MAT1100

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Kalkulus

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Grenser og kontinuitet

•Epsilon-delta: \[ \lim_{x\to a}f(x)=L\iff\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon \]
•Standardgrenser: \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12,\quad\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1 \]
•Potensuttrykk: \[ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)} \]
•Monoton konvergens: en voksende, oppad begrenset følge konvergerer
•Dominans: \[ \ln n\ll n^p\ll a^n\ll n!\ll n^n\qquad(p>0,\;a>1) \]

Derivasjon

•Definisjon: \[ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]
•Kjerneregel og annenderivert: \[ (g\circ f)''=g''(f)(f')^2+g'(f)f'' \]
•Omvendt funksjon: \[ g'(b)=\frac1{f'(a)}\quad\text{når }f(a)=b,\;f'(a)\neq0 \]
•Fundamentalteorem med kjerneregel: \[ \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f=f(v)v'-f(u)u' \]
•Restleddvurdering: \[ |f(b)-f(a)-f'(a)(b-a)|\le\tfrac{M}{2}(b-a)^2,\quad|f''|\le M \]

Integrasjon

•Substitusjon: \[ \int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du \]
•Delvis integrasjon: \[ \int u\,dv=uv-\int v\,du \]

Vanlige feil å unngå

Grenser og kontinuitet

•Bruke l'Hôpital på et uttrykk som ikke har formen \( 0/0 \) eller \( \infty/\infty \). Sjekk formen hver gang, også etter hver runde.
•Regne ut fikspunktet og tro at følgen dermed er vist å konvergere. Fikspunktet er bare kandidaten til grensen.
•Bruke derivasjonsreglene i et punkt der funksjonen skifter uttrykk. Der må differansekvotienten regnes direkte.
•Konkludere at en funksjon er deriverbar fordi den er kontinuerlig. Implikasjonen går bare den ene veien.
•Glemme at skjæringssetningen krever et LUKKET intervall og en KONTINUERLIG funksjon — begge hypotesene må nevnes.

Derivasjon

•Bruke potensregelen på \( f(x)^{g(x)} \) når eksponenten inneholder \( x \). Da må du ta logaritmen først.
•Glemme den indre deriverte i kjerneregelen, særlig i det innerste laget av en tre-lags sammensetning.
•Skrive \( (g\circ f)''=g''(f)f'' \) — kvadratet på \( f' \) i det første leddet mangler.
•La integrasjonsvariabelen \( t \) bli stående i svaret etter at man har derivert et integral med hensyn på \( x \).
•Bruke \( g'(b)=1/f'(b) \) i stedet for \( 1/f'(a) \) der \( f(a)=b \). Argumentet skal inn i \( f' \), ikke i \( g \).
•Anta at \( f' \) er kontinuerlig fordi \( f \) er deriverbar. Det gjelder ikke.

Eksamenstips

Grenser og kontinuitet

•Deleksamen hadde 4–8 grensespørsmål av 20. Typene er faste: rasjonalt uttrykk i \( n \), konjugattriks med kvadratrøtter, l'Hôpital på \( 0/0 \), potensuttrykk via logaritmen, og en rekursiv følge.
•På de ordinære settene etter 2017 er nesten alltid ett punkt av typen «vis at \( f \) er kontinuerlig i 0» og ett av typen «avgjør om \( f \) er deriverbar i 0» (2019, 2020, 2021, 2022, 2023). Regn ALLTID på differansekvotienten direkte i slike punkter.
•Skal du vise at noe IKKE har en grense, oppgi to konkrete følger \( x_n\to a \) som gir forskjellige grenser. Det er et fullstendig bevis; «uttrykket svinger» er det ikke.
•Epsilon-delta-oppgaver løses med oppskriften: faktoriser ut \( |x-a| \), begrens resten ved først å kreve \( |x-a|<1 \), og velg \( \delta=\min\{1,\varepsilon/K\} \).
•«Vis at ligningen har en løsning» betyr skjæringssetningen. Nevn eksplisitt at funksjonen er kontinuerlig, og oppgi to tall med motsatt fortegn.
•Ved rekursive følger: fikspunktligningen finner kandidaten, men beviset for konvergens krever monotoni PLUSS begrensethet.

Derivasjon

•Logaritmisk derivasjon er nesten alltid ett av de tre poengs-spørsmålene på deleksamen: \( x^{\sin x} \), \( (x^2+1)^x \), \( (2+\cos x)^{e^x} \), \( a^x+x^a+ax \). Har du variabel i både grunntall og eksponent, ta logaritmen.
•Formelen \( g'(b)=1/f'(a) \) for omvendt funksjon krever at du finner \( a \) med \( f(a)=b \). Prøv \( a=0 \) og \( a=1 \) først — oppgavene er konstruert slik at det går opp.
•\( \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt \) gir to ledd med motsatt fortegn. Glemmer du \( v'(x) \) eller lar \( t \) stå i svaret, er svaret galt.

•Logaritmisk form: \[ \int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\ln|g(x)|+C \]

•Arctan-form: \[ \int\frac{dx}{x^2+k^2}=\frac1k\arctan\frac xk+C \]

•Delbrøkoppsett: \[ \frac{P(x)}{(x-a)^2(x^2+1)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1} \]

Komplekse tall

•Polarform: \[ z=a+bi=re^{i\theta},\quad r=\sqrt{a^2+b^2} \]
•Eulers formel: \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]
•de Moivre: \[ z^n=r^ne^{in\theta} \]
•\(n\)-te røtter: \[ w_k=r^{1/n}e^{i(\theta+2\pi k)/n},\quad k=0,\dots,n-1 \]
•Konjugert rotpar gir reell faktor: \[ (x-z)(x-\bar z)=x^2-2\operatorname{Re}(z)x+|z|^2 \]

Vektorer og matriser

•Invers av \( 2\times2 \): \[ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \]
•Inverterbar: \[ M^{-1}\ \text{finnes}\iff\det M\neq0 \]
•Determinant av potens: \[ \det(M^n)=(\det M)^n \]
•Egenvektor: \[ M\mathbf v=k\mathbf v,\quad\mathbf v\neq\mathbf 0\iff(M-kI)\mathbf v=\mathbf 0 \]
•Areal av trekant: \[ A=\tfrac12|\mathbf a\times\mathbf b| \]
•Volum: \[ V_{\text{par.epiped}}=|\det[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]|,\quad V_{\text{pyramide}}=\tfrac16|\det[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]| \]

Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

•Skråasymptote: \[ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\quad b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax),\quad y=ax+b \]
•Konveks på et intervall: \[ f''(x)>0 \]
•Vendepunkt i \(c\): \[ f''\ \text{skifter fortegn i}\ c \]
•Ekstremalverdisetningen: \( f \) kontinuerlig på lukket, begrenset intervall antar maks og min
•Relaterte rater: deriver relasjonen implisitt m.h.p. \( t \), f.eks. \[ x^2+c^2=r^2\Rightarrow x\,x'=r\,r' \]

Uegentlige integraler og anvendelser

•Definisjon: \[ \int_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int_a^Rf \]
•p-testen: \[ \int_1^\infty x^{-p}dx\ \text{konv.}\iff p>1,\qquad \int_0^1x^{-p}dx\ \text{konv.}\iff p<1 \]
•Sammenligning: \[ 0\le f\le g\ \text{og}\ \int g<\infty\ \Rightarrow\ \int f<\infty \]
•Volum om \(x\)-aksen: \[ V=\pi\int_a^bf(x)^2dx \]
•Volum om \(y\)-aksen: \[ V=2\pi\int_a^bx\,f(x)\,dx \]
•Buelengde: \[ L=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx \]

Funksjoner av flere variable

•Gradient: \[ \nabla f=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) \]
•Retningsderivert (uten normering): \[ f'(\mathbf a;\mathbf r)=\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf r \]
•Raskest vekst i retning \( \nabla f(\mathbf a) \), med stigningstall \[ |\nabla f(\mathbf a)| \]
•Kjerneregel langs en kurve: \[ \frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=f_xx'(t)+f_yy'(t) \]
•Jacobi-matrise: \[ \mathbf F'=\begin{pmatrix}\partial F_1/\partial x & \partial F_1/\partial y\\ \partial F_2/\partial x & \partial F_2/\partial y\end{pmatrix} \]
•Deriverbarhet: \[ \lim_{\mathbf x\to\mathbf 0}\frac{|\mathbf F(\mathbf x)-\mathbf F(\mathbf 0)-M\mathbf x|}{\|\mathbf x\|}=0 \]

•Glemme å bytte grensene ved substitusjon i et bestemt integral, eller la den gamle variabelen stå igjen i svaret.
•Feil oppsett av delbrøker: en gjentatt faktor \( (x-a)^2 \) krever BÅDE \( A/(x-a) \) og \( B/(x-a)^2 \), og en irredusibel kvadratisk faktor krever teller av første grad.
•Hoppe over polynomdivisjonen når graden i telleren er minst like høy som i nevneren.
•Skrive \( \ln(x^2+4x+5) \) med absoluttverdi (unødvendig) eller \( \ln x \) uten (galt).
•Glemme \( +C \) i ubestemte integraler.
•Bytte om kvantorene i integrerbarhetskriteriet: det er «for alle \( \varepsilon>0 \) finnes trappesummer med \( S-s<\varepsilon \)».

Komplekse tall

•Regne argumentet som \( \arctan(b/a) \) uten å justere for kvadrant — feil i andre og tredje kvadrant.
•Oppgi bare én \( n \)-te rot. Et komplekst tall \( \neq 0 \) har alltid nøyaktig \( n \) forskjellige \( n \)-te røtter.
•Bruke regelen «konjugerte røtter opptrer i par» på polynomer med komplekse koeffisienter. Den gjelder bare når alle koeffisientene er reelle.
•Blande sammen reell og kompleks faktorisering, eller stoppe etter den ene når oppgaven ber om begge.
•Glemme å trekke kvadratrota av diskriminanten i det komplekse planet: \( \sqrt{8i} \) er ikke \( 2\sqrt2\,i \), men \( 2+2i \).

Vektorer og matriser

•Sette opp overgangsmatrisen radvis i stedet for kolonnevis — resultatet blir den transponerte, og alle senere svar blir gale.
•Tvinge kolonnesummen til 1 når beskrivelsen sier at noe går tapt.
•Konkludere at man kan gå bakover i tid uten å sjekke determinanten.
•Glemme faktoren \( \tfrac12 \) for trekant eller \( \tfrac16 \) for pyramide — determinanten gir volumet av hele parallellepipedet.
•Glemme absoluttverdien: areal og volum er aldri negative.
•Bruke punktene direkte i determinanten i stedet for kantvektorene mellom dem.
•Bruke kalkulator til å invertere når oppgaven ber om regning.

Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

•Konkludere at et stasjonært punkt er et ekstremalpunkt uten å sjekke fortegnsskifte eller andrederivert.
•Kalle \( c \) et vendepunkt bare fordi \( f''(c)=0 \). Fortegnsskifte er nødvendig — se \( f(x)=(x-1)^4 \).
•Glemme endepunktene når det globale maksimumet søkes på et lukket intervall.
•Sette inn tallverdiene før implisitt derivasjon i relaterte-rater-oppgaver.
•Glemme definisjonsmengden i optimaliseringsoppgaver — en lengde eller radius kan ikke være negativ, og bibetingelsen setter ofte en øvre grense.
•Regne bare én av grensene \( x\to\pm\infty \) når funksjonen har forskjellige asymptoter i de to retningene.

Uegentlige integraler og anvendelser

•Regne ut et uegentlig integral som om det var vanlig, uten å skrive opp grenseovergangen.
•Feil ulikhet i p-testen: nær uendelig konvergerer \( x^{-p} \) for \( p>1 \), nær null for \( p<1 \). Og \( p=1 \) divergerer i begge.
•Bruke sammenligningskriteriet uten å sjekke at integranden er ikke-negativ, eller uten å oppgi intervallet ulikheten gjelder på.
•Anta at et integral med singularitet inne i intervallet konvergerer fordi de to uendelige bidragene «kansellerer». Begge delene må konvergere hver for seg.
•Forveksle skive- og skallmetoden, eller bruke skallmetoden når \( a<0 \).
•Glemme at buelengdeintegralet kan være uegentlig i endepunktene, som for halvsirkelen.

Funksjoner av flere variable

•Normere retningsvektoren når oppgaven ikke ber om det. UiO bruker \( \nabla f\cdot\mathbf r \) direkte.
•Svare med gradientvektoren når det spørres om stigningstallet, eller med \( |\nabla f| \) når det spørres om retningen.
•Glemme den indre deriverte: \( \partial_y\cos(yz)=-z\sin(yz) \), ikke \( -\sin(yz) \).
•Derivere faktorer som ikke inneholder variabelen man deriverer etter.
•Transponere Jacobi-matrisen — radene er gradientene til komponentfunksjonene.
•I kjerneregelen sette inn \( V(t) \) og \( T(t) \) der \( V'(t) \) og \( T'(t) \) skal stå.
•Tro at eksistens av alle partiellderiverte medfører deriverbarhet. Grensen med \( \|\mathbf x\| \) i nevneren må sjekkes.

•Annenderivert av \( g(f(x)) \) er \( g''(f)(f')^2+g'(f)f'' \). Sjekk at du har KVADRATET på \( f' \) i første ledd.

•Kontroller deriverte ved å sette inn en enkel verdi (ofte \( x=0 \) eller \( x=1 \)) i både funksjon og formel.

•«Vis at \( \lim_{x\to a}f'(x) \) ikke eksisterer» besvares med to konkrete følger som gir forskjellige grenser — ikke med at uttrykket svinger.

Integrasjon

•Integrasjon er på ALLE ordinære eksamener, typisk to til fire integraler. Klassifiser hvert integral FØR du begynner: substitusjon, delvis, delbrøk eller fullføre kvadratet.
•Ser du \( \ln \) eller \( \arctan \) i integranden, start med delvis integrasjon. Ser du en irredusibel andregradsnevner, del opp i logaritmedel og arctan-del.
•Ved delvis integrasjon kan du velge konstanten i antideriverten \( v \) fritt. \( v=x^2+5 \) i stedet for \( x^2 \) forkortet 2023-oppgaven kraftig.
•Flervalgsdelen tester ofte bare OPPSETTET av en delbrøkoppspalting, uten at konstantene skal regnes ut. Sjekk antall ledd og graden i hver teller.
•Kontroller hvert ubestemt integral ved å derivere svaret. Det tar 20 sekunder og fanger nesten alle fortegns- og faktorfeil.
•Åpne oppgaver av typen «finn et eksempel på et integral som løses med substitusjonen \( u=\arctan 7x \)» krever at du selv konstruerer integralet. Velg noe enkelt som \( \int\frac{\arctan 7x}{1+49x^2}dx \) og regn det ut.
•Husk absoluttverdi i \( \ln|x| \) når integranden er definert for negative argumenter — men IKKE når nevneren er en sum av kvadrater.

Komplekse tall

•På deleksamen er komplekse tall 4–7 av 20 spørsmål. De tre faste typene er: (i) omregning mellom \( a+bi \) og \( re^{i\theta} \), (ii) en høy potens via de Moivre, (iii) en mengde i planet gitt ved en absoluttverdi-ulikhet.
•På de ordinære settene er Del 2-oppgaven nesten alltid av typen «vis at \( z_0 \) er en rot, finn de øvrige, og gi reell og kompleks faktorisering» (2006, 2013, 2016, 2019). Øv på polynomdivisjon for hånd.
•Oppgaven ber ofte om BÅDE reell og kompleks faktorisering. Å levere bare én av dem er halv uttelling — det er to forskjellige svar.
•Tegn alltid punktet før du oppgir argumentet. Kvadrantfeil på \( \arctan(b/a) \) er den enkeltfeilen som koster flest poeng på dette temaet.
•Kontroller løsninger av annengradsligninger med at summen er \( -b/a \) og produktet \( c/a \). Det tar ti sekunder og avslører fortegnsfeil.
•Husk at \( n \)-te røtter alltid er \( n \) i tallet og ligger jevnt fordelt på en sirkel om origo. Et svar med for få røtter er galt uansett hvor riktig regningen ser ut.

Vektorer og matriser

•Overgangsmatrisen er emnets mest forutsigbare tungvektsoppgave (2006, 2007, 2011, 2012, 2014, 2015, 2017, 2018, 2020, 2021, 2022, 2023). Regelen: KOLONNE \( j \) forteller hva én enhet i kategori \( j \) blir til neste periode.
•«Resten går tapt / er makulert» betyr at kolonnesummen er MINDRE enn 1. Ikke tving den til 1.
•Punkt a) i matriseoppgaven er nesten alltid «finn \( M \)» og krever ingen regneteknikk. Ta de poengene først, uansett hvor du ellers står.
•«Finnes det en matrise som tar oss bakover i tid?» er et determinantspørsmål. Regn ut \( \det M \) og BEGRUNN svaret. I aldersklassemodeller er svaret ofte nei fordi den eldste klassen gir en nullkolonne.
•«Begrunn at \( M^n \) er inverterbar» besvares med \( \det(M^n)=(\det M)^n\neq0 \).
•Ber oppgaven om å VISE at \( B=A^{-1} \), skriv ut hele matriseproduktet. Kalkulatorsvar uten regning gir 0 poeng — det står ordrett i 2014-settet.
•Kontroller alltid matriseprodukter ved å regne én rad om igjen, og overgangsmodeller ved å ta ett tidsskritt av gangen.
•Får du punkter i stedet for vektorer i en areal- eller volumoppgave: lag kantvektorer fra ETT felles hjørne først, og husk faktorene \( \tfrac12 \) (trekant) og \( \tfrac16 \) (pyramide).

Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

•Skråasymptoter er den mest testede biten av dette temaet på deleksamen (H2009, H2013, H2015, H2016, H2017, H2018). Kjenn igjen mønstrene \( xe^{k/x}\to y=x+k \) og \( \sqrt{x^2+bx}\to y=x+b/2 \) når \( x\to\infty \).
•Optimaliseringsoppgavene på deleksamen er alltid de to eller tre siste spørsmålene og verdt 3 poeng hver. De er tidkrevende — ta dem sist.
•Ved relaterte rater: deriver FØRST, sett inn tall ETTERPÅ. Setter du inn øyeblikksverdiene før derivasjonen, deriverer du en konstant og får null.
•Ordet «globalt» krever et eget argument: enten ekstremalverdisetningen på et lukket intervall, eller fortegnet til \( f'' \) på hele definisjonsområdet, eller et fullt fortegnsskjema for \( f' \).
•Ikke bland nullpunktene til \( f' \) og \( f'' \). Et minimum ligger der \( f' \) skifter fortegn; et vendepunkt der \( f'' \) skifter fortegn.
•Kontroller ekstremalverdier ved å regne ut funksjonsverdien i ett punkt på hver side. Det avslører om du har funnet et maksimum eller et minimum.

Uegentlige integraler og anvendelser

•Skriv ALLTID grenseovergangen eksplisitt: \( \int_1^\infty=\lim_{R\to\infty}\int_1^R \). Et svar uten grensen er formelt ufullstendig, selv om tallet er riktig.
•«Avgjør om integralet konvergerer» betyr at du IKKE trenger å regne det ut. Bruk sammenligning, og skriv opp ulikheten og intervallet den gjelder på.
•\( p=1 \) divergerer i begge versjoner av p-testen. Det er grensetilfellet oppgavene er designet for å treffe.
•Omdreiningslegemer er med i 14 av 20 sett. Om \( x \)-aksen: \( \pi\int f^2 \). Om \( y \)-aksen: \( 2\pi\int xf \). Understrek hvilken akse i oppgaveteksten før du regner.
•Er integranden singulær i et indre punkt eller i begge ender, del opp og krev at hver del konvergerer for seg.
•Kjenn igjen at grafen til \( \sqrt{1-x^2} \) er en halvsirkel — da kan buelengden kontrolleres geometrisk.
•Når sammenligningsskranken er for svak nær startpunktet, del intervallet: på et endelig stykke med kontinuerlig integrand er bidraget automatisk endelig.

Funksjoner av flere variable

•Dette temaet er i ALLE ordinære sett. I settene til og med 2016 var det spørsmål 1–3 på flervalgsdelen; etter 2017 er det Oppgave 1. Ta det først.
•UiO normerer IKKE retningsvektoren: \( f'(\mathbf a;\mathbf r)=\nabla f(\mathbf a)\cdot\mathbf r \). Bare når oppgaven sier «enhetsvektoren» deler du på \( |\mathbf r| \).
•«I hvilken retning vokser \( f \) raskest?» → svar med gradientvektoren. «Hva er stigningstallet i den retningen?» → svar med \( |\nabla f| \). To forskjellige spørsmål, to forskjellige svar.
•Spørsmålet «finn en vektor \( \mathbf s\neq\mathbf 0 \) med \( f'(\mathbf a;\mathbf s)=0 \)» besvares med en vektor normal på gradienten: er \( \nabla f=(p,q) \), virker \( \mathbf s=(-q,p) \).
•I Jacobi-matrisen er RADENE gradientene til komponentfunksjonene. Sjekk dimensjonene: \( \mathbb R^2\to\mathbb R^2 \) gir en \( 2\times2 \)-matrise.
•Er funksjonen definert stykkevis eller inneholder en ukjent funksjon, må du regne partiellderiverte fra DEFINISJONEN med ensidige grenser — derivasjonsreglene gjelder ikke.
•«Vis at \( \mathbf F \) er deriverbar i \( \mathbf 0 \)» betyr: vis at \( |\mathbf F(\mathbf x)-M\mathbf x|/\|\mathbf x\|\to0 \). Finn en skranke, ikke en eksakt grense.