MAT1110 · UiO

Studieguide for MAT1110 Kalkulus og lineær algebra

Komplett pensumoversikt for kalkulus og lineær algebra ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

MAT1110 Kalkulus og lineær algebra er et sentralt andresemesterfag ved Universitetet i Oslo som kombinerer flervariabel kalkulus med lineær algebra. Eksamen er skriftlig (4 timer) og består typisk av 6-10 deloppgaver med lik poengvekt (6-10 poeng per oppgave). Tillatte hjelpemidler er godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling.

Pensum spenner over flere hovedtemaer: lineær algebra (egenverdier, baser, likningssystemer/radreduksjon, nullrom, rang, invers matrise, minste kvadrater), partielle deriverte (gradient, kjerneregel, tangentplan), implisitt definerte funksjoner og invers funksjon, stasjonære punkter og andrederiverttesten, Lagranges multiplikatormetode, rekker (konvergensområde, konvergenstester, absolutt/betinget konvergens), dobbelt- og trippelintegraler, parametriserte kurver og buelengde, og vektoranalyse (linjeintegraler, flateintegraler, Greens teorem, divergensteoremet, Stokes' teorem). Oppgavene krever bade regneferdigheter og presise begrunnelser. Du må vise nok mellomregninger til at sensor lett kan følge argumentene dine.

Basert på eksamenene fra 2022-2025 er det klare monstre: egenverdier/egenvektorer og stasjonære punkter med andrederiverttesten er på alle eksamener. Implisitt derivasjon (med setningen om implisitt definerte funksjoner) og Lagranges metode dukker opp hvert ar. Rekker (konvergensområde + sumformel) og dobbeltintegraler med Greens teorem er også faste gjengangere. Trippelintegraler med divergensteoremet er vanlige på de mer krevende eksamenene (2025).

Lineær algebra: egenverdier og baser

Egenverdier, egenvektorer, diagonalisering, grenseverdier av A^n * v, og spørsmålet om vektorer danner en basis. Testes på alle eksamener.

Oversikt

Lineær algebra er det første temaet på nesten alle MAT1110-eksamener. De vanligste oppgavetypene er: (1) finn egenverdier og egenvektorer, (2) skriv en vektor som lineærkombinasjon av egenvektorer og beregn $\lim_{n \to \infty} A^n \mathbf{x}_0$ , og (3) avgjør om gitte vektorer danner en basis for $\mathbb{R}^n$ .

Egenverdier og egenvektorer

En egenverdi $\lambda$ og tilhorende egenvektor $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ til en matrise $A$ tilfredsstiller:

$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

Egenverdiene finnes ved å løse det karakteristiske polynomet:

$\det(\lambda I - A) = 0$

For en $2 \times 2$ -matrise $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ er det karakteristiske polynomet:

$\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) = 0$

Egenvektorene finnes ved å løse $(\lambda I - A)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ for hver egenverdi.

Grenseverdier av $A^n \mathbf{x}_0$

Dersom $A$ har egenverdier $\lambda_1, \lambda_2, \ldots$ med tilhorende egenvektorer $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots$ , og vi skriver:

$\mathbf{x}_0 = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots$

da er:

$A^n \mathbf{x}_0 = c_1 \lambda_1^n \mathbf{v}_1 + c_2 \lambda_2^n \mathbf{v}_2 + \cdots$

Dersom $|\lambda_i| < 1$ for alle $i$ bortsett fra en egenverdi $\lambda_j = 1$ , konvergerer $A^n \mathbf{x}_0 \to c_j \mathbf{v}_j$ . Dette er typisk for stokastiske matriser (radsum = 1, alle elementer $\ge 0$ ) som ofte dukker opp på eksamen.

Basis for $\mathbb{R}^n$

Tre vektorer i $\mathbb{R}^3$ danner en basis hvis og bare hvis de er lineært uavhengige, dvs. determinanten til matrisen de danner er $\neq 0$ .

$\text{Basis} \iff \det\begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \end{pmatrix} \neq 0$

Eksempel 1: Stokastisk matrise og grenseverdi

Oppgave: La $A = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.5 \\ 0.8 & 0.5 \end{pmatrix}$ . (a) Finn egenverdiene og egenvektorene. (b) Skriv $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ som lineærkombinasjon av egenvektorene, og finn $\lim_{n \to \infty} A^n \mathbf{v}$ .

Løsning (a): Sporet er $0.2 + 0.5 = 0.7$ og determinanten er $0.10 - 0.40 = -0.30$ . Det karakteristiske polynomet er $\lambda^2 - 0.7\lambda - 0.30 = 0$ , som gir $\lambda_1 = 1$ og $\lambda_2 = -0.3$ .

For $\lambda_1 = 1$ : $(I - A)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ gir $\begin{pmatrix} 0.8 & -0.5 \\ -0.8 & 0.5 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}$ , så $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}$ .

For $\lambda_2 = -0.3$ : $(-0.3I - A)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ gir $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

Løsning (b): Vi løser $c_1 \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Fra radene: $5c_1 + c_2 = 1$ og $8c_1 - c_2 = 1$ . Addisjon gir $13c_1 = 2$ , så $c_1 = 2/13$ , $c_2 = 1 - 10/13 = 3/13$ .

Siden $|\lambda_2| = 0.3 < 1$ , forsvinner det andre leddet i grensen:

$\lim_{n \to \infty} A^n \mathbf{v} = c_1 \cdot 1^n \cdot \mathbf{v}_1 = \frac{2}{13}\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10/13 \\ 16/13 \end{pmatrix}$

Eksempel 2: Danner vektorene en basis?

Oppgave: Avgjør om vektorene $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ danner en basis for $\mathbb{R}^3$ .

Løsning: Vi beregner determinanten:

$\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Utvikling langs første rad: $1(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) - 0 + 2(2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1))$

$= 1(1 + 3) - 0 + 2(6 + 1) = 4 + 14 = 18 \neq 0$

Siden determinanten er ulik null, er vektorene lineært uavhengige og danner dermed en basis for $\mathbb{R}^3$ . $\square$

Nøkkelformler

•Karakteristisk polynom: $\det(\lambda I - A) = 0$
•Egenverdiproblemet: $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
•Grenseverdi: $A^n \mathbf{x}_0 = \sum_i c_i \lambda_i^n \mathbf{v}_i$
•Basis-test: $\det(\mathbf{v}_1 \; \mathbf{v}_2 \; \mathbf{v}_3) \neq 0 \iff \text{basis for } \mathbb{R}^3$
•For $2 \times 2$ : $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$

Vanlige feil

⚠️Feil fortegn i det karakteristiske polynomet: det er det(lambda*I - A), ikke det(A - lambda*I) -- begge gir samme polynom, men pass på fortegnene.
⚠️Glemme a sjekke at A^n-grensen krever |lambda| < 1 for de andre egenverdiene. Dersom |lambda| > 1, divergerer grensen.
⚠️Ved dekomponering av x_0 i egenvektorer: løse feil likningssystem eller glemme a verifisere løsningen.
⚠️Forveksle determinant lik 0 (lineært avhengige) med determinant ulik 0 (lineært uavhengige/basis).

Eksamenstips

💡Egenverdier/egenvektorer er på så godt som alle eksamener, ofte som første oppgave. Start med det karakteristiske polynomet.
💡Stokastiske matriser (radsummen er 1, alle elementer >= 0) har alltid lambda = 1 som største egenverdi. Grensen A^n * v konvergerer mot et multiplum av den tilhorende egenvektoren.
💡For 3x3-matriser: bruk kofaktorutvikling langs raden/kolonnen med flest nuller for å spare tid.

Laster...

Laster…