Oversikt

Taylors formel gir en systematisk mate a tilnaerme funksjoner med polynomer. I MAT1100 brukes Taylorrekker til a beregne grenseverdier, undersoke konvergens og tilnaerme funksjonsverdier.

Taylorpolynomet

Taylorpolynomet av grad $n$ til $f$ rundt $x = a$ er:

$$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$

Nar $a = 0$ kalles det Maclaurinpolynomet.

Viktige Maclaurinrekker

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad |x| \le 1$$

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1$$

Restleddet (Lagranges form)

$$f(x) = T_n(x) + R_n(x), \quad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

for en $c$ mellom $a$ og $x$. Brukes til a estimere feilen i tilnaermingen.

Taylorutvikling for grenseverdier

Taylor er ofte den mest effektive metoden for $0/0$-grenseverdier. Utvid teller og nevner i Taylorrekke og forenkle. Eksempel:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots) - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + \cdots}{x^2} = \frac{1}{2}$$

Eksempel 1 (Eksamen 2023, Oppgave 6b)

Oppgave: La $f$ vaere en funksjon med $f(0) = 0$, $f'(0) = 2$, $f''(0) = 3$, og $g(x) = f(x)/x$ for $x \neq 0$, $g(0) = 2$. Vis at $g$ er deriverbar i 0 og finn $g'(0)$.

Losning: Vi bruker Taylors formel: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = 2x + \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)$.

Da er $g(x) = \frac{f(x)}{x} = 2 + \frac{3}{2}x + o(x)$ for $x \neq 0$.

$$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + \frac{3}{2}h + o(h)) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \left(\frac{3}{2} + \frac{o(h)}{h}\right) = \frac{3}{2}$$

Altsa er $g'(0) = \frac{3}{2}$. $\square$

Eksempel 2: Taylorutvikling av arctan

Oppgave (typisk eksamensoppgave): Finn Maclaurinrekken til $\arctan x$ og bruk den til a beregne $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$.

Losning: Vi vet at $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$ for $|x| < 1$.

Integrasjon ledd for ledd gir:

$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$

Sett $x = 1$: $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$, sa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$ (Leibniz' formel).

Studieguide: Taylors formel

Studieguide: Taylors formel