MAT1100

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

MAT1100 Kalkulus er det forste matematikkemnet ved Universitetet i Oslo og dekker grunnleggende kalkulus i en og flere variabler: grenser, kontinuitet, derivasjon, integrasjon, Taylors formel, uendelige rekker, komplekse tall og differensiallikninger. Eksamen er skriftlig (4 timer) og bestar typisk av 5-8 oppgaver med varierende poengvekt. Tillatte hjelpemidler varierer fra ar til ar (godkjent kalkulator + formelsamling, eller alle hjelpemidler).

Eksamen tester bade regneferdigheter og teoretisk forstaelse. Du ma kunne bevise resultater (f.eks. at en funksjon er kontinuerlig eller deriverbar i et punkt), ikke bare regne mekanisk. Oppgavene kombinerer ofte flere temaer: en integrasjonsoppgave kan kreve substitusjon og konvergensargumentasjon, en derivasjonsoppgave kan involvere grenser og L'Hopitals regel.

Sentralt tip: De fleste eksamenene har minst en oppgave om stykkevis definerte funksjoner der du ma undersoke kontinuitet og deriverbarhet fra definisjonen (med grenseverdier). Disse oppgavene krever presisjon i argumentasjonen og er ofte de mest krevende pa eksamen.

Grenser og kontinuitet

Grenseverdier, ensidig grenser, skviseteoremet, epsilon-delta-definisjonen av kontinuitet, og analyse av stykkevis definerte funksjoner. Et gjennomgangstema pa alle eksamener.

Oversikt

Grenser og kontinuitet er det teoretiske fundamentet i kalkulus. I MAT1100 ma du ikke bare kunne beregne grenser, men ogsa bevise at funksjoner er kontinuerlige (eller ikke) ved hjelp av definisjonen. Stykkevis definerte funksjoner er den vanligste konteksten for slike oppgaver pa eksamen.

Grenseverdier

Vi sier at $\lim_{x \to a} f(x) = L$ dersom $f(x)$ kan gjores vilkarlig nar $L$ ved a velge $x$ tilstrekkelig nar $a$ . Formelt (epsilon-delta): For alle $\varepsilon > 0$ finnes $\delta > 0$ slik at $|f(x) - L| < \varepsilon$ nar $0 < |x - a| < \delta$ .

Viktige grenseverdier du ma kunne:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

Skviseteoremet (Squeeze theorem)

Dersom $g(x) \le f(x) \le h(x)$ for alle $x$ nar $a$ , og $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ , sa er $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .

Dette er den viktigste teknikken for funksjoner med oscillerende faktorer, f.eks. $\sin(1/x)$ eller $\cos(1/x^2)$ . Ideen er a bruke $|\sin(\cdot)| \le 1$ og $|\cos(\cdot)| \le 1$ for a binde funksjonen mellom to grenser som begge gar mot 0.

Kontinuitet

En funksjon $f$ er kontinuerlig i $x = a$ dersom:

$f(a)$ er definert
$\lim_{x \to a} f(x)$ eksisterer
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

For stykkevis definerte funksjoner ma du sjekke at grenseverdien fra begge sider stemmer overens med funksjonsverdien i overgangspunktet.

Stykkevis definerte funksjoner -- eksamensfavoritt

En typisk eksamensoppgave gir en funksjon pa formen:

$f(x) = \begin{cases} \text{uttrykk med } x & \text{for } x \neq 0 \\ c & \text{for } x = 0 \end{cases}$

Du ma finne $c$ slik at $f$ er kontinuerlig, eller vise at $f$ er kontinuerlig for en gitt verdi av $c$ . Teknikken er alltid: beregn $\lim_{x \to 0} f(x)$ og sett lik $f(0) = c$ .

Eksempel 1 (Eksamen 2022, Oppgave 4)

Oppgave: La $f(x) = \begin{cases} 1 + \sin\frac{1}{x} \cdot \sin x & \text{for } x \neq 0 \\ 1 & \text{for } x = 0 \end{cases}$ . Vis at $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Losning: Vi bruker skviseteoremet. Siden $|\sin(1/x)| \le 1$ for alle $x \neq 0$ , har vi:

$\left|\sin\frac{1}{x} \cdot \sin x\right| \le |\sin x|$

Dermed:

$1 - |\sin x| \le 1 + \sin\frac{1}{x} \cdot \sin x \le 1 + |\sin x|$

Siden $\lim_{x \to 0} (1 - |\sin x|) = 1$ og $\lim_{x \to 0} (1 + |\sin x|) = 1$ , gir skviseteoremet:

$\lim_{x \to 0} f(x) = 1 = f(0)$

Altsa er $f$ kontinuerlig i $x = 0$ . $\square$

Eksempel 2 (Eksamen 2023, Oppgave 6a)

Oppgave: La $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vare en funksjon med $f(0) = 0$ , $f'(0) = 2$ , $f''(0) = 3$ . La $g(x) = \begin{cases} f(x)/x & \text{for } x \neq 0 \\ a & \text{for } x = 0 \end{cases}$ . Hva er $a$ for at $g$ er kontinuerlig?

Losning: Vi trenger $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = a$ . Siden $f(0) = 0$ , er dette en $0/0$ -form. Ved definisjonen av den deriverte:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0) = 2$

Altsa ma $a = 2$ . $\square$

Nøkkelformler

•$ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ $
•$ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ $
•$ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ $
•Skviseteoremet: $ $g(x) \le f(x) \le h(x)$ $og$ $\lim g = \lim h = L \Rightarrow \lim f = L$ $
•Kontinuitet: $ $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ $

Vanlige feil

⚠️Glemme a sjekke begge sider av grenseverdien for stykkevis definerte funksjoner.
⚠️Bruke L'Hopitals regel uten a verifisere at det faktisk er en 0/0 eller uendelig/uendelig-form.
⚠️Forveksle grenseverdi med funksjonsverdi: at f(x) -> L betyr ikke at f(a) = L.
⚠️Bruke skviseteoremet med feil ulikheter -- husk at sin og cos er begrenset av absoluttverdien.

Eksamenstips

💡Stykkevis definerte funksjoner med sporsmalet 'vis at f er kontinuerlig i x=0' er pa nesten ALLE eksamener (2019, 2020, 2022, 2023).
💡Nar du ser sin(1/x) eller cos(1/x^2) multiplisert med en faktor som gar mot 0, tenk skviseteoremet umiddelbart.
💡For a finne grenseverdien av f(x)/x nar f(0) = 0, gjenkjenn dette som definisjonen av f'(0).

Laster...

Introduksjon