
•Feil oppdeling av overflaten: divergensteoremet gjelder for HELE den lukkede overflaten. Husk både T_1 og T_2.
•Feil integrasjonsgrenser for z i sylinderkoordinater: for en kjegle z = sqrt(x^2+y^2) er z fra r til toppverdi.

Implisitt definerte funksjoner

•Glemme å verifisere at F = 0 i punktet -- dette er det første trinnet og gir gratis poeng.
•Feil fortegn: formelen er g' = -F_x/F_y, husk minustegnet!
•Sjekke feil partiell derivert: det er F_y (den du løser for) som må være ulik null, ikke F_x.
•Glemme å evaluere derivertene i det spesifikke punktet -- du må sette inn (a,b) ETTER derivasjon.

Eksamenstips

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Egenverdier/egenvektorer er på så godt som alle eksamener, ofte som første oppgave. Start med det karakteristiske polynomet.
•Stokastiske matriser (radsummen er 1, alle elementer >= 0) har alltid lambda = 1 som største egenverdi. Grensen A^n * v konvergerer mot et multiplum av den tilhorende egenvektoren.
•For 3x3-matriser: bruk kofaktorutvikling langs raden/kolonnen med flest nuller for å spare tid.

Lineaere likningssystemer og matriser

•Likningssystemer/radreduksjon er en fast del av lineaeralgebra-oppgaven, ofte gitt sammen med en MATLAB-utskrift av rref(A).
•Når oppgaven gir den reduserte trappeformen, kan du lese av rang, frie variabler og losningsmengde direkte.
•Minste kvadraters metode (|Ax-b|^2 minimal) dukker opp når systemet er overbestemt -- bruk normallikningene A^T*A*x = A^T*b.
•Husk koblingen til egenverdidelen: en matrise er inverterbar nettopp når 0 ikke er en egenverdi.

Partielle deriverte og gradient

•Implisitt derivasjon (setningen om implisitt definerte funksjoner) er på nesten alle eksamener. Sjekk alltid at f_y != 0 i punktet.
•Huskeregelen for implisitt derivasjon: 'minus f_x over f_y' -- den negative broken av de partielle deriverte.
•Oppgaver som ber deg 'vis at det finnes en funksjon g' krever to ting: (1) f = 0 i punktet, og (2) partiell derivert mhp y er != 0.

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Stasjonaere punkter + andrederiverttesten er på så godt som alle eksamener.
•For tredjegradspolynomer som x^3 - 3xy + y^3: forvent ett sadelpunkt i origo og ett minimum/maksimum.
•Når D = 0, se om du kan argumentere direkte: er f >= 0 overalt? Da er punktet med f = 0 et minimum.

Lagranges multiplikatormetode

•Lagranges metode er på nesten alle eksamener.
•Strategien 'eliminer lambda ved divisjon, deretter behandle spesialtilfeller' fungerer nesten alltid.
•Når oppgaven gir et hint om spesialtilfeller (f.eks. 'spesialbehandle x=0'), BRUK hintet. Det sparer mye tid.
•Husk: f verdien i kandidatpunktene avgjor hva som er maks og min. Lagranges metode klassifiserer ikke automatisk.

Rekker og konvergensomrade

•Rekker er på de fleste eksamener. To hovedtyper: (1) potensrekke med konvergensomrade + sum, og (2) avgjor konvergens/divergens av en konkret tallrekke.
•For potensrekker er R nesten alltid 1. Trikset er a relatere til ln(1-x) = -sum x^n/n eller den geometriske rekken.
•For tallrekker: prov forholdstesten først ved fakultet/potenser, grensesammenligning ved rasjonale uttrykk, og Leibniz ved alternerende rekker.
•Når oppgaven ber deg 'bruk dette til å vise at sum = tall', sett inn en spesifikk x-verdi i den lukkede formen.
•Spørsmål om absolutt vs. betinget konvergens dukker opp: vis konvergens med Leibniz, og divergens av absoluttrekken med sammenligning mot harmonisk rekke.

Dobbelt- og trippelintegraler

•Dobbeltintegraler er på alle eksamener.
•Se etter x^2 + y^2 i integranden eller i omradets grenser -- det er et klart signal om polarkoordinater.
•Flateareal-formelen (med sqrt(1 + g_x^2 + g_y^2)) er en vanlig tilleggsoppgave.
•Tegn alltid integrasjonsomradet! Finn skjaeringspunkter mellom kurvene for du setter opp integralene.

Parametriserte kurver og buelengde

•Buelengde-oppgaver er konstruert slik at uttrykket under rottegnet blir et perfekt kvadrat -- let etter dette.
•Når kurven er aapen, beregn linjeintegralet direkte fra parametriseringen. Når den er lukket, vurder Greens teorem.
•Sjekk alltid om feltet er konservativt (P_y = Q_x): da er integralet over en lukket kurve 0, og for en aapen kurve = potensialdifferanse.
•For polare kurver r(theta): bruk x = r cos(theta), y = r sin(theta) som parametrisering med parameter theta.

Greens teorem og linjeintegraler

•Greens teorem er på de fleste eksamener. Det kombineres nesten alltid med en dobbeltintegral fra en annen deloppgave.
•Når dQ/dx - dP/dy er en konstant (f.eks. 3), reduseres dobbeltintegralet til konstant ganger arealet!
•Oppgaver er ofte designet slik at del (a) ber om et dobbeltintegral og del (b) bruker Greens teorem -- resultatet fra (a) gjenbrukes.
•Sjekk alltid om feltet er konservativt (dP/dy = dQ/dx). Da er linjeintegralet over en lukket kurve lik 0.

Divergensteoremet og flateintegraler

•Divergensteoremet dukker opp på de mer krevende eksamenene. Oppgaven har typisk tre deler: enkel flate, trippelintegral, vanskelig flate.
•Den enkle flaten (planet) beregnes direkte. Deretter brukes divergensteoremet til å finne den vanskelige flaten (kjeglen).
•cos^2(theta) integrert fra 0 til 2*pi er pi. Dette trikset trengs nesten alltid.
•Når div F bare inneholder x^2 (eller y^2), bruk cos^2 (eller sin^2) i sylinderkoordinater.
•Stokes' teorem brukes når et linjeintegral langs en romkurve er vanskelig: regn curl F og integrer over en flate med kurven som rand.

Implisitt definerte funksjoner

•Implisitt definerte funksjoner er på nesten alle eksamener. Oppgavestrukturen er nesten identisk hvert ar.
•Tre steg: (1) sjekk F=0, (2) sjekk F_y != 0, (3) bruk formelen g' = -F_x/F_y. Skriv alle tre stegene tydelig!
•Denne oppgavetypen gir relativt enkle poeng når du har memorert fremgangsmaten. Prioriter den på eksamen.
•For 3D-versjonen (F(x,y,z) = 0, los for z): sjekk at F_z != 0, og bruk g_x = -F_x/F_z, g_y = -F_y/F_z.

MAT1110

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Kalkulus og lineær algebra

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Karakteristisk polynom: $\det(\lambda I - A) = 0$
•Egenverdiproblemet: $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
•Grenseverdi: $A^n \mathbf{x}_0 = \sum_i c_i \lambda_i^n \mathbf{v}_i$
•Basis-test: $\det(\mathbf{v}_1 \; \mathbf{v}_2 \; \mathbf{v}_3) \neq 0 \iff \text{basis for } \mathbb{R}^3$
•For $2 \times 2$: $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$

Lineaere likningssystemer og matriser

•Dimensjonssetningen: $\text{rang}(A) + \dim(\text{nullrom}) = \text{antall kolonner}$
•Invers $2\times2$: $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
•Løsning via invers: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
•Normallikningene (minste kvadrater): $A^T A \mathbf{x} = A^T \mathbf{b}$

Partielle deriverte og gradient

•Gradient: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
•Kjerneregel: $\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = f_x \cdot x'(t) + f_y \cdot y'(t)$
•Tangentplan: $z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
•Implisitt derivasjon: $g'(x) = -\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}$
•Normalvektor til $F(x,y,z)=c$: $\mathbf{n} = \nabla F$

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Stasjonaert punkt: $\nabla f(a,b) = \mathbf{0}$ , dvs. $f_x = f_y = 0$
•Andrederiverttesten: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0, \; A > 0 \Rightarrow$ lokalt minimum
• $D > 0, \; A < 0 \Rightarrow$ lokalt maksimum
• $D < 0 \Rightarrow$ sadelpunkt

Lagranges multiplikatormetode

•Lagranges likninger: $\nabla f = \lambda \nabla g, \quad g(\mathbf{x}) = 0$
•For to variable: $f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x,y) = 0$
•Med flere bibetingelser: $\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2$
•Sammenlign f-verdier i alle kandidatpunkter for å avgjore maks/min

Rekker og konvergensomrade

•Forholdstesten: $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
•Geometrisk rekke: $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1$
•Logaritmerekke: $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad -1 \le x < 1$
• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
•Konvergensomrade: $|x| < R$, sjekk endepunktene separat
•Forholdstest for tallrekke: $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \Rightarrow \text{konvergens}$
•p-rekke: $\sum \frac{1}{n^p} \text{ konvergerer} \iff p > 1$
•Leibniz: alternerende, $a_n \downarrow 0$ gir konvergens

Dobbelt- og trippelintegraler

•Polarkoordinater: $dA = r\,dr\,d\theta$
•Sylinderkoordinater: $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$
•Kulekoordinater: $dV = \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$
•Variabelskifte: $dA = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv$
•Flateareal: $A = \iint_D \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA$

Parametriserte kurver og buelengde

•Fart: $v(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\textstyle\sum_i x_i'(t)^2}$
•Buelengde: $L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\, dt$
•Linjeintegral: $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt$
•Konservativt felt langs lukket kurve: $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$

Greens teorem og linjeintegraler

•Greens teorem: $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$
•Linjeintegral: $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt$
•Konservativt felt: $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
•Weiunavhengighet: $\int_C \nabla\phi \cdot d\mathbf{r} = \phi(\mathbf{b}) - \phi(\mathbf{a})$

Divergensteoremet og flateintegraler

•Divergens: $\text{div}\,\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
•Divergensteoremet: $\oint_T \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_V \text{div}\,\mathbf{F}\,dV$
•Flateintegral: $\int_T \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_A \mathbf{F} \cdot \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) du\,dv$
•Plan flate $z = c$, $\mathbf{n} = \mathbf{k}$: $\int_T \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_R R(x,y,c)\,dA$
•Curl: $\text{curl}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}$
•Stokes: $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_T (\text{curl}\,\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$

Implisitt definerte funksjoner

•Implisitt derivasjon (2D): $g'(x) = -\frac{F_x}{F_y}$
•Implisitt derivasjon (3D): $\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$
•Eksistensbetingelse: $F(a,b) = 0 \text{ og } F_y(a,b) \neq 0$
•Generelt: deriverer du $F(x,g(x))=0$ mhp x med kjerneregelen

Vanlige feil å unngå

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Feil fortegn i det karakteristiske polynomet: det er det(lambda*I - A), ikke det(A - lambda*I) -- begge gir samme polynom, men pass på fortegnene.
•Glemme å sjekke at A^n-grensen krever |lambda| < 1 for de andre egenverdiene. Dersom |lambda| > 1, divergerer grensen.
•Ved dekomponering av x_0 i egenvektorer: løse feil likningssystem eller glemme å verifisere løsningen.
•Forveksle determinant lik 0 (lineaert avhengige) med determinant ulik 0 (lineaert uavhengige/basis).

Lineaere likningssystemer og matriser

•Lese av kolonnerommet fra den radreduserte matrisen i stedet for de tilsvarende kolonnene i den OPPRINNELIGE matrisen A.
•Glemme frie variabler: hver kolonne uten pivot gir en parameter i losningsmengden.
•Forsoke a invertere en matrise med determinant 0 (ikke inverterbar).
•Ved minste kvadrater: glemme a transponere -- det er A^T*A og A^T*b, ikke A*A og A*b.

Partielle deriverte og gradient

•Glemme kjerneregelen: når du deriverer f(x,y) = ln(1 + x^2*y^2) med hensyn på x, må du multiplisere med den indre deriverte 2xy^2/(1 + x^2*y^2).
•Forveksle tangentplanet (z = ...) med normalvektoren (nabla F). Tangentplanet er en likning, normalvektoren er en vektor.
•Ved implisitt derivasjon: feil fortegn. Formelen er g'(x) = -f_x / f_y, IKKE f_x / f_y.
•Glemme å sjekke at f_y != 0 for setningen om implisitt definerte funksjoner kan brukes.

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Glemme løsninger i likningssystemet: når du løser f_x = 0 og f_y = 0, må du finne ALLE løsninger, ikke bare de mest apenbare.
•Bruke andrederiverttesten feil: D = AC - B^2, IKKE D = A + C - B^2.
•Glemme at D = 0 betyr at testen er inkonklusiv -- du må bruke andre argumenter (f.eks. at f >= 0 overalt).
•Faktoriseringsfeil når du løser likningssystemet: f.eks. x^4 - x = x(x^3 - 1), IKKE (x^2 - 1)(x^2 + 1).

Lagranges multiplikatormetode

•Glemme spesialtilfeller: når du dividerer to Lagrange-likninger for å eliminere lambda, må du behandle tilfellene der nevneren er 0 separat.
•Glemme å evaluere f i alle kandidatpunktene. Lagranges metode gir kandidater, ikke direkte svar på maks/min.
•Feil oppstilling av bibetingelsen: g = 0 skal være på formen h(x,y) = c, dvs. flytt alt til en side.
•Feil fortegn i gradienten til g: dobbeltsjekk at du deriverer g(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3 korrekt.

Rekker og konvergensomrade

•Glemme å sjekke endepunktene: konvergensradius gir intervallet (-R, R), men du må teste x = R og x = -R separat.
•Feil manipulasjon av rekkeindekser: pass på at summasjonsgrensene stemmer når du substituerer m = n + k.
•Forveksle ln(1-x) og ln(1+x): ln(1-x) = -sum x^n/n, men ln(1+x) = sum (-1)^{n+1} x^n/n.
•Glemme tilfellet x = 0 når du dividerer med x for å finne lukket form.
•Bruke forholdstesten når L = 1: da er testen inkonklusiv, og du må bruke sammenligning eller Leibniz i stedet.
•Forveksle absolutt og betinget konvergens: en rekke kan konvergere (Leibniz) selv om summen av absoluttverdiene divergerer.
•Glemme n-te-leddstesten: hvis a_n ikke går mot 0, divergerer rekken uansett -- sjekk dette først.

Dobbelt- og trippelintegraler

•Glemme faktoren r i polarkoordinater: dA = r dr d(theta), IKKE dr d(theta).
•Feil integrasjonsgrenser: tegn omradet og finn skjaeringspunktene for du begynner å integrere.
•Bruke kartesiske koordinater når polarkoordinater er mye enklere (f.eks. når integranden inneholder x^2 + y^2).
•Forveksle Jacobideterminanten for kulekoordinater (rho^2 sin phi) med sylinderkoordinater (r).

Parametriserte kurver og buelengde

•Glemme kjerneregelen/kvadratrota i fartsformelen: |r'(t)| er kvadratrota av SUMMEN av kvadratene.
•Ikke gjenkjenne et perfekt kvadrat under rottegnet (f.eks. t^2 + 2 + 1/t^2 = (t + 1/t)^2), som gjør integralet enkelt.
•Bruke Greens teorem på en aapen kurve -- det krever en LUKKET kurve.
•Glemme aa derivere parametriseringen for du setter inn i linjeintegralet.

Greens teorem og linjeintegraler

•Feil orientering: Greens teorem krever MOT klokka. Med klokka gir motsatt fortegn.
•Forveksle rekkfolgen i Greens teorem: det er dQ/dx - dP/dy, IKKE dP/dx - dQ/dy.
•Glemme at Greens teorem krever en LUKKET kurve. For apne kurver, bruk parametrisering direkte.
•Feil beregning av dQ/dx - dP/dy: dobbeltsjekk de partielle deriverte for du integrerer.

Divergensteoremet og flateintegraler

•Feil retning på normalvektoren: normalen skal peke UT av volumet. For det ovre planet peker n oppover (k), for det nedre ned (-k).
•Glemme Jacobideterminanten i sylinderkoordinater: dV = r dr d(theta) dz, ikke dr d(theta) dz.
•Feil oppdeling av overflaten: divergensteoremet gjelder for HELE den lukkede overflaten. Husk både T_1 og T_2.
•Feil integrasjonsgrenser for z i sylinderkoordinater: for en kjegle z = sqrt(x^2+y^2) er z fra r til toppverdi.

Implisitt definerte funksjoner

•Glemme å verifisere at F = 0 i punktet -- dette er det første trinnet og gir gratis poeng.
•Feil fortegn: formelen er g' = -F_x/F_y, husk minustegnet!
•Sjekke feil partiell derivert: det er F_y (den du løser for) som må være ulik null, ikke F_x.
•Glemme å evaluere derivertene i det spesifikke punktet -- du må sette inn (a,b) ETTER derivasjon.

Eksamenstips

Lineaer algebra: egenverdier og baser

•Egenverdier/egenvektorer er på så godt som alle eksamener, ofte som første oppgave. Start med det karakteristiske polynomet.
•Stokastiske matriser (radsummen er 1, alle elementer >= 0) har alltid lambda = 1 som største egenverdi. Grensen A^n * v konvergerer mot et multiplum av den tilhorende egenvektoren.
•For 3x3-matriser: bruk kofaktorutvikling langs raden/kolonnen med flest nuller for å spare tid.

Lineaere likningssystemer og matriser

•Likningssystemer/radreduksjon er en fast del av lineaeralgebra-oppgaven, ofte gitt sammen med en MATLAB-utskrift av rref(A).
•Når oppgaven gir den reduserte trappeformen, kan du lese av rang, frie variabler og losningsmengde direkte.
•Minste kvadraters metode (|Ax-b|^2 minimal) dukker opp når systemet er overbestemt -- bruk normallikningene A^T*A*x = A^T*b.
•Husk koblingen til egenverdidelen: en matrise er inverterbar nettopp når 0 ikke er en egenverdi.

Partielle deriverte og gradient

•Implisitt derivasjon (setningen om implisitt definerte funksjoner) er på nesten alle eksamener. Sjekk alltid at f_y != 0 i punktet.
•Huskeregelen for implisitt derivasjon: 'minus f_x over f_y' -- den negative broken av de partielle deriverte.
•Oppgaver som ber deg 'vis at det finnes en funksjon g' krever to ting: (1) f = 0 i punktet, og (2) partiell derivert mhp y er != 0.

Stasjonaere punkter og andrederiverttesten

•Stasjonaere punkter + andrederiverttesten er på så godt som alle eksamener.
•For tredjegradspolynomer som x^3 - 3xy + y^3: forvent ett sadelpunkt i origo og ett minimum/maksimum.
•Når D = 0, se om du kan argumentere direkte: er f >= 0 overalt? Da er punktet med f = 0 et minimum.

Lagranges multiplikatormetode

•Lagranges metode er på nesten alle eksamener.
•Strategien 'eliminer lambda ved divisjon, deretter behandle spesialtilfeller' fungerer nesten alltid.
•Når oppgaven gir et hint om spesialtilfeller (f.eks. 'spesialbehandle x=0'), BRUK hintet. Det sparer mye tid.
•Husk: f verdien i kandidatpunktene avgjor hva som er maks og min. Lagranges metode klassifiserer ikke automatisk.

Rekker og konvergensomrade

•Rekker er på de fleste eksamener. To hovedtyper: (1) potensrekke med konvergensomrade + sum, og (2) avgjor konvergens/divergens av en konkret tallrekke.
•For potensrekker er R nesten alltid 1. Trikset er a relatere til ln(1-x) = -sum x^n/n eller den geometriske rekken.
•For tallrekker: prov forholdstesten først ved fakultet/potenser, grensesammenligning ved rasjonale uttrykk, og Leibniz ved alternerende rekker.
•Når oppgaven ber deg 'bruk dette til å vise at sum = tall', sett inn en spesifikk x-verdi i den lukkede formen.
•Spørsmål om absolutt vs. betinget konvergens dukker opp: vis konvergens med Leibniz, og divergens av absoluttrekken med sammenligning mot harmonisk rekke.

Dobbelt- og trippelintegraler

•Dobbeltintegraler er på alle eksamener.
•Se etter x^2 + y^2 i integranden eller i omradets grenser -- det er et klart signal om polarkoordinater.
•Flateareal-formelen (med sqrt(1 + g_x^2 + g_y^2)) er en vanlig tilleggsoppgave.
•Tegn alltid integrasjonsomradet! Finn skjaeringspunkter mellom kurvene for du setter opp integralene.

Parametriserte kurver og buelengde

•Buelengde-oppgaver er konstruert slik at uttrykket under rottegnet blir et perfekt kvadrat -- let etter dette.
•Når kurven er aapen, beregn linjeintegralet direkte fra parametriseringen. Når den er lukket, vurder Greens teorem.
•Sjekk alltid om feltet er konservativt (P_y = Q_x): da er integralet over en lukket kurve 0, og for en aapen kurve = potensialdifferanse.
•For polare kurver r(theta): bruk x = r cos(theta), y = r sin(theta) som parametrisering med parameter theta.

Greens teorem og linjeintegraler

•Greens teorem er på de fleste eksamener. Det kombineres nesten alltid med en dobbeltintegral fra en annen deloppgave.
•Når dQ/dx - dP/dy er en konstant (f.eks. 3), reduseres dobbeltintegralet til konstant ganger arealet!
•Oppgaver er ofte designet slik at del (a) ber om et dobbeltintegral og del (b) bruker Greens teorem -- resultatet fra (a) gjenbrukes.
•Sjekk alltid om feltet er konservativt (dP/dy = dQ/dx). Da er linjeintegralet over en lukket kurve lik 0.

Divergensteoremet og flateintegraler

•Divergensteoremet dukker opp på de mer krevende eksamenene. Oppgaven har typisk tre deler: enkel flate, trippelintegral, vanskelig flate.
•Den enkle flaten (planet) beregnes direkte. Deretter brukes divergensteoremet til å finne den vanskelige flaten (kjeglen).
•cos^2(theta) integrert fra 0 til 2*pi er pi. Dette trikset trengs nesten alltid.
•Når div F bare inneholder x^2 (eller y^2), bruk cos^2 (eller sin^2) i sylinderkoordinater.
•Stokes' teorem brukes når et linjeintegral langs en romkurve er vanskelig: regn curl F og integrer over en flate med kurven som rand.

Implisitt definerte funksjoner

•Implisitt definerte funksjoner er på nesten alle eksamener. Oppgavestrukturen er nesten identisk hvert ar.
•Tre steg: (1) sjekk F=0, (2) sjekk F_y != 0, (3) bruk formelen g' = -F_x/F_y. Skriv alle tre stegene tydelig!
•Denne oppgavetypen gir relativt enkle poeng når du har memorert fremgangsmaten. Prioriter den på eksamen.
•For 3D-versjonen (F(x,y,z) = 0, los for z): sjekk at F_z != 0, og bruk g_x = -F_x/F_z, g_y = -F_y/F_z.