Oversikt

Komplekse tall er et fast innslag pa MAT1100-eksamen, typisk i en egen oppgave. Du ma beherske overgang mellom kartesisk form $a + ib$ og polarform $re^{i\theta}$, samt bruke de Moivres formel til a finne roetter.

Grunnleggende regneregler

Et komplekst tall $z = a + ib$ har:

Realdel: $\text{Re}(z) = a$
Imaginaerdel: $\text{Im}(z) = b$
Modulus: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
Konjugert: $\bar{z} = a - ib$

Viktig identitet: $z \cdot \bar{z} = |z|^2$

Polarform og Eulers formel

$$z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

der $r = |z|$ og $\theta = \arg(z)$. Multiplikasjon i polarform: $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$.

De Moivres formel

$$(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$$

De $n$-te rottene av $z = re^{i\theta}$ er:

$$w_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2\pi k)/n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$

Roetter av polynomer

For polynomer med reelle koeffisienter kommer komplekse roetter alltid i konjugerte par: dersom $z_0 = a + ib$ er rot, er $\bar{z}_0 = a - ib$ ogsa rot. Det tilhorende reelle andregradspolynomet er $(x - z_0)(x - \bar{z}_0) = x^2 - 2ax + (a^2 + b^2)$.

Eksempel 1 (Eksamen 2020, Oppgave 5)

Oppgave: Finn det komplekse tallet $z$ slik at modulus er $|z| = 4$ og den ene kvadratroten av $z$ har argument $\theta = \pi/3$. Skriv $z$ pa formen $a + ib$.

Losning: La $w = \sqrt{z}$. Da har $w$ modulus $|w| = \sqrt{|z|} = \sqrt{4} = 2$ og argument $\pi/3$. Sa:

$$w = 2e^{i\pi/3} = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}$$

Da er $z = w^2$:

$$z = (1 + i\sqrt{3})^2 = 1 + 2i\sqrt{3} + (i\sqrt{3})^2 = 1 + 2i\sqrt{3} - 3 = -2 + 2i\sqrt{3}$$

Kontroll: $|z| = \sqrt{4 + 12} = 4$. $\checkmark$

Eksempel 2 (Eksamen 2019, Oppgave 7)

Oppgave: (a) Skriv de komplekse rottene til $x^2 + x + 1$ bade pa $a + ib$-form og polarform. (b) Faktoriser $x^4 + x^2 + 1$ i reelle andregradspolynomer.

Losning (a): Andregradsformelen gir:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$

Kartesisk: $z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ og $z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Polarform: $|z_1| = \sqrt{1/4 + 3/4} = 1$, $\arg(z_1) = \frac{2\pi}{3}$. Sa $z_1 = e^{i2\pi/3}$ og $z_2 = e^{-i2\pi/3}$. (Merk: dette er de primitive tredjeroettene av enhet!)

Losning (b): Vi observerer at $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$. Kontroll: $(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4 - x^3 + x^2 + x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^4 + x^2 + 1$. $\checkmark$

Studieguide: Komplekse tall

Studieguide: Komplekse tall