Oversikt

Dette temaet dekker alt du gjør med den deriverte etter at du har regnet den ut: monotoni, konveksitet, asymptoter, ekstremalpunkter, optimaliseringsoppgaver med tekst, og relaterte rater. Det forekommer i 9 av 20 ordinære sett, men i 11 av 15 deleksamener — og på deleksamen var det ofte tre til fem spørsmål, blant dem de to siste og vanskeligste.

Vekten er derfor skjev: hvis du sikter mot en god karakter på deleksamen, er dette et av de aller viktigste temaene. På den ordinære eksamenen dukker det opp som en drøftingsoppgave eller en tekstoppgave om optimalisering.

Monotoni og konveksitet — hold reglene fra hverandre

\( f' \) styrer om funksjonen stiger eller synker. \( f'' \) styrer krumningen:

\( f''>0 \) på et intervall \( \Longrightarrow \) \( f \) er strengt konveks der (grafen krummer oppover).
\( f''<0 \) på et intervall \( \Longrightarrow \) \( f \) er strengt konkav der.
Et vendepunkt krever fortegnsskifte i \( f'' \). At \( f''(c)=0 \) er ikke nok.

Den klassiske fellen er å blande sammen nullpunktene til \( f' \) og til \( f'' \).

Eksempel 1: hvor er \( f(x)=x\ln x \) konveks?

Løsning: Definisjonsmengden er \( (0,\infty) \). Vi har \( f'(x)=\ln x+1 \) og \( f''(x)=\frac1x \).

Siden \( \frac1x>0 \) for alle \( x>0 \), er \( f \) strengt konveks på hele \( (0,\infty) \) — det finnes ikke noe vendepunkt.

Merk fellen: \( f'(x)=0 \) gir \( x=1/e \), og der har \( f \) sitt globale minimum. Men \( 1/e \) er ikke et vendepunkt, og konveksiteten skifter ikke der. Et svaralternativ av typen «konkav på \( (0,1/e) \), konveks på \( (1/e,\infty) \)» er galt.

Eksempel 2: vendepunkter finnes bare ved fortegnsskifte

Oppgave: Har \( f(x)=2(x-1)^4 \) et vendepunkt i \( x=1 \)?

Løsning: \( f'(x)=8(x-1)^3 \) og \( f''(x)=24(x-1)^2 \). Vi har \( f''(1)=0 \), men \( f''(x)\ge0 \) for alle \( x \) — det er ingen fortegnsskifte. Altså er \( f \) konveks på hele \( \mathbb R \), og \( x=1 \) er et globalt minimum, ikke et vendepunkt.

Asymptoter, særlig skråasymptoter

Skråasymptoter er den mest testede enkeltdelen av temaet på deleksamen. Framgangsmåten er alltid to grenser:

\[ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr), \]

og asymptoten er \( y=ax+b \). Finnes ikke \( b \), finnes ikke asymptoten. Regn separat for \( x\to-\infty \) — de to grenene kan ha ulike asymptoter.

Eksempel 3: \( f(x)=xe^{7/x} \)

Løsning: \( a=\lim_{x\to\infty}e^{7/x}=e^0=1 \). For \( b \) setter vi \( t=7/x \), slik at \( t\to0^+ \) og \( x=7/t \):

\[ b=\lim_{x\to\infty}\bigl(xe^{7/x}-x\bigr)=\lim_{x\to\infty}x\bigl(e^{7/x}-1\bigr)=\lim_{t\to0^+}\frac{7\bigl(e^{t}-1\bigr)}{t}=7\cdot1=7. \]

Skråasymptoten er \( y=x+7 \).

Kontroll: for store \( x \) er \( e^{7/x}\approx1+\frac7x \), så \( f(x)\approx x+7 \). Stemmer.

Eksempel 4: \( f(x)=\sqrt{x^2+3x} \) når \( x\to\infty \)

Løsning: \( a=\lim\frac{\sqrt{x^2+3x}}x=\lim\sqrt{1+\frac3x}=1 \). For \( b \) bruker vi konjugattrikset:

\[ \sqrt{x^2+3x}-x=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}\longrightarrow\frac32. \]

Asymptoten er \( y=x+\frac32 \).

Globale ekstremalpunkter

Skal du finne det største eller minste en funksjon kan bli, må du argumentere for globalitet. Det finnes tre standardargumenter:

Lukket, begrenset intervall: ekstremalverdisetningen sier at en kontinuerlig funksjon antar både maksimum og minimum. Sammenlign verdiene i de stasjonære punktene og i endepunktene.
Én stasjonær verdi og kjent krumning: er \( f''>0 \) på hele intervallet, er det eneste stasjonære punktet et globalt minimum.
Fortegnsskjema for \( f' \): skifter \( f' \) fra positiv til negativ i \( c \), og bare der, er \( c \) globalt maksimum.

Det holder ikke å skrive «\( f'(c)=0 \), altså er \( c \) et maksimum». Det er det argumentet sensorene trekker mest for.

Optimalisering med tekst

Oppskriften er den samme hver gang: (1) navngi variabelen, (2) skriv opp bibetingelsen, (3) uttrykk størrelsen som skal optimeres som funksjon av én variabel, med definisjonsmengde, (4) deriver og finn stasjonære punkter, (5) argumenter for globalitet, (6) svar på det som faktisk ble spurt om.

Eksempel 5: største rektangel under en parabel

Oppgave: Et rektangel har grunnlinje på \( x \)-aksen og de to øvre hjørnene på parabelen \( y=12-x^2 \). Hva er det største arealet et slikt rektangel kan ha?

Løsning: La \( x>0 \) være halve grunnlinjen. Da er høyden \( 12-x^2 \), og arealet

\[ A(x)=2x\bigl(12-x^2\bigr)=24x-2x^3,\qquad x\in\bigl(0,\sqrt{12}\bigr). \]

Vi deriverer: \( A'(x)=24-6x^2 \), som er null for \( x^2=4 \), altså \( x=2 \) (den positive løsningen). Videre er \( A''(x)=-12x<0 \) på hele intervallet, så \( A \) er konkav, og det eneste stasjonære punktet er et globalt maksimum.

\[ A(2)=2\cdot2\cdot(12-4)=4\cdot8=32. \]

Kontroll: \( A(1)=24-2=22 \) og \( A(3)=72-54=18 \), begge mindre enn 32. Stemmer.

Eksempel 6: eske med minst overflate

Oppgave: En eske uten topp skal ha kvadratisk bunn og volum \( 4\ \text{dm}^3 \). Hvor høy må esken være for at overflaten skal bli minst mulig?

Løsning: Kall bunnsiden \( s \) og høyden \( h \). Bibetingelsen er \( s^2h=4 \), altså \( h=4/s^2 \). Overflaten (bunn og fire sidevegger) er

\[ A(s)=s^2+4sh=s^2+\frac{16}{s},\qquad s>0. \]

Vi deriverer: \( A'(s)=2s-\frac{16}{s^2} \), som er null når \( 2s^3=16 \), altså \( s=2 \). Videre er \( A''(s)=2+\frac{32}{s^3}>0 \) for alle \( s>0 \), så \( A \) er strengt konveks og \( s=2 \) gir det globale minimumet.

Høyden blir \( h=\dfrac{4}{2^2}=1 \).

Svar: esken må være \( 1\ \text{dm} \) høy. Kontroll: \( A(2)=4+8=12 \), mens \( A(1)=1+16=17 \) og \( A(3)=9+16/3\approx14{,}3 \). Stemmer.

Relaterte rater

Her endrer to eller flere størrelser seg med tiden, og du kjenner én rate og skal finne en annen. Metoden er mekanisk:

Skriv opp en ligning mellom størrelsene som gjelder hele tiden (Pytagoras, en trigonometrisk relasjon, en volumformel).
Deriver hele ligningen implisitt med hensyn på \( t \).
Sett inn de kjente øyeblikksverdiene til slutt. Sett aldri inn tall før du har derivert.

Eksempel 7: fart via avstandsendring

Oppgave: Et fly flyr horisontalt i \( 8 \) km høyde. Når avstanden fra et observasjonspunkt på bakken er \( 10 \) km, øker avstanden med \( 600 \) km/t. Hvor stor er flyets fart?

Løsning: La \( x(t) \) være den horisontale avstanden og \( r(t) \) avstanden i luftlinje. Pytagoras gir

\[ x^2+64=r^2. \]

Vi deriverer med hensyn på \( t \): \( 2x\,x'=2r\,r' \), altså \( x'=\dfrac{r\,r'}{x} \).

Når \( r=10 \), er \( x=\sqrt{100-64}=6 \). Med \( r'=600 \) får vi

\[ x'=\frac{10\cdot600}{6}=1000\ \text{km/t}. \]

Eksempel 8: en vinkel som endrer seg

Oppgave: En fallskjerm faller loddrett, observert av en person som står \( 100 \) m fra landingspunktet. Når siktevinkelen \( u \) er \( \frac\pi4 \), endrer den seg med \( 0{,}03 \) radianer per sekund. Hvor fort faller fallskjermen?

Løsning: La \( y(t) \) være høyden. Da er \( \tan u=\dfrac y{100} \), altså \( y=100\tan u \). Derivasjon med hensyn på \( t \) gir

\[ y'=\frac{100}{\cos^2u}\cdot u'. \]

Med \( u=\frac\pi4 \) er \( \cos^2u=\frac12 \), så \( \dfrac1{\cos^2u}=2 \), og

\[ |y'|=100\cdot2\cdot0{,}03=6\ \text{m/s}. \]

Merk fortegnet: fallskjermen synker, så \( y'<0 \) og dermed \( u'<0 \). Oppgaven oppgir endringsraten i absoluttverdi, og svaret er at fallskjermen faller med \( 6 \) m/s.

Studieguide: Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

Studieguide: Ekstremalverdier og anvendt derivasjon