Oversikt

Lineær algebra i liten skala er et fast innslag på MAT1100. Matriser forekommer i 18 av 20 ordinære sett — i alle sett fra 2006 til 2023 — og er nesten alltid en tungt vektet Del 2-oppgave på 20–30 poeng. Vektorgeometri i rommet (kryssprodukt, areal, volum via determinant) forekommer i 11 av 20 sett, konsentrert i årene 2007–2019.

Den viktigste enkeltoppgaven i hele emnet er overgangsmatrisen: en verbal beskrivelse av hvordan noe fordeler seg fra én periode til den neste, som skal oversettes til en matrise. Den har kommet i en eller annen form i 2006, 2007, 2011, 2012, 2014, 2015, 2017, 2018, 2020, 2021, 2022 og 2023.

Overgangsmatriser: kolonne for kolonne

Regelen som løser alle disse oppgavene: kolonne \( j \) i \( M \) forteller hva én enhet i kategori \( j \) blir til neste periode. Fyller du inn én kolonne av gangen mens du leser beskrivelsen kategori for kategori, kan du ikke gjøre feil. Radsummen er ikke nødvendigvis 1, og kolonnesummen er 1 bare hvis ingenting forsvinner — «resten går tapt» gir kolonnesum under 1, og det skal den.

Eksempel 1: overgangsmatrise og to skritt fram

Oppgave: Et bibliotek har filialene \( A \) og \( B \). Av bøkene som står i \( A \) ved årets start, er \( 80\ \% \) i \( A \) året etter og \( 15\ \% \) i \( B \); resten er tapt. Av bøkene i \( B \) er \( 20\ \% \) i \( A \) året etter og \( 70\ \% \) i \( B \); resten er tapt. (a) Finn \( M \) og \( M^2 \). (b) Med \( 100\,000 \) bøker i hver filial ved starten: hvor mange er i hver filial to år etter, og hvor mange er tapt?

(a) Første kolonne beskriver bøkene fra \( A \): \( 0{,}80 \) blir i \( A \), \( 0{,}15 \) havner i \( B \). Andre kolonne beskriver bøkene fra \( B \): \( 0{,}20 \) til \( A \), \( 0{,}70 \) i \( B \). Altså

\[ M=\begin{pmatrix}0{,}80 & 0{,}20\\ 0{,}15 & 0{,}70\end{pmatrix}. \]

Matrisemultiplikasjon rad mot kolonne gir

\[ M^2=\begin{pmatrix}0{,}64+0{,}03 & 0{,}16+0{,}14\\ 0{,}12+0{,}105 & 0{,}03+0{,}49\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}670 & 0{,}300\\ 0{,}225 & 0{,}520\end{pmatrix}. \]

(b) Med \( \mathbf r_0=(100\,000,\;100\,000) \) blir \( M^2\mathbf r_0=(67\,000+30\,000,\;22\,500+52\,000)=(97\,000,\;74\,500) \). Til sammen \( 171\,500 \) bøker, så \( 200\,000-171\,500=28\,500 \) er tapt.

Kontroll, ett år av gangen: etter år 1 er \( A=100\,000 \) og \( B=85\,000 \). Etter år 2: \( A=0{,}80\cdot100\,000+0{,}20\cdot85\,000=97\,000 \) og \( B=0{,}15\cdot100\,000+0{,}70\cdot85\,000=74\,500 \). Samme svar. Stemmer.

Å gå bakover i tid

Et fast oppfølgingsspørsmål er: «finnes det en matrise \( N \) som tar oss ett skritt bakover?» Svaret er \( N=M^{-1} \), som finnes hvis og bare hvis \( \det M\neq0 \). Dette er et argumentasjonsspørsmål: regn ut determinanten og begrunn konklusjonen. I aldersklassemodeller er svaret ofte nei — har den eldste klassen verken overlevelse eller reproduksjon, blir en kolonne null, determinanten null, og fortiden er tapt for alltid.

Samme resonnement gir det andre standardsvaret: er \( M \) inverterbar, er \( M^n \) inverterbar for alle \( n \), fordi \( \det(M^n)=(\det M)^n\neq0 \), med \( (M^n)^{-1}=(M^{-1})^n \).

Eksempel 2: aldersklassemodell som ikke kan reverseres

Oppgave: Hunkaniner deles i tre klasser etter alder: \( 0 \), \( 1 \) og \( 2 \) år, og selges når de fyller \( 3 \). Bare ettårige føder, og de føder to unger hver. Ingen dør før de selges. Finn \( M \), avgjør om \( M \) er inverterbar, og regn ut \( M^2 \).

Løsning: Med \( (x_n,y_n,z_n) \) som antall \( 0 \)-, \( 1 \)- og \( 2 \)-åringer blir

\[ M=\begin{pmatrix}0&2&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}. \]

Kolonne 1: en \( 0 \)-åring føder ikke, men blir \( 1 \) år. Kolonne 2: en \( 1 \)-åring føder to unger og blir \( 2 \) år. Kolonne 3: en \( 2 \)-åring selges og bidrar med ingenting — derfor er hele kolonnen null.

En matrise med en nullkolonne har determinant \( 0 \), så \( M \) er ikke inverterbar. Modellmessig: fortiden kan ikke rekonstrueres, fordi antallet \( 2 \)-åringer forrige sesong ikke etterlater spor. Videre er \( M^2=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\1&0&0\end{pmatrix} \).

Kontroll av første rad: rad 1 i \( M \) er \( (0,2,0) \), og ganget med kolonnene i \( M \) gir det \( 2 \), \( 0 \), \( 0 \). Stemmer.

Invers og determinant for hånd

For \( 2\times2 \) er \( M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \) invertibel når \( \det M=ad-bc\neq0 \), med \( M^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \).

For \( 3\times3 \) ber eksamen sjelden om at du finner inversen fra grunnen av. Isteden får du en kandidat \( B \) oppgitt og skal vise ved regning at \( AB=I \). Merk formuleringen fra 2014-settet: «Du må vise hvordan du kommer frem til svaret ved regning og ikke bare bruke en kalkulator til å invertere matrisen.» Skriv ut alle ni skalarproduktene.

Eksempel 3: invers av en \( 2\times2 \)-matrise

Oppgave: Finn inversen til \( M=\begin{pmatrix}3&2\\8&5\end{pmatrix} \).

Løsning: \( \det M=3\cdot5-2\cdot8=-1\neq0 \), så inversen finnes:

\[ M^{-1}=\frac1{-1}\begin{pmatrix}5&-2\\-8&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&2\\8&-3\end{pmatrix}. \]

Kontroll: \( \begin{pmatrix}3&2\\8&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5&2\\8&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-15+16 & 6-6\\ -40+40 & 16-15\end{pmatrix}=I \). Stemmer.

Matrisepotenser og mønstre

Oppgaver som ber om \( M^n \) er alltid konstruert slik at det finnes et mønster. Tre situasjoner går igjen: periodisitet (for \( M=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \) er \( M^2=-I \), derfor \( M^4=M^8=I \)); enkel struktur (for \( M(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix} \) er \( M(a)M(b)=M(a+b) \), altså \( M(a)^n=M(na) \) og \( M(a)^{-1}=M(-a) \)); og induksjon — regn ut \( M^2,M^3,M^4 \), gjett formelen, og bevis den. Ber oppgaven om induksjon, forventes et fullt bevis med grunntilfelle og induksjonssteg.

Egenvektor og egenverdi — slik UiO definerer det

MAT1100 forutsetter ikke egenverditeori. Definisjonen gis i oppgaveteksten: \( \mathbf v\neq\mathbf 0 \) er en egenvektor for \( M \) med egenverdi \( k \) dersom \( M\mathbf v=k\mathbf v \). Du skal bare løse \( (M-kI)\mathbf v=\mathbf 0 \) for en oppgitt \( k \).

Eksempel 4: finn en egenvektor for oppgitt egenverdi

Oppgave: Finn en egenvektor for \( M=\begin{pmatrix}1{,}1&1{,}2\\0{,}3&0{,}2\end{pmatrix} \) med egenverdi \( k=1{,}4 \).

Løsning: Vi løser \( (M-1{,}4I)\mathbf v=\mathbf 0 \). Første ligning blir \( -0{,}3x+1{,}2y=0 \), altså \( x=4y \); andre ligning er \( -1 \) ganger den første og gir ingen ny informasjon. Med \( y=1 \) får vi \( \mathbf v=(4,1) \).

Kontroll: \( M\mathbf v=(1{,}1\cdot4+1{,}2,\;0{,}3\cdot4+0{,}2)=(5{,}6,\;1{,}4)=1{,}4\cdot(4,1) \). Stemmer. Alle multipler av \( (4,1) \) er også egenvektorer.

Vektorgeometri: areal og volum via determinant

\[ A_\triangle=\tfrac12|\mathbf a\times\mathbf b|,\qquad V_{\text{par.epiped}}=\bigl|\det[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]\bigr|,\qquad V_{\text{pyramide}}=\tfrac16\bigl|\det[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]\bigr|. \]

Får du punkter i stedet for vektorer, må du først lage kantvektorer ved å trekke ett felles hjørne fra de andre. Og glem ikke faktorene \( \tfrac12 \) og \( \tfrac16 \), eller absoluttverdien.

Eksempel 5: areal av en trekant i rommet

Oppgave: Finn arealet til trekanten med hjørner i \( P=(1,0,-2) \), \( Q=(2,-1,-2) \), \( R=(1,-3,1) \).

Løsning: Kantvektorer fra \( P \): \( \mathbf a=(1,-1,0) \) og \( \mathbf b=(0,-3,3) \). Kryssproduktet er

\[ \mathbf a\times\mathbf b=\bigl((-1)\cdot3-0\cdot(-3),\;0\cdot0-1\cdot3,\;1\cdot(-3)-(-1)\cdot0\bigr)=(-3,-3,-3), \]

med lengde \( \sqrt{27}=3\sqrt3 \). Arealet er \( \tfrac12\cdot3\sqrt3=\tfrac32\sqrt3 \).

Kontroll: kryssproduktet skal være normalt på begge: \( (-3,-3,-3)\cdot(1,-1,0)=0 \) og \( (-3,-3,-3)\cdot(0,-3,3)=9-9=0 \). Stemmer.

Eksempel 6: volum av en pyramide fra fire punkter

Oppgave: Finn volumet til pyramiden med hjørner i \( (1,2,3) \), \( (2,3,-4) \), \( (3,-4,5) \), \( (-4,5,6) \).

Løsning: Kantvektorer fra det første hjørnet er \( \mathbf a=(1,1,-7) \), \( \mathbf b=(2,-6,2) \), \( \mathbf c=(-5,3,3) \), og utvikling langs første rad gir \( \det=1(-18-6)-1(6+10)-7(6-30)=-24-16+168=128 \). Volumet er \( \tfrac16\cdot128=\dfrac{64}{3} \).

Studieguide: Vektorer og matriser