MAT1100

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Kalkulus

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Grenser og kontinuitet

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
•Skviseteoremet: $g(x) \le f(x) \le h(x)$ og $\lim g = \lim h = L \Rightarrow \lim f = L$
•Kontinuitet: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Derivasjon

• $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ (Definisjonen av den deriverte)
• $\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ (Gradient)
• $f'(\mathbf{a}; \mathbf{r}) = \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$ (Retningsderivert)
•Kjerneregelen: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
•Raskest vekst er i retning $\nabla f$ med stigningstall $|\nabla f|$

Integrasjon

•Substitusjon: $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$
•Delvis integrasjon: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
•Omdreiningsvolum (x-aksen): $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$
•Omdreiningsvolum (y-aksen): $V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\,dx$
•p-test: $\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$ konvergerer $\Leftrightarrow p > 1$

Taylors formel

• $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ (Taylorpolynom)
• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}, \quad |x| \le 1$
• $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| \le 1$

Uendelige rekker

• $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1$ (Geometrisk rekke)
•Forholdskriteriet: $L = \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ , konvergerer hvis $L < 1$
•Integralkriteriet: $\sum f(n)$ konvergerer $\Leftrightarrow \int_1^\infty f(x)\,dx$ konvergerer
•Leibniz: $\sum (-1)^n a_n$ konvergerer hvis $a_n \downarrow 0$
•Divergenstesten: $\lim a_n \neq 0 \Rightarrow \sum a_n$ divergerer

Konvergens

•Konvergensradius: $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$
•Egenverdilikingen: $\det(M - \lambda I) = 0$
•Egenvektorlikningen: $(M - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$
•Dynamisk system: $\mathbf{x}_n = M^n \mathbf{x}_0$
•Monoton konvergens: voksende + begrenset ovenfra $\Rightarrow$ konvergerer

Komplekse tall

•Eulers formel: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
•Modulus: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , og $z\bar{z} = |z|^2$
•De Moivres formel: $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$
•n-te roetter: $w_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$ , $k = 0, 1, \ldots, n-1$
•Konjugerte roetter gir: $(x - z)(x - \bar{z}) = x^2 - 2\text{Re}(z)x + |z|^2$

Differensiallikninger

•Fundamentalteoremet: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$
•Med kjerneregel: $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$
•Middelverdisetningen: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
•Rolles teorem: $f(a) = f(b) \Rightarrow \exists\, c: f'(c) = 0$
•Separabel ODE: $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

Vektorer og matriser

•Volum parallellepiped: $V = |\det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]|$
•Volum pyramide: $V = \frac{1}{6}|\det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]|$
•Areal trekant: $A = \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$
•Invers 2x2: $M^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
•Lineaeravbildning: kolonnene er $T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2)$

Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

•Andrederiverttest: $f''(x_0) > 0 \Rightarrow \text{min}, \quad f''(x_0) < 0 \Rightarrow \text{maks}$
•Konveks: $f'' > 0$ ; Konkav: $f'' < 0$
•Skraasymptote: $a = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$
•Omvendt funksjon: $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}, \; f(a)=b$
•Relaterte rater: deriver sammenhengen implisitt mhp. $t$

Vanlige feil å unngå

Grenser og kontinuitet

•Glemme å sjekke begge sider av grenseverdien for stykkevis definerte funksjoner.
•Bruke L'Hopitals regel uten å verifisere at det faktisk er en 0/0 eller uendelig/uendelig-form.
•Forveksle grenseverdi med funksjonsverdi: at f(x) -> L betyr ikke at f(a) = L.
•Bruke skviseteoremet med feil ulikheter -- husk at sin og cos er begrenset av absoluttverdien.

Derivasjon

•Glemme å normalisere retningsvektoren for beregning av retningsderiverte.
•Bruke vanlige derivasjonsregler i overgangspunktet til en stykkevis definert funksjon -- du MÅ bruke definisjonen der.
•Forveksle deriverbarhet med kontinuitet: en funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar.
•Glemme kjerneregelen ved partielle deriverte, f.eks. at d/dx av e^{xy^2} krever y^2 som faktor.

Integrasjon

•Glemme å endre integrasjonsgrensene ved substitusjon i bestemte integraler.
•Feil oppsett av delbroker: husk at en gjentatt faktor x^2 krever både A/x og B/x^2.
•Bruke feil formel for omdreiningsvolum: skivemetoden (x-aksen) vs. skallmetoden (y-aksen).
•Glemme +C i ubestemte integraler, eller glemme grenseverdien i uegentlige integraler.

Taylors formel

•Blande rekkefolgjen på ledd i Taylorrekken, spesielt fortegnene i sin- og cos-rekkene.
•Glemme konvergensradiusen: ln(1+x) gjelder kun for |x| <= 1, geometrisk rekke for |x| < 1.
•Bruke Taylorutvikling rundt feil punkt (a = 0 vs. a != 0).
•Glemme restleddet når oppgaven ber om feilestimering.

Uendelige rekker

•Bruke forholdskriteriet når L = 1 og konkludere med konvergens/divergens -- kriteriet er inkonklusivt da.
•Glemme å sjekke at f er avtagende for integralkriteriet gjelder.
•Forveksle nødvendig betingelse (a_n -> 0) med tilstrekkelig betingelse for konvergens. At a_n -> 0 er IKKE nok!
•Sammenligne med feil rekke i sammenligningskriteriet (sammenligne med divergent rekke for å vise konvergens).

Konvergens

•Glemme å sjekke konvergens på endepunktene av konvergensintervallet (|x-a| = R).
•Bruke feil retning i overgangsmatrisen: kolonner må summere til 1 (eller mindre) for Markov-kjeder.
•Beregne M^2 som elementvis kvadrering i stedet for matrisemultiplikasjon.
•Glemme at det kan være flere egenvektorer til samme egenverdi.

Komplekse tall

•Glemme at argumentet til z^2 er 2*theta, ikke theta^2. Modulus kvadreres, argument dobles.
•Feil fortegn på imaginaerdelen når man konverterer fra polarform til kartesisk form.
•Glemme å finne ALLE n roetter (det er n stykker, jevnt fordelt på sirkelen).
•Forveksle argument i grader og radianer -- bruk alltid radianer i MAT1100.

Differensiallikninger

•Glemme kjerneregelen når ovre grense er g(x) i stedet for x i fundamentalteoremet.
•Forveksle middelverdisetningen med Rolles teorem: Rolles krever f(a) = f(b), middelverdi gjør ikke.
•I bevisoppgaver: velge feil hjelpefunksjon. Trikset er å gjenkjenne hva du vil vise som f'(c) = 0 for en passende f.
•Glemme å sjekke forutsetningene for middelverdisetningen (kontinuerlig på [a,b], deriverbar på (a,b)).

Vektorer og matriser

•Glemme faktoren 1/6 for pyramide (eller 1/2 for trekant) -- determinanten gir volumet av HELE parallellepipedet.
•Glemme absoluttverdien: volum og areal er alltid ikke-negative.
•Regne matriseprodukt elementvis i stedet for rad-mot-kolonne.
•Bytte om kolonner og rader i lineaeravbildningsmatrisen -- kolonnene er bildene av enhetsvektorene.
•Bruke kalkulator til å invertere når oppgaven ber om regning -- da gir kalkulatorsvar uten utregning 0 poeng.

Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

•Konkludere med vendepunkt bare fordi f''(x0)=0 -- fortegnet til f'' må faktisk skifte.
•Glemme å sjekke endepunktene ved optimering på et lukket intervall.
•Forveksle a (stigningstall) og b (konstantledd) i skraasymptoten.
•I relaterte rater: glemme kjerneregelen (d/dt) eller forveksle hvilken rate som er gitt og hvilken som soekes.
•Bruke (f^{-1})'(b) = 1/f'(b) i stedet for 1/f'(a) der f(a)=b.

Eksamenstips

Grenser og kontinuitet

•Stykkevis definerte funksjoner med spørsmålet 'vis at f er kontinuerlig i x=0' er på nesten ALLE eksamener (2011, 2016, 2019, 2020, 2022, 2023).
•Når du ser sin(1/x) eller cos(1/x^2) multiplisert med en faktor som går mot 0, tenk skviseteoremet umiddelbart.
•For å finne grenseverdien av f(x)/x når f(0) = 0, gjenkjenn dette som definisjonen av f'(0).
•På flervalgsdelen er grenseverdier av 0/0-typen (f.eks. (1+3x-e^{3x})/x^2 eller arcsin(x)/sin(2x)) en gjenganger. Bruk Taylor til andre orden eller L'Hopital -- raskest å kjenne igjen telleren/nevneren som Maclaurinrekker.
•Grenser av følger definert rekursivt (x_{n+1} = (x_n^2+5)/6): finn fikspunktet ved å sette L = (L^2+5)/6 og velg riktig rot.
•Epsilon-delta som flervalg: for f(x)=x^2+1 når x->2, finn betingelser på |x-2| som garanterer |f(x)-f(2)| < eps. Faktoriser |f(x)-f(2)| = |x-2||x+2| og bind |x+2|.

Derivasjon

•Gradient + retningsderivert er en gjenganger og star ofte FØRST: 2006 Oppg 1-3, 2011 Oppg 1-3, 2014 Oppg 1-3 (flervalg), 2019 Oppg 1-2, 2020 Oppg 1, 2021 Oppg 1, 2022 Oppg 5, 2023 Oppg 1.
•'I hvilken retning vokser f raskest?' Svar: I retning nabla f. Stigningstallet er |nabla f|. På flervalg må du gjenkjenne svaret som en vektor PARALLELL med gradienten (f.eks. (-12,4) = 4*(-3,1)).
•Partielle deriverte av funksjoner med tre variable (f.eks. y^2*tan(xz^3) eller xz*sin(yz)) er fast på flervalgsdelen -- pass på kjerneregelen i hver variabel.
•Den deriverte til en omvendt funksjon: g'(b) = 1/f'(a) der f(a)=b. Dukker opp som flervalg (g'(0) for f(x)=x+arctan x).
•Andrederivert av sammensatt funksjon: h(x)=g(f(x)) gir h''(x) = g''(f(x))*(f'(x))^2 + g'(f(x))*f''(x). Lett a glemme andreleddet.
•Når oppgaven ber deg vise at f IKKE er deriverbar, let etter oscillerende uttrykk som sin(1/x) som ikke konvergerer.

Integrasjon

•Integrasjonsoppgaver er på ALLE eksamener. Delbroker + delvis integrasjon er de vanligste teknikkene. Logaritmeintegraler (int ln(x^2+1) dx, int ln(x^7) dx) løser du med delvis integrasjon.
•Omdreiningslegemer er nesten alltid med (skive- ELLER skallmetoden): 2006, 2011, 2014 (flervalg), 2016, 2020 Oppg 2, 2021 Oppg 2a, 2022 Oppg 3b, 2023 Oppg 3. Les NØYE om det dreies om x- eller y-aksen.
•På flervalgsdelen testes ofte: riktig delbrok-OPPSETT (uten å regne ut), riktig substitusjon, og verdien av et uegentlig integral (konvergerer/divergerer).
•Apne oppgaver av typen 'finn et eksempel på et integral som løses med substitusjonen u = arctan(7x)' krever at du SELV konstruerer et integral og løser det -- velg noe enkelt som g'(x) ganger en funksjon av g(x).
•Buelengde dukker opp: L = int sqrt(1 + (f'(x))^2) dx. Kjenn igjen at grafen til sqrt(1-x^2) er en halvsirkel.
•Når du ser arctan i integranden, tenk delvis integrasjon med u = arctan(...).
•Fullfor alltid kvadratet i nevneren (x^2+2x+2 = (x+1)^2+1) for å finne arctan-integraler; bruk evt. polynomdivisjon først hvis grad teller >= grad nevner.

Taylors formel

•Pugge de 5 standard Maclaurinrekkene (e^x, sin, cos, ln(1+x), 1/(1-x)). De brukes i mange kontekster.
•Taylorutvikling er ofte den raskeste metoden for 0/0-grenseverdier, raskere enn L'Hopitals regel.
•Når oppgaven gir f(0), f'(0), f''(0) og ber deg finne g'(0) for en sammensatt funksjon, bruk Taylor til andre orden.

Uendelige rekker

•Konvergens av uegentlige integraler via sammenligning er en gjenganger: 2019 Oppg 5, 2021 Oppg 2b, 2022 Oppg 3a, 2023 Oppg 3.
•Start alltid med divergenstesten: sjekk om a_n -> 0. Hvis ikke, er du ferdig.
•Forholdskriteriet er mest nyttig for rekker med fakulteter og potenser (f.eks. n!/n^n).

Konvergens

•Matriser med overgangsmodeller (bibliotek, dyrebestand, plantesamfunn, bilutleie, kartonggjenvinning, insekter, fiskebestand) er på NESTEN ALLE eksamener: 2006 Oppg 2, 2011 Oppg 12, 2014 Oppg 12, 2020 Oppg 7, 2021 Oppg 3, 2022 Oppg 1, 2023 Oppg 2. Sett opp matrisen kolonnevis og sjekk at modellen gir mening.
•En likevektsfordeling (like mange inn som ut) er en egenvektor med egenverdi 1 -- oppgaven sporr ofte indirekte etter dette.
•Modeller kan ha tre kategorier (3x3-matrise) eller to ulike matriser C og D som settes sammen (DC). Pass på rekkefolgen i matrisemultiplikasjon.
•Konvergens av en følge an -> L: på flervalg lonner det seg å se på hvilke ledd som dominerer (største potens/eksponent) i teller og nevner.
•For 2x2-matriser: egenverdiene er løsningene av lambda^2 - (a+d)*lambda + (ad-bc) = 0.
•Når oppgaven ber om M^n, dekomponere i egenvektorer er den effektive metoden.

Komplekse tall

•Komplekse tall er en fast oppgave på eksamen: 2006 Oppg 1, 2011, 2014 Oppg 11, 2016 Oppg 11, 2019 Oppg 7, 2020 Oppg 5, og dominerer midtveiseksamen. Ofte 6-20 poeng.
•Et hyppig oppgavetype: 'Vis at z0 er en rot i P(z) og finn de ovrige rottene'. Bruk at komplekse roetter av reelle polynom kommer i konjugerte par, og polynomdivisjon for resten.
•På flervalg testes: overgang polarform <-> kartesisk, løsning av lineaere likninger med z (f.eks. 2z - i = 4 - iz), komplekst skalarprodukt (husk konjugering av andre faktor), og omrader i planet (|z-1| > |z-i| gir en halvplan).
•Tredjeroetter og fjerderoetter av enhet er nyttige å kjenne: e^{2pi*i*k/n} for k = 0,...,n-1. Tredjerottene av -27 er 3e^{i*pi/3}, 3e^{-i*pi/3}, -3.
•For faktorisering av x^4 + x^2 + 1 og lignende: finn de komplekse rottene først, kombiner konjugerte par til reelle faktorer.

Differensiallikninger

•Bevisoppgaver med Rolles teorem / middelverdisetningen er på de fleste eksamener (2020 Oppg 8, 2023 Oppg 6c). Av og til gis Cauchys middelverdisetning som hint (2006 Oppg 4).
•Fundamentalteoremet + delvis integrasjon er en vanlig kombinasjon: 2014 Oppg 14, 2019 Oppg 6, 2021 Oppg 2c.
•En klassisk oppgavekjede: gitt F(x) = int_a^x f(t) dt, finn F'(x) (fundamentalteoremet), vis at F er voksende (F' > 0), finn F''(x) og vis at F er konkav/konveks (fortegn på F''). Se 2011 Oppg 13, 2016 Oppg 13.
•Funksjoner som ln(x)/(x-1) eller (ln x)/(x-1) utvidet i overgangspunktet: vis kontinuitet og deriverbarhet via grenseverdi/L'Hopital eller Taylor.
•For bevisoppgaver: definer g(x) = [det du vil vise er 0], vis at g har to nullpunkter, bruk Rolles teorem. Hjelpefunksjoner med e^{-x} (f.eks. h(x)=e^{-x}f(x)) er nyttige når betingelsen kobler f og f'.

Vektorer og matriser

•Volum/areal via determinant og kryssprodukt er nesten alltid en flervalgsoppgave: 2011 Oppg 4, 2014 Oppg 4, 2016 Oppg 4, 2019 Oppg 3.
•Invers matrise regnet for hand: 2006 Oppg 6, 2014 Oppg 12, 2016 Oppg 5. Verifiser ved å sjekke at MB = I.
•Lineaeravbildninger (speiling, rotasjon): finn matrisen ved å se hvor enhetsvektorene havner.
•Når du far fire punkter og skal finne pyramidevolum: lag tre kantvektorer fra ETT felles hjorne først.

Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

•Relaterte rater (fly/radar, bat/fyr, vinkel som endrer seg) er en gjenganger: 2014 midtveis Oppg 20, 2016 Oppg 6.
•Optimering av synsvinkel / geometrisk størrelse: 2021 Oppg 4 (skjerm/auditorium). Sett opp v(x), deriver, los v'(x)=0.
•Konveksitet/vendepunkt og asymptoter er typiske flervalgsoppgaver: 2014 midtveis, 2018 midtveis.
•Derivasjon av omvendt funksjon: 2014 midtveis Oppg 16, 2018 midtveis Oppg 16-17. Finn først a med f(a)=b, deretter 1/f'(a).

MAT1100

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Kalkulus

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Grenser og kontinuitet

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
•Skviseteoremet: $g(x) \le f(x) \le h(x)$ og $\lim g = \lim h = L \Rightarrow \lim f = L$
•Kontinuitet: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Derivasjon

• $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ (Definisjonen av den deriverte)
• $\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ (Gradient)
• $f'(\mathbf{a}; \mathbf{r}) = \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$ (Retningsderivert)
•Kjerneregelen: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
•Raskest vekst er i retning $\nabla f$ med stigningstall $|\nabla f|$

Integrasjon

•Substitusjon: $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$
•Delvis integrasjon: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
•Omdreiningsvolum (x-aksen): $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$
•Omdreiningsvolum (y-aksen): $V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\,dx$
•p-test: $\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$ konvergerer $\Leftrightarrow p > 1$

Taylors formel

• $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ (Taylorpolynom)
• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}, \quad |x| \le 1$
• $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| \le 1$

Uendelige rekker

• $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1$ (Geometrisk rekke)
•Forholdskriteriet: $L = \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ , konvergerer hvis $L < 1$
•Integralkriteriet: $\sum f(n)$ konvergerer $\Leftrightarrow \int_1^\infty f(x)\,dx$ konvergerer
•Leibniz: $\sum (-1)^n a_n$ konvergerer hvis $a_n \downarrow 0$
•Divergenstesten: $\lim a_n \neq 0 \Rightarrow \sum a_n$ divergerer

Konvergens

•Konvergensradius: $R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$
•Egenverdilikingen: $\det(M - \lambda I) = 0$
•Egenvektorlikningen: $(M - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$
•Dynamisk system: $\mathbf{x}_n = M^n \mathbf{x}_0$
•Monoton konvergens: voksende + begrenset ovenfra $\Rightarrow$ konvergerer

Komplekse tall

•Eulers formel: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
•Modulus: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , og $z\bar{z} = |z|^2$
•De Moivres formel: $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$
•n-te roetter: $w_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$ , $k = 0, 1, \ldots, n-1$
•Konjugerte roetter gir: $(x - z)(x - \bar{z}) = x^2 - 2\text{Re}(z)x + |z|^2$

Differensiallikninger

•Fundamentalteoremet: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$
•Med kjerneregel: $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$
•Middelverdisetningen: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
•Rolles teorem: $f(a) = f(b) \Rightarrow \exists\, c: f'(c) = 0$
•Separabel ODE: $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

Vektorer og matriser

•Volum parallellepiped: $V = |\det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]|$
•Volum pyramide: $V = \frac{1}{6}|\det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]|$
•Areal trekant: $A = \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$
•Invers 2x2: $M^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
•Lineaeravbildning: kolonnene er $T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2)$

Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

•Andrederiverttest: $f''(x_0) > 0 \Rightarrow \text{min}, \quad f''(x_0) < 0 \Rightarrow \text{maks}$
•Konveks: $f'' > 0$ ; Konkav: $f'' < 0$
•Skraasymptote: $a = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$
•Omvendt funksjon: $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}, \; f(a)=b$
•Relaterte rater: deriver sammenhengen implisitt mhp. $t$

Vanlige feil å unngå

Grenser og kontinuitet

•Glemme å sjekke begge sider av grenseverdien for stykkevis definerte funksjoner.
•Bruke L'Hopitals regel uten å verifisere at det faktisk er en 0/0 eller uendelig/uendelig-form.
•Forveksle grenseverdi med funksjonsverdi: at f(x) -> L betyr ikke at f(a) = L.
•Bruke skviseteoremet med feil ulikheter -- husk at sin og cos er begrenset av absoluttverdien.

Derivasjon

•Glemme å normalisere retningsvektoren for beregning av retningsderiverte.
•Bruke vanlige derivasjonsregler i overgangspunktet til en stykkevis definert funksjon -- du MÅ bruke definisjonen der.
•Forveksle deriverbarhet med kontinuitet: en funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar.
•Glemme kjerneregelen ved partielle deriverte, f.eks. at d/dx av e^{xy^2} krever y^2 som faktor.

Integrasjon

•Glemme å endre integrasjonsgrensene ved substitusjon i bestemte integraler.
•Feil oppsett av delbroker: husk at en gjentatt faktor x^2 krever både A/x og B/x^2.
•Bruke feil formel for omdreiningsvolum: skivemetoden (x-aksen) vs. skallmetoden (y-aksen).
•Glemme +C i ubestemte integraler, eller glemme grenseverdien i uegentlige integraler.

Taylors formel

•Blande rekkefolgjen på ledd i Taylorrekken, spesielt fortegnene i sin- og cos-rekkene.
•Glemme konvergensradiusen: ln(1+x) gjelder kun for |x| <= 1, geometrisk rekke for |x| < 1.
•Bruke Taylorutvikling rundt feil punkt (a = 0 vs. a != 0).
•Glemme restleddet når oppgaven ber om feilestimering.

Uendelige rekker

•Bruke forholdskriteriet når L = 1 og konkludere med konvergens/divergens -- kriteriet er inkonklusivt da.
•Glemme å sjekke at f er avtagende for integralkriteriet gjelder.
•Forveksle nødvendig betingelse (a_n -> 0) med tilstrekkelig betingelse for konvergens. At a_n -> 0 er IKKE nok!
•Sammenligne med feil rekke i sammenligningskriteriet (sammenligne med divergent rekke for å vise konvergens).

Konvergens

•Glemme å sjekke konvergens på endepunktene av konvergensintervallet (|x-a| = R).
•Bruke feil retning i overgangsmatrisen: kolonner må summere til 1 (eller mindre) for Markov-kjeder.
•Beregne M^2 som elementvis kvadrering i stedet for matrisemultiplikasjon.
•Glemme at det kan være flere egenvektorer til samme egenverdi.

Komplekse tall

•Glemme at argumentet til z^2 er 2*theta, ikke theta^2. Modulus kvadreres, argument dobles.
•Feil fortegn på imaginaerdelen når man konverterer fra polarform til kartesisk form.
•Glemme å finne ALLE n roetter (det er n stykker, jevnt fordelt på sirkelen).
•Forveksle argument i grader og radianer -- bruk alltid radianer i MAT1100.

Differensiallikninger

•Glemme kjerneregelen når ovre grense er g(x) i stedet for x i fundamentalteoremet.
•Forveksle middelverdisetningen med Rolles teorem: Rolles krever f(a) = f(b), middelverdi gjør ikke.
•I bevisoppgaver: velge feil hjelpefunksjon. Trikset er å gjenkjenne hva du vil vise som f'(c) = 0 for en passende f.
•Glemme å sjekke forutsetningene for middelverdisetningen (kontinuerlig på [a,b], deriverbar på (a,b)).

Vektorer og matriser

•Glemme faktoren 1/6 for pyramide (eller 1/2 for trekant) -- determinanten gir volumet av HELE parallellepipedet.
•Glemme absoluttverdien: volum og areal er alltid ikke-negative.
•Regne matriseprodukt elementvis i stedet for rad-mot-kolonne.
•Bytte om kolonner og rader i lineaeravbildningsmatrisen -- kolonnene er bildene av enhetsvektorene.
•Bruke kalkulator til å invertere når oppgaven ber om regning -- da gir kalkulatorsvar uten utregning 0 poeng.

Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

•Konkludere med vendepunkt bare fordi f''(x0)=0 -- fortegnet til f'' må faktisk skifte.
•Glemme å sjekke endepunktene ved optimering på et lukket intervall.
•Forveksle a (stigningstall) og b (konstantledd) i skraasymptoten.
•I relaterte rater: glemme kjerneregelen (d/dt) eller forveksle hvilken rate som er gitt og hvilken som soekes.
•Bruke (f^{-1})'(b) = 1/f'(b) i stedet for 1/f'(a) der f(a)=b.

Eksamenstips

Grenser og kontinuitet

•Stykkevis definerte funksjoner med spørsmålet 'vis at f er kontinuerlig i x=0' er på nesten ALLE eksamener (2011, 2016, 2019, 2020, 2022, 2023).
•Når du ser sin(1/x) eller cos(1/x^2) multiplisert med en faktor som går mot 0, tenk skviseteoremet umiddelbart.
•For å finne grenseverdien av f(x)/x når f(0) = 0, gjenkjenn dette som definisjonen av f'(0).
•På flervalgsdelen er grenseverdier av 0/0-typen (f.eks. (1+3x-e^{3x})/x^2 eller arcsin(x)/sin(2x)) en gjenganger. Bruk Taylor til andre orden eller L'Hopital -- raskest å kjenne igjen telleren/nevneren som Maclaurinrekker.
•Grenser av følger definert rekursivt (x_{n+1} = (x_n^2+5)/6): finn fikspunktet ved å sette L = (L^2+5)/6 og velg riktig rot.
•Epsilon-delta som flervalg: for f(x)=x^2+1 når x->2, finn betingelser på |x-2| som garanterer |f(x)-f(2)| < eps. Faktoriser |f(x)-f(2)| = |x-2||x+2| og bind |x+2|.

Derivasjon

•Gradient + retningsderivert er en gjenganger og star ofte FØRST: 2006 Oppg 1-3, 2011 Oppg 1-3, 2014 Oppg 1-3 (flervalg), 2019 Oppg 1-2, 2020 Oppg 1, 2021 Oppg 1, 2022 Oppg 5, 2023 Oppg 1.
•'I hvilken retning vokser f raskest?' Svar: I retning nabla f. Stigningstallet er |nabla f|. På flervalg må du gjenkjenne svaret som en vektor PARALLELL med gradienten (f.eks. (-12,4) = 4*(-3,1)).
•Partielle deriverte av funksjoner med tre variable (f.eks. y^2*tan(xz^3) eller xz*sin(yz)) er fast på flervalgsdelen -- pass på kjerneregelen i hver variabel.
•Den deriverte til en omvendt funksjon: g'(b) = 1/f'(a) der f(a)=b. Dukker opp som flervalg (g'(0) for f(x)=x+arctan x).
•Andrederivert av sammensatt funksjon: h(x)=g(f(x)) gir h''(x) = g''(f(x))*(f'(x))^2 + g'(f(x))*f''(x). Lett a glemme andreleddet.
•Når oppgaven ber deg vise at f IKKE er deriverbar, let etter oscillerende uttrykk som sin(1/x) som ikke konvergerer.

Integrasjon

•Integrasjonsoppgaver er på ALLE eksamener. Delbroker + delvis integrasjon er de vanligste teknikkene. Logaritmeintegraler (int ln(x^2+1) dx, int ln(x^7) dx) løser du med delvis integrasjon.
•Omdreiningslegemer er nesten alltid med (skive- ELLER skallmetoden): 2006, 2011, 2014 (flervalg), 2016, 2020 Oppg 2, 2021 Oppg 2a, 2022 Oppg 3b, 2023 Oppg 3. Les NØYE om det dreies om x- eller y-aksen.
•På flervalgsdelen testes ofte: riktig delbrok-OPPSETT (uten å regne ut), riktig substitusjon, og verdien av et uegentlig integral (konvergerer/divergerer).
•Apne oppgaver av typen 'finn et eksempel på et integral som løses med substitusjonen u = arctan(7x)' krever at du SELV konstruerer et integral og løser det -- velg noe enkelt som g'(x) ganger en funksjon av g(x).
•Buelengde dukker opp: L = int sqrt(1 + (f'(x))^2) dx. Kjenn igjen at grafen til sqrt(1-x^2) er en halvsirkel.
•Når du ser arctan i integranden, tenk delvis integrasjon med u = arctan(...).
•Fullfor alltid kvadratet i nevneren (x^2+2x+2 = (x+1)^2+1) for å finne arctan-integraler; bruk evt. polynomdivisjon først hvis grad teller >= grad nevner.

Taylors formel

•Pugge de 5 standard Maclaurinrekkene (e^x, sin, cos, ln(1+x), 1/(1-x)). De brukes i mange kontekster.
•Taylorutvikling er ofte den raskeste metoden for 0/0-grenseverdier, raskere enn L'Hopitals regel.
•Når oppgaven gir f(0), f'(0), f''(0) og ber deg finne g'(0) for en sammensatt funksjon, bruk Taylor til andre orden.

Uendelige rekker

•Konvergens av uegentlige integraler via sammenligning er en gjenganger: 2019 Oppg 5, 2021 Oppg 2b, 2022 Oppg 3a, 2023 Oppg 3.
•Start alltid med divergenstesten: sjekk om a_n -> 0. Hvis ikke, er du ferdig.
•Forholdskriteriet er mest nyttig for rekker med fakulteter og potenser (f.eks. n!/n^n).

Konvergens

•Matriser med overgangsmodeller (bibliotek, dyrebestand, plantesamfunn, bilutleie, kartonggjenvinning, insekter, fiskebestand) er på NESTEN ALLE eksamener: 2006 Oppg 2, 2011 Oppg 12, 2014 Oppg 12, 2020 Oppg 7, 2021 Oppg 3, 2022 Oppg 1, 2023 Oppg 2. Sett opp matrisen kolonnevis og sjekk at modellen gir mening.
•En likevektsfordeling (like mange inn som ut) er en egenvektor med egenverdi 1 -- oppgaven sporr ofte indirekte etter dette.
•Modeller kan ha tre kategorier (3x3-matrise) eller to ulike matriser C og D som settes sammen (DC). Pass på rekkefolgen i matrisemultiplikasjon.
•Konvergens av en følge an -> L: på flervalg lonner det seg å se på hvilke ledd som dominerer (største potens/eksponent) i teller og nevner.
•For 2x2-matriser: egenverdiene er løsningene av lambda^2 - (a+d)*lambda + (ad-bc) = 0.
•Når oppgaven ber om M^n, dekomponere i egenvektorer er den effektive metoden.

Komplekse tall

•Komplekse tall er en fast oppgave på eksamen: 2006 Oppg 1, 2011, 2014 Oppg 11, 2016 Oppg 11, 2019 Oppg 7, 2020 Oppg 5, og dominerer midtveiseksamen. Ofte 6-20 poeng.
•Et hyppig oppgavetype: 'Vis at z0 er en rot i P(z) og finn de ovrige rottene'. Bruk at komplekse roetter av reelle polynom kommer i konjugerte par, og polynomdivisjon for resten.
•På flervalg testes: overgang polarform <-> kartesisk, løsning av lineaere likninger med z (f.eks. 2z - i = 4 - iz), komplekst skalarprodukt (husk konjugering av andre faktor), og omrader i planet (|z-1| > |z-i| gir en halvplan).
•Tredjeroetter og fjerderoetter av enhet er nyttige å kjenne: e^{2pi*i*k/n} for k = 0,...,n-1. Tredjerottene av -27 er 3e^{i*pi/3}, 3e^{-i*pi/3}, -3.
•For faktorisering av x^4 + x^2 + 1 og lignende: finn de komplekse rottene først, kombiner konjugerte par til reelle faktorer.

Differensiallikninger

•Bevisoppgaver med Rolles teorem / middelverdisetningen er på de fleste eksamener (2020 Oppg 8, 2023 Oppg 6c). Av og til gis Cauchys middelverdisetning som hint (2006 Oppg 4).
•Fundamentalteoremet + delvis integrasjon er en vanlig kombinasjon: 2014 Oppg 14, 2019 Oppg 6, 2021 Oppg 2c.
•En klassisk oppgavekjede: gitt F(x) = int_a^x f(t) dt, finn F'(x) (fundamentalteoremet), vis at F er voksende (F' > 0), finn F''(x) og vis at F er konkav/konveks (fortegn på F''). Se 2011 Oppg 13, 2016 Oppg 13.
•Funksjoner som ln(x)/(x-1) eller (ln x)/(x-1) utvidet i overgangspunktet: vis kontinuitet og deriverbarhet via grenseverdi/L'Hopital eller Taylor.
•For bevisoppgaver: definer g(x) = [det du vil vise er 0], vis at g har to nullpunkter, bruk Rolles teorem. Hjelpefunksjoner med e^{-x} (f.eks. h(x)=e^{-x}f(x)) er nyttige når betingelsen kobler f og f'.

Vektorer og matriser

•Volum/areal via determinant og kryssprodukt er nesten alltid en flervalgsoppgave: 2011 Oppg 4, 2014 Oppg 4, 2016 Oppg 4, 2019 Oppg 3.
•Invers matrise regnet for hand: 2006 Oppg 6, 2014 Oppg 12, 2016 Oppg 5. Verifiser ved å sjekke at MB = I.
•Lineaeravbildninger (speiling, rotasjon): finn matrisen ved å se hvor enhetsvektorene havner.
•Når du far fire punkter og skal finne pyramidevolum: lag tre kantvektorer fra ETT felles hjorne først.

Ekstremalverdier og anvendt derivasjon

•Relaterte rater (fly/radar, bat/fyr, vinkel som endrer seg) er en gjenganger: 2014 midtveis Oppg 20, 2016 Oppg 6.
•Optimering av synsvinkel / geometrisk størrelse: 2021 Oppg 4 (skjerm/auditorium). Sett opp v(x), deriver, los v'(x)=0.
•Konveksitet/vendepunkt og asymptoter er typiske flervalgsoppgaver: 2014 midtveis, 2018 midtveis.
•Derivasjon av omvendt funksjon: 2014 midtveis Oppg 16, 2018 midtveis Oppg 16-17. Finn først a med f(a)=b, deretter 1/f'(a).