Oversikt

Uendelige rekker er en av pilarene i MAT1100. Du ma kunne avgjore om en rekke konvergerer eller divergerer ved hjelp av ulike kriterier, og beregne summen nar det er mulig.

Grunnleggende begreper

En uendelig rekke $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergerer dersom folgen av delsummer $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ konvergerer. Hvis $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$, divergerer rekken (divergenstesten).

Geometrisk rekke

$$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1$$

Divergerer for $|r| \ge 1$. Dette er den eneste rekketypen der du enkelt kan finne eksakt sum.

Konvergenskriterier

Forholdskriteriet (Ratio test): Beregn $L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.

$L < 1$: absolutt konvergens
$L > 1$: divergens
$L = 1$: ingen konklusjon

Integralkriteriet: Dersom $f$ er positiv, kontinuerlig og avtagende, konvergerer $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ hvis og bare hvis $\int_1^{\infty} f(x)\, dx$ konvergerer.

Sammenligningskriteriet: Dersom $0 \le a_n \le b_n$ og $\sum b_n$ konvergerer, sa konvergerer $\sum a_n$. Motsatt: dersom $a_n \ge b_n \ge 0$ og $\sum b_n$ divergerer, sa divergerer $\sum a_n$.

Leibniz' kriterium (alternerende rekker): Dersom $\{a_n\}$ er avtagende og $a_n \to 0$, konvergerer $\sum (-1)^n a_n$.

Absolutt vs. betinget konvergens

En rekke er absolutt konvergent dersom $\sum |a_n|$ konvergerer. En rekke er betinget konvergent dersom den konvergerer, men ikke absolutt. Absolutt konvergens impliserer konvergens, men ikke omvendt.

Eksempel 1 (Eksamen 2020, Oppgave 4)

Oppgave: Finn et eksempel pa en folge $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ av reelle tall som er strengt voksende og konvergerer mot 5.

Losning: Vi trenger en folge som oker mot 5 uten a na 5. Et naturlig valg:

$$a_n = 5 - \frac{1}{n}$$

Sjekk: $a_n = 5 - 1/n < 5 - 1/(n+1) = a_{n+1}$ (strengt voksende) og $\lim_{n \to \infty} a_n = 5$ (konvergerer mot 5). $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2019, Oppgave 5)

Oppgave: Avgjor om det uegentlige integralet $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\arctan x}{x^2}\, dx$ konvergerer eller divergerer.

Losning: Vi bruker sammenligningskriteriet. Siden $\arctan x \le \frac{\pi}{2}$ for alle $x$, har vi:

$$0 \le \frac{\arctan x}{x^2} \le \frac{\pi/2}{x^2}$$

Vi vet at $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\, dx$ konvergerer (p-test med $p = 2 > 1$). Dermed konvergerer ogsa $\int_1^{\infty} \frac{\pi/2}{x^2}\, dx$, og ved sammenligningskriteriet konvergerer $\int_1^{\infty} \frac{\arctan x}{x^2}\, dx$. $\square$

Studieguide: Uendelige rekker

Studieguide: Uendelige rekker