Komplett pensumoversikt for kalkulus og lineær algebra ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.
Innhold
MAT1110 Kalkulus og lineaer algebra er et sentralt andresemesterfag ved Universitetet i Oslo som kombinerer flervariabel kalkulus med lineaer algebra. Eksamen er skriftlig (4 timer) og bestar typisk av 6-10 deloppgaver med lik poengvekt (6-10 poeng per oppgave). Tillatte hjelpemidler er godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling.
Pensum spenner over flere hovedtemaer: lineaer algebra (egenverdier, baser, likningssystemer/radreduksjon, nullrom, rang, invers matrise, minste kvadrater), partielle deriverte (gradient, kjerneregel, tangentplan), implisitt definerte funksjoner og invers funksjon, stasjonaere punkter og andrederiverttesten, Lagranges multiplikatormetode, rekker (konvergensomrade, konvergenstester, absolutt/betinget konvergens), dobbelt- og trippelintegraler, parametriserte kurver og buelengde, og vektoranalyse (linjeintegraler, flateintegraler, Greens teorem, divergensteoremet, Stokes' teorem). Oppgavene krever både regneferdigheter og presise begrunnelser. Du må vise nok mellomregninger til at sensor lett kan følge argumentene dine.
Basert på eksamenene fra 2022-2025 er det klare monstre: egenverdier/egenvektorer og stasjonaere punkter med andrederiverttesten er på alle eksamener. Implisitt derivasjon (med setningen om implisitt definerte funksjoner) og Lagranges metode dukker opp hvert ar. Rekker (konvergensomrade + sumformel) og dobbeltintegraler med Greens teorem er også faste gjengangere. Trippelintegraler med divergensteoremet er vanlige på de mer krevende eksamenene (2025).
Egenverdier, egenvektorer, diagonalisering, grenseverdier av A^n * v, og spørsmålet om vektorer danner en basis. Testes på alle eksamener.
Lineaer algebra er det første temaet på nesten alle MAT1110-eksamener. De vanligste oppgavetypene er: (1) finn egenverdier og egenvektorer, (2) skriv en vektor som lineaerkombinasjon av egenvektorer og beregn , og (3) avgjor om gitte vektorer danner en basis for .
En egenverdi og tilhorende egenvektor til en matrise tilfredsstiller:
Egenverdiene finnes ved å løse det karakteristiske polynomet:
For en -matrise er det karakteristiske polynomet:
Egenvektorene finnes ved å løse for hver egenverdi.
Dersom har egenverdier med tilhorende egenvektorer , og vi skriver:
da er:
Dersom for alle bortsett fra en egenverdi , konvergerer . Dette er typisk for stokastiske matriser (radsum = 1, alle elementer ) som ofte dukker opp på eksamen.
Tre vektorer i danner en basis hvis og bare hvis de er lineaert uavhengige, dvs. determinanten til matrisen de danner er .
Oppgave: La . (a) Finn egenverdiene og egenvektorene. (b) Skriv som lineaerkombinasjon av egenvektorene, og finn .
Løsning (a): Sporet er og determinanten er . Det karakteristiske polynomet er , som gir og .
For : gir , så .
For : gir .
Løsning (b): Vi løser . Fra radene: og . Addisjon gir , så , .
Siden , forsvinner det andre leddet i grensen:
Oppgave: Avgjor om vektorene danner en basis for .
Løsning: Vi beregner determinanten:
Utvikling langs første rad:
Siden determinanten er ulik null, er vektorene lineaert uavhengige og danner dermed en basis for .
Nøkkelformler
Vanlige feil
Eksamenstips
Laster...