Oversikt

Integrasjon er det mest regnetekniske temaet pa eksamen og utgjor typisk 20-30 % av poengene. Du ma beherske substitusjonsmetoden, delvis integrasjon og delbrokoppspalting. I tillegg testes uegentlige integraler og anvendelser (volum av omdreiningslegemer) regelmessig.

Substitusjonsmetoden

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int f(u)\, du, \quad u = g(x)$$

Velg $u$ slik at integranden forenkles. Vanlige valg: $u = $ det som star inne i en sammensatt funksjon, eller $u = $ det som gir en enklere differensial.

Delvis integrasjon

$$\int u\, dv = uv - \int v\, du$$

Brukes nar integranden er et produkt av to typer funksjoner. ILATE-regelen (Invers trig, Logaritme, Algebraisk, Trigonometrisk, Eksponentiell) hjelper med valg av $u$.

Delbrokoppspalting

For rasjonale funksjoner $P(x)/Q(x)$ der $\deg P < \deg Q$: faktoriser nevneren og skriv som sum av enklere broker. For eksempel:

$$\frac{1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$$

Uegentlige integraler

Integraler med uendelig grense eller singularitet. Konvergens avgjores ved a ta grenseverdi:

$$\int_1^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b f(x)\, dx$$

Sammenligningskriteriet: Dersom $0 \le f(x) \le g(x)$ og $\int g$ konvergerer, sa konvergerer $\int f$.

Nyttig referanse: $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\, dx$ konvergerer for $p > 1$ og divergerer for $p \le 1$.

Volum av omdreiningslegeme

Rotasjon om $x$-aksen (skivemetoden):

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx$$

Rotasjon om $y$-aksen (skallmetoden):

$$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\, dx$$

Eksempel 1 (Eksamen 2023, Oppgave 4)

Oppgave: Regn ut (a) $\displaystyle\int \frac{4x+5}{x^2+4x+5}\, dx$ og (b) $\displaystyle\int 2x \arctan(x+2)\, dx$.

Losning (a): Vi fullforer kvadratet i nevneren: $x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1$. Telleren skrives som: $4x + 5 = 2(2x+4) - 3$. Da:

$$\int \frac{4x+5}{x^2+4x+5}\, dx = 2\int \frac{2x+4}{(x+2)^2+1}\, dx - 3\int \frac{1}{(x+2)^2+1}\, dx$$

Forste integral: substitusjon $u = (x+2)^2 + 1$ gir $2\ln|x^2+4x+5|$.

Andre integral: $3\arctan(x+2)$.

$$= 2\ln(x^2+4x+5) - 3\arctan(x+2) + C$$

Losning (b): Delvis integrasjon med $u = \arctan(x+2)$, $dv = 2x\, dx$:

$$\int 2x\arctan(x+2)\, dx = x^2 \arctan(x+2) - \int \frac{x^2}{1+(x+2)^2}\, dx$$

Det gjenstaaende integralet loses ved polynomdivisjon og standard teknikker.

Eksempel 2 (Eksamen 2022, Oppgave 2)

Oppgave: Finn de ubestemte integralene (a) $\displaystyle\int \ln(x^7)\, dx$ og (b) $\displaystyle\int \frac{1}{x^2(x+1)}\, dx$.

Losning (a): Forenkle forst: $\ln(x^7) = 7\ln x$. Sa delvis integrasjon:

$$7\int \ln x\, dx = 7\left(x\ln x - \int 1\, dx\right) = 7x\ln x - 7x + C$$

Losning (b): Delbrokoppspalting:

$$\frac{1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$$

Sett $x = 0$: $B = 1$. Sett $x = -1$: $C = 1$. Sammenlign koeffisienter: $A = -1$.

$$\int \left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1}\right)dx = -\ln|x| - \frac{1}{x} + \ln|x+1| + C$$

Studieguide: Integrasjon

Studieguide: Integrasjon