MAT1100

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Kalkulus

eksamenssett.no

Formler

Derivasjonsregler

• $(fg)' = f'g + fg', \quad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad (f \circ g)' = f'(g) \cdot g'$
• $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $\frac{d}{dx}e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

Integrasjonsregler

• $\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$
• $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$

Taylorrekker

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}, \quad \sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\ln(1+x) = \sum \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}, \quad \frac{1}{1-x} = \sum x^n, \quad \arctan x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

Komplekse tall

• $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, \quad |z|^2 = z\bar{z}, \quad z^{1/n} = |z|^{1/n} e^{i(\arg z + 2\pi k)/n}$

Gradient og retningsderivert

• $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right), \quad f'(\mathbf{a};\mathbf{r}) = \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$

Sentrale teorem

•Middelverdisetningen: \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) for en \(c \in (a,b)\)
•Rolles teorem: \(f(a) = f(b) \Rightarrow \exists\, c \in (a,b): f'(c) = 0\)
•Fundamentalteoremet: \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\)

Nøkkelformler per tema

Grenser og kontinuitet

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
•Skviseteoremet: $g(x) \le f(x) \le h(x)$ og $\lim g = \lim h = L \Rightarrow \lim f = L$
•Kontinuitet: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Derivasjon

• $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ (Definisjonen av den deriverte)
• $\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ (Gradient)
• $f'(\mathbf{a}; \mathbf{r}) = \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$ (Retningsderivert)
•Kjerneregelen: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
•Raskest vekst er i retning $\nabla f$ med stigningstall $|\nabla f|$

Integrasjon

•Substitusjon: $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$
•Delvis integrasjon: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
•Omdreiningsvolum (x-aksen): $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$
•Omdreiningsvolum (y-aksen): $V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\,dx$
•p-test: $\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$ konvergerer \(\Leftrightarrow p > 1\)

Taylors formel

• $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ (Taylorpolynom)
• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}, \quad |x| \le 1$
• $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| \le 1$

Uendelige rekker

• $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1$ (Geometrisk rekke)
•Forholdskriteriet: $L = \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ , konvergerer hvis $L < 1$
•Integralkriteriet: $\sum f(n)$ konvergerer $\Leftrightarrow \int_1^\infty f(x)\,dx$ konvergerer
•Leibniz: $\sum (-1)^n a_n$ konvergerer hvis $a_n \downarrow 0$
•Divergenstesten: $\lim a_n \neq 0 \Rightarrow \sum a_n$ divergerer

Konvergens

•Konvergensradius: $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$
•Egenverdilikingen: $\det(M - \lambda I) = 0$
•Egenvektorlikningen: $(M - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$
•Dynamisk system: $\mathbf{x}_n = M^n \mathbf{x}_0$
•Monoton konvergens: voksende + begrenset ovenfra $\Rightarrow$ konvergerer

Komplekse tall

•Eulers formel: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
•Modulus: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , og $z\bar{z} = |z|^2$
•De Moivres formel: $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$
•n-te roetter: $w_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$ , $k = 0, 1, \ldots, n-1$
•Konjugerte roetter gir: $(x - z)(x - \bar{z}) = x^2 - 2\text{Re}(z)x + |z|^2$

Differensiallikninger

•Fundamentalteoremet: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$
•Med kjerneregel: $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$
•Middelverdisetningen: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
•Rolles teorem: $f(a) = f(b) \Rightarrow \exists\, c: f'(c) = 0$
•Separabel ODE: $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

Vanlige feil å unngå

Grenser og kontinuitet

•Glemme a sjekke begge sider av grenseverdien for stykkevis definerte funksjoner.
•Bruke L'Hopitals regel uten a verifisere at det faktisk er en 0/0 eller uendelig/uendelig-form.
•Forveksle grenseverdi med funksjonsverdi: at f(x) -> L betyr ikke at f(a) = L.
•Bruke skviseteoremet med feil ulikheter -- husk at sin og cos er begrenset av absoluttverdien.

Derivasjon

•Glemme a normalisere retningsvektoren for beregning av retningsderiverte.
•Bruke vanlige derivasjonsregler i overgangspunktet til en stykkevis definert funksjon -- du MA bruke definisjonen der.
•Forveksle deriverbarhet med kontinuitet: en funksjon kan vaere kontinuerlig uten a vaere deriverbar.
•Glemme kjerneregelen ved partielle deriverte, f.eks. at d/dx av e^{xy^2} krever y^2 som faktor.

Integrasjon

•Glemme a endre integrasjonsgrensene ved substitusjon i bestemte integraler.
•Feil oppsett av delbroker: husk at en gjentatt faktor x^2 krever bade A/x og B/x^2.
•Bruke feil formel for omdreiningsvolum: skivemetoden (x-aksen) vs. skallmetoden (y-aksen).
•Glemme +C i ubestemte integraler, eller glemme grenseverdien i uegentlige integraler.

Taylors formel

•Blande rekkefolgjen pa ledd i Taylorrekken, spesielt fortegnene i sin- og cos-rekkene.
•Glemme konvergensradiusen: ln(1+x) gjelder kun for |x| <= 1, geometrisk rekke for |x| < 1.
•Bruke Taylorutvikling rundt feil punkt (a = 0 vs. a != 0).
•Glemme restleddet nar oppgaven ber om feilestimering.

Uendelige rekker

•Bruke forholdskriteriet nar L = 1 og konkludere med konvergens/divergens -- kriteriet er inkonklusivt da.
•Glemme a sjekke at f er avtagende for integralkriteriet gjelder.
•Forveksle nodvendig betingelse (a_n -> 0) med tilstrekkelig betingelse for konvergens. At a_n -> 0 er IKKE nok!
•Sammenligne med feil rekke i sammenligningskriteriet (sammenligne med divergent rekke for a vise konvergens).

Konvergens

•Glemme a sjekke konvergens pa endepunktene av konvergensintervallet (|x-a| = R).
•Bruke feil retning i overgangsmatrisen: kolonner ma summere til 1 (eller mindre) for Markov-kjeder.
•Beregne M^2 som elementvis kvadrering i stedet for matrisemultiplikasjon.
•Glemme at det kan vaere flere egenvektorer til samme egenverdi.

Komplekse tall

•Glemme at argumentet til z^2 er 2*theta, ikke theta^2. Modulus kvadreres, argument dobles.
•Feil fortegn pa imaginaerdelen nar man konverterer fra polarform til kartesisk form.
•Glemme a finne ALLE n roetter (det er n stykker, jevnt fordelt pa sirkelen).
•Forveksle argument i grader og radianer -- bruk alltid radianer i MAT1100.

Differensiallikninger

•Glemme kjerneregelen nar ovre grense er g(x) i stedet for x i fundamentalteoremet.
•Forveksle middelverdisetningen med Rolles teorem: Rolles krever f(a) = f(b), middelverdi gjor ikke.
•I bevisoppgaver: velge feil hjelpefunksjon. Trikset er a gjenkjenne hva du vil vise som f'(c) = 0 for en passende f.
•Glemme a sjekke forutsetningene for middelverdisetningen (kontinuerlig pa [a,b], deriverbar pa (a,b)).

Eksamenstips

Grenser og kontinuitet

•Stykkevis definerte funksjoner med sporsmalet 'vis at f er kontinuerlig i x=0' er pa nesten ALLE eksamener (2019, 2020, 2022, 2023).
•Nar du ser sin(1/x) eller cos(1/x^2) multiplisert med en faktor som gar mot 0, tenk skviseteoremet umiddelbart.
•For a finne grenseverdien av f(x)/x nar f(0) = 0, gjenkjenn dette som definisjonen av f'(0).

Derivasjon

•Gradient + retningsderivert er en gjenganger: 2019 Oppg 1-2, 2021 Oppg 1, 2022 Oppg 5, 2023 Oppg 1.
•'I hvilken retning vokser f raskest?' Svar: I retning nabla f. Stigningstallet er |nabla f|.
•Nar oppgaven ber deg vise at f IKKE er deriverbar, let etter oscillerende uttrykk som sin(1/x) som ikke konvergerer.

Integrasjon

•Integrasjonsoppgaver er pa ALLE eksamener. Delbroker + delvis integrasjon er de vanligste teknikkene.
•Omdreiningslegemer: 2020 Oppg 2a, 2021 Oppg 2a, 2022 Oppg 3b, 2023 Oppg 3. Ofte koblet med uegentlige integraler.
•Nar du ser arctan i integranden, tenk delvis integrasjon med u = arctan(...).
•Fullfor alltid kvadratet i nevneren for a finne arctan-integraler.

Taylors formel

•Pugge de 5 standard Maclaurinrekkene (e^x, sin, cos, ln(1+x), 1/(1-x)). De brukes i mange kontekster.
•Taylorutvikling er ofte den raskeste metoden for 0/0-grenseverdier, raskere enn L'Hopitals regel.
•Nar oppgaven gir f(0), f'(0), f''(0) og ber deg finne g'(0) for en sammensatt funksjon, bruk Taylor til andre orden.

Uendelige rekker

•Konvergens av uegentlige integraler via sammenligning er en gjenganger: 2019 Oppg 5, 2021 Oppg 2b, 2022 Oppg 3a, 2023 Oppg 3.
•Start alltid med divergenstesten: sjekk om a_n -> 0. Hvis ikke, er du ferdig.
•Forholdskriteriet er mest nyttig for rekker med fakulteter og potenser (f.eks. n!/n^n).

Konvergens

•Matriser med overgangsmodeller (bibliotek, dyrebestand, plantesamfunn) er pa nesten alle eksamener: 2020 Oppg 7, 2021 Oppg 3, 2022 Oppg 1, 2023 Oppg 2.
•For 2x2-matriser: egenverdiene er losningene av lambda^2 - (a+d)*lambda + (ad-bc) = 0.
•Nar oppgaven ber om M^n, dekomponere i egenvektorer er den effektive metoden.

Komplekse tall

•Komplekse tall er en fast oppgave pa eksamen: 2019 Oppg 7, 2020 Oppg 5. Ofte 6-10 poeng.
•Tredjeroetter og fjerderoetter av enhet er nyttige a kjenne: e^{2pi*i*k/n} for k = 0,...,n-1.
•For faktorisering av x^4 + x^2 + 1 og lignende: finn de komplekse rottene forst, kombiner konjugerte par til reelle faktorer.

Differensiallikninger

•Bevisoppgaver med Rolles teorem / middelverdisetningen er pa de fleste eksamener (2020 Oppg 8, 2023 Oppg 6c).
•Fundamentalteoremet + delvis integrasjon er en vanlig kombinasjon: 2019 Oppg 6, 2021 Oppg 2c.
•For bevisoppgaver: definer g(x) = [det du vil vise er 0], vis at g har to nullpunkter, bruk Rolles teorem.

MAT1100 Formelark | Eksamenssett