MAT1100 · UiO

Studieguide for MAT1100 Kalkulus

Komplett pensumoversikt for kalkulus ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

MAT1100 Kalkulus er det første matematikkemnet ved Universitetet i Oslo og den obligatoriske inngangsporten til realfagsprogrammene. Emnet går om høsten, gir 10 studiepoeng, og har to vurderinger: en midtveiseksamen midt i semesteret og en avsluttende eksamen i desember.

Denne studieguiden er bygd på 22 ordinære eksamenssett fra 2004 til 2025, 19 midtveiseksamener og UiOs offisielle løsningsforslag. Hvert frekvenstall i guiden er talt opp i settene, ikke anslått.

Pensum ble lagt om fra og med H2024. Matriser og funksjoner av flere variable er ute av avsluttende eksamen. Inn kom rekker og potensrekker, taylorpolynom med restledd og differensiallikninger. På de tre nyeste settene (H2024, H2025 og utsatt eksamen januar 2026) står de tre nye temaene for 18 av 34 punkter (53 %) og 128 av 244 poeng (52 %), mens matriser og flervariabel står for 0.

Eldre eksamenssett er fortsatt det største øvingsarkivet vi har, men omtrent 45 % av oppgavene i settene til og med H2023 er på stoff som ikke lenger kommer. De to seksjonene nederst i guiden er merket «pensum til og med H2023» av nøyaktig den grunnen.

Slik ser eksamen ut nå

Avsluttende eksamen er på 4 timer (09–13). Tillatte hjelpemidler er godkjent kalkulator pluss Formelsamling for MAT1100, som deles ut som vedlegg. Settet består av 12 punkter à 6 poeng (H2025 og H2025-utsatt) eller 10 punkter à 10 poeng (H2024). Det er ingen flervalgsoppgaver — de forsvant fra avsluttende eksamen etter 2016.

To setninger på forsiden er verdt å lese hvert år: «Husk å begrunne svarene dine.» og «Dersom det er et punkt du ikke får til, kan du likevel bruke resultatene derfra i senere punkter.» Den siste er en gave — les den som en invitasjon til å hoppe videre.

Midtveiseksamen er 2 timer, 18 flervalgsspørsmål som teller likt (settene til og med H2017 hadde 20 spørsmål, og H2005 bare 10 — «x av 18» i seksjonene under gjelder derfor settene fra H2018), ingen hjelpemidler ut over formelsamlingen, og ingen begrunnelse. Du blir ikke straffet for å gjette. Midtveiseksamen ble ikke berørt av pensumskiftet: profilen i H2024 og H2025 er den samme som i 2004.

Vekten per tema på de tre nyeste settene

Antall punkter per tema, H2024–H2026 (34 punkter i alt)
Tema	H2024	H2025	Utsatt
Rekker og potensrekker	2	2	3
Differensiallikninger	2	2	2
Taylorpolynom	1	2	2
Integrasjon	1	2	1
Uegentlige int. og anvendelser	2	2	2
Grenser og kontinuitet	0	1	0
Derivasjon	1	1	2
Komplekse tall	1	0	0
Matriser og flervariabel	0	0	0

Hvert tall er talt punkt for punkt i settene. Merk én klassifisering: H2024 oppgave 5 ber både om kontinuitet i et punkt og om grensen av den deriverte, og er ført under Derivasjon i tabellen. Den telles likevel med når seksjonen Grenser og kontinuitet sier at kontinuitetsbeviset er med i 2 av 3 sett etter pensumskiftet.

Hva som faktisk kommer

Fire mønstre er så stabile at du kan planlegge etter dem:

Integrasjon i alle sett. Temaet er med i 22 av 22 ordinære sett — det eneste uten unntak. Substitusjon 17/22, delbrøk eller fullføring av kvadratet 16/22, delvis integrasjon 14/22 (i 12 av dem som egen oppgavetype).
Ett uegentlig integral. Et uegentlig integral er med i 18 av 22 sett (selve konvergensvurderingen i 16 av dem), og volum eller buelengde i 17 av 22 (omdreiningsvolum alene i 15 av 22). Minst én av delene er med i 20 av 22 sett — og i 3 av 3 sett etter pensumskiftet.
Ett bevis om kontinuitet eller deriverbarhet i ett punkt. Regnet i én variabel: kontinuitet i 10 av 22 sett, deriverbarhet i 8 av 22 — og minst ett av dem i hvert eneste sett fra 2019 (2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025 og utsatt eksamen). H2018 er det siste settet uten: oppgave 6 der er deriverbarhet i to variable (Jacobimatrise), og flervariabel er ute av pensum.
Ett punkt fra hvert av de tre nye temaene. I alle tre settene etter pensumskiftet finnes ett rekkekonvergensspørsmål, ett taylorpolynom eller én taylorrekke, og ett differensiallikningspunkt.

På midtveiseksamen er bildet et helt annet, og også det er stabilt: komplekse tall (19/19 sett, 102 spørsmål), grenser (19/19, 106 spørsmål), derivasjonsteknikk og omvendt funksjon (19/19, 82 spørsmål) og funksjonsdrøfting med asymptoter, konveksitet og relaterte rater (19/19, 60 spørsmål). To av seksjonene i denne guiden — Komplekse tall og Ekstremalverdier og anvendt derivasjon — lever nå nesten bare på midtveiseksamen, og det står i klartekst øverst i begge. Grenser og kontinuitet og Derivasjon er minst like store på midtveiseksamen, men har i tillegg hvert sitt bevispunkt på de nyeste avsluttende settene.

Rekkefølgen å lese guiden i. Skal du opp til midtveiseksamen: Komplekse tall, Grenser og kontinuitet, Derivasjon, Ekstremalverdier. Skal du opp til avsluttende eksamen: Integrasjon, Uegentlige integraler, Rekker og potensrekker, Taylorpolynom, Differensiallikninger — i den rekkefølgen, for de tre siste bygger på de to første.

Grenser og kontinuitet

Eksamensrelevant

Grenser av følger og funksjoner, konjugattrikset, dominansrekkefølge, rekursive følger med monoton konvergens, l'Hôpital, logaritmetrikset for potensuttrykk, kontinuitet og stykkevis definerte funksjoner, epsilon-delta-bevis, kontinuerlig uten å være deriverbar, og skjæringssetningen. Testet i 14 av 22 ordinære eksamener og alle 19 midtveiseksamener (106 spørsmål).

Oversikt

Grenser, følger og kontinuitet er ryggraden i MAT1100. Temaet forekommer i 14 av 22 ordinære sett og i alle 19 midtveiseksamener (106 spørsmål, 29 % av alle midtveisspørsmål). På deleksamen er det ren regneteknikk (grenseverdier, l'Hôpital, rekursive følger). Etter pensumskiftet H2024 lever temaet særlig på midtveiseksamen, men bevisoppgaven om kontinuitet i ett punkt er med i 2 av 3 sett etter pensumskiftet (H2024 oppgave 5 og H2025 oppgave 2), og tar man med deriverbarhet i ett punkt, er det 3 av 3 (H2025-utsatt oppgave 3b). På de ordinære settene er det der bevisoppgavene bor: «vis at $f$ er kontinuerlig i $x=0$ », «vis at $f$ ikke er deriverbar i $x=0$ », «skriv opp epsilon-delta-definisjonen og bruk den».

Grenser av følger

Tre teknikker dekker nesten alt som spørres om:

Del på den høyeste potensen. For rasjonale uttrykk i $n$ er grensen forholdet mellom koeffisientene til de dominerende leddene.
Konjugattrikset. Ved differanser av kvadratrøtter ganger du med den konjugerte over seg selv.
Dominansrekkefølgen. $\ln n \ll n^p \ll a^n \ll n! \ll n^n$ for $p>0$ og $a>1$ . Den som vokser raskest bestemmer.

Eksempel 1: to standardgrenser

(a) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+3n^4-5n^3}{3+2n+n^3+2n^4}$ . Vi deler teller og nevner på $n^4$ :

$\frac{n^{-3}+3-5n^{-1}}{3n^{-4}+2n^{-3}+n^{-1}+2}\longrightarrow\frac{3}{2}.$

(b) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{9x^2+x}-3x\bigr)$ . Vi ganger med den konjugerte:

$\sqrt{9x^2+x}-3x=\frac{(9x^2+x)-9x^2}{\sqrt{9x^2+x}+3x}=\frac{x}{\sqrt{9x^2+x}+3x}=\frac{1}{\sqrt{9+1/x}+3}\longrightarrow\frac16.$

I siste steg delte vi teller og nevner på $x$ , som er lovlig fordi $x>0$ .

Svar: (a) $3/2$ . (b) $1/6$ .

Rekursive følger

En følge gitt ved $a_1$ og $a_{n+1}=f(a_n)$ er en fast oppgavetype. Oppskriften er tredelt:

Finn kandidatene til grensen ved å løse fikspunktligningen $L=f(L)$ . Konvergerer følgen, må grensen være et fikspunkt — det følger av at $f$ er kontinuerlig.
Vis monotoni ved å undersøke fortegnet til $f(x)-x$ på det aktuelle intervallet.
Vis begrensethet, og konkluder med setningen om monoton konvergens: en avtakende, nedad begrenset følge konvergerer.

Legg merke til at punkt 1 alene ikke er et bevis. En deleksamensoppgave formulerer dette presist: «Hvis følgen konvergerer, så konvergerer den mot …» — der er fikspunktregningen nok. Ber oppgaven om at følgen faktisk konvergerer, må du gjennom punkt 2 og 3.

Eksempel 2: en rekursiv følge fullstendig behandlet

Oppgave: La $a_1=4$ og $a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+5}{6}$ . Vis at følgen konvergerer, og finn grensen.

Løsning: Sett $f(x)=\frac{x^2+5}6$ . Fikspunktene er løsningene av $6L=L^2+5$ , altså $L^2-6L+5=0$ , som gir $L=1$ og $L=5$ .

For monotoni ser vi på

$f(x)-x=\frac{x^2+5-6x}{6}=\frac{(x-1)(x-5)}{6},$

som er negativt for $1<x<5$ . Siden $a_1=4$ ligger i $(1,5)$ , er $a_2<a_1$ .

For begrensethet: er $x>1$ , så er $f(x)=\frac{x^2+5}6>\frac{1+5}6=1$ . Ved induksjon holder derfor alle leddene seg i $(1,4]$ , og der er følgen avtakende.

En avtakende, nedad begrenset følge konvergerer. Grensen er et fikspunkt i $[1,4]$ , og det eneste er $L=1$ .

Kontroll: $a_2=\frac{21}6=3{,}5$ , $a_3=\frac{3{,}5^2+5}6=\frac{17{,}25}6\approx2{,}88$ , $a_4\approx2{,}21$ , $a_5\approx1{,}65$ . Følgen synker mot 1, som forventet.

Svar: Følgen konvergerer, og grensen er $L=1$ .

Grenser av funksjoner

Ved siden av standardgrensene i formelarket er det to teknikker som går igjen. L'Hôpitals regel gjelder for uttrykk på formen $0/0$ eller $\infty/\infty$ — sjekk formen først, også etter hver runde, for brukt på noe annet gir den gale svar. Logaritmetrikset for potensuttrykk: skriv $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ , finn grensen til eksponenten, og eksponensier til slutt. Det dekker $x^x$ , $(1-x)^{1/x}$ , $x^{1/x^2}$ og $(\tan x)^{1/(x-\pi/4)}$ .

Eksempel 3: potensuttrykk

Oppgave: Finn $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{\sqrt x}$ .

Løsning: Vi ser på eksponenten $\sqrt x\ln x=\dfrac{\ln x}{x^{-1/2}}$ , som har formen $-\infty/\infty$ . L'Hôpital gir

$\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-\frac12x^{-3/2}}=\lim_{x\to0^+}\bigl(-2x^{1/2}\bigr)=0.$

Dermed er $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{\sqrt x}=e^0=1$ .

Svar: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{\sqrt x}=1$ .

Kontinuitet og stykkevis definerte funksjoner

$f$ er kontinuerlig i $a$ hvis $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ . For en stykkevis definert funksjon betyr det at venstregrensen, høyregrensen og funksjonsverdien alle er like.

Den vanligste varianten: bestem konstanter slik at funksjonen blir kontinuerlig, eventuelt deriverbar. Da får du én ligning per krav — kontinuitet gir én, deriverbarhet gir én til.

Eksempel 4: bestem konstantene

Oppgave: La $f(x)=e^{2x}+2$ for $x\ge0$ og $f(x)=Ax+B$ for $x<0$ . Hva må $A$ og $B$ være for at $f$ skal være deriverbar i $x=0$ ?

Løsning: Deriverbarhet krever først kontinuitet. Høyregrensen er $f(0)=e^0+2=3$ , venstregrensen er $B$ , så $B=3$ .

Deretter må de ensidige deriverte stemme. Fra høyre: $\frac{d}{dx}(e^{2x}+2)\big|_{x=0}=2e^0=2$ . Fra venstre: $A$ . Altså $A=2$ .

Svar: $A=2$ og $B=3$ .

Epsilon-delta i praksis

Definisjonen: $\lim_{x\to a}f(x)=L$ betyr at for hver $\varepsilon>0$ finnes en $\delta>0$ slik at $0<|x-a|<\delta$ medfører $|f(x)-L|<\varepsilon$ . Kontinuitet i $a$ er tilfellet $L=f(a)$ .

Eksempel 5: epsilon-delta-bevis

Oppgave: Vis med definisjonen at $f(x)=5x^2$ er kontinuerlig i $x=1$ .

Løsning: Vi har $|f(x)-f(1)|=|5x^2-5|=5|x-1|\,|x+1|$ .

Krever vi først $|x-1|<1$ , er $0<x<2$ , og da $|x+1|<3$ . Under denne forutsetningen er

$|f(x)-f(1)|<15|x-1|.$

Gitt $\varepsilon>0$ , velg $\delta=\min\{1,\varepsilon/15\}$ . Er $|x-1|<\delta$ , gjelder begge kravene, og $|f(x)-f(1)|<15\cdot\frac{\varepsilon}{15}=\varepsilon$ . Dermed er $f$ kontinuerlig i $x=1$ .

Svar: Med $\delta=\min\{1,\varepsilon/15\}$ er definisjonen oppfylt, så $f$ er kontinuerlig i $x=1$ .

Kontinuerlig, men ikke deriverbar

Deriverbarhet medfører kontinuitet, men ikke omvendt. Fra 2019 er nettopp denne asymmetrien en av de mest brukte bevisoppgavene. Verktøyet for kontinuitet er en skvis: klarer du å vise $|f(x)-f(0)|\le g(x)$ med $g(x)\to0$ , er du ferdig. Verktøyet for deriverbarhet er å regne på differansekvotienten direkte — derivasjonsreglene gjelder ikke i et punkt der funksjonen bytter uttrykk.

Eksempel 6: kontinuerlig men ikke deriverbar i 0

Oppgave: La $f(x)=1+\sin\frac1x\cdot\sin x$ for $x\neq0$ og $f(0)=1$ . Vis at $f$ er kontinuerlig i $0$ , men ikke deriverbar der.

Løsning, kontinuitet: Siden $\bigl|\sin\frac1x\bigr|\le1$ for alle $x\neq0$ , er

$|f(x)-f(0)|=\Bigl|\sin\frac1x\Bigr|\cdot|\sin x|\le|\sin x|\longrightarrow0\quad\text{når }x\to0.$

Altså $\lim_{x\to0}f(x)=1=f(0)$ , og $f$ er kontinuerlig i $0$ .

Løsning, deriverbarhet: Differansekvotienten er

$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sin\frac1x\cdot\frac{\sin x}{x}.$

Faktoren $\frac{\sin x}x\to1$ , mens $\sin\frac1x$ svinger. Langs $x_n=\frac1{2\pi n}$ er $\sin\frac1{x_n}=0$ , så kvotienten går mot $0$ . Langs $y_n=\frac1{\pi/2+2\pi n}$ er $\sin\frac1{y_n}=1$ , så kvotienten går mot $1$ . To følger som begge går mot $0$ gir forskjellige grenser, altså eksisterer ikke grensen, og $f$ er ikke deriverbar i $0$ .

Svar: $f$ er kontinuerlig i $0$ , men ikke deriverbar der.

Skjæringssetningen

Skal du vise at en ligning har en løsning, er skjæringssetningen svaret: flytt alt over på én side til en funksjon $h$ , vis at $h$ er kontinuerlig, og finn to punkter der $h$ har motsatt fortegn.

Eksempel 7: eksistens av løsning

Oppgave: Vis at det finnes et $x>0$ med $x+\ln x+2=e^x$ .

Løsning: Sett $h(x)=x+\ln x+2-e^x$ , som er kontinuerlig på $(0,\infty)$ . Da er

$h(1)=1+0+2-e=3-e\approx0{,}28>0,\qquad h(2)=2+\ln2+2-e^2\approx4{,}69-7{,}39<0.$

Siden $h$ er kontinuerlig på $[1,2]$ og skifter fortegn, gir skjæringssetningen en $c\in(1,2)$ med $h(c)=0$ , altså $c+\ln c+2=e^c$ .

Svar: Det finnes en $c\in(1,2)$ med $c+\ln c+2=e^c$ .

Broen videre: fra følger til rekker

Maskineriet i denne seksjonen er nøyaktig det du trenger i den nye rekkeseksjonen. En rekke er en følge — følgen av delsummer $S_N=a_1+\cdots+a_N$ — og «rekken konvergerer» betyr at den følgen konvergerer.

Derfor gjelder setningen om monoton konvergens direkte: har rekken bare positive ledd, er delsummene voksende, og da er begrensethet det eneste som mangler for konvergens. Det er hele ideen bak sammenlikningstesten. Se Rekker og potensrekker for testene selv.

Nøkkelformler

•Epsilon-delta: $\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$
•Standardgrenser: $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12,\quad\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$
•Potensuttrykk: $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$
•Monoton konvergens: en voksende, oppad begrenset følge konvergerer
•Dominans: $\ln n\ll n^p\ll a^n\ll n!\ll n^n\qquad(p>0,\;a>1)$

Vanlige feil

⚠️Bruke l'Hôpital på et uttrykk som ikke har formen $0/0$ eller $\infty/\infty$ . Sjekk formen hver gang, også etter hver runde.
⚠️Regne ut fikspunktet og tro at følgen dermed er vist å konvergere. Fikspunktet er bare kandidaten til grensen.
⚠️Bruke derivasjonsreglene i et punkt der funksjonen skifter uttrykk. Der må differansekvotienten regnes direkte.
⚠️Konkludere at en funksjon er deriverbar fordi den er kontinuerlig. Implikasjonen går bare den ene veien.
⚠️Glemme at skjæringssetningen krever et LUKKET intervall og en KONTINUERLIG funksjon — begge hypotesene må nevnes.

Eksamenstips

💡Midtveiseksamen har 5–7 grensespørsmål av 18 på settene fra H2018 (4–8 av 20 til og med H2017). Typene er faste: rasjonalt uttrykk i $n$ , konjugattriks med kvadratrøtter, l'Hôpital på $0/0$ , potensuttrykk via logaritmen, og en rekursiv følge.
💡På de ordinære settene fra 2019 er det alltid minst ett punkt av typen «vis at $f$ er kontinuerlig i 0» eller «avgjør om $f$ er deriverbar i 0» (2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025 — og H2025-utsatt). H2018 hadde ingen slik oppgave i én variabel. Begge typene i samme sett fikk du i 2019, 2020 og 2022. Regn ALLTID på differansekvotienten direkte i slike punkter.
💡Skal du vise at noe IKKE har en grense, oppgi to konkrete følger $x_n\to a$ som gir forskjellige grenser. Det er et fullstendig bevis; «uttrykket svinger» er det ikke.
💡Epsilon-delta-oppgaver løses med oppskriften: faktoriser ut $|x-a|$ , begrens resten ved først å kreve $|x-a|<1$ , og velg $\delta=\min\{1,\varepsilon/K\}$ .
💡«Vis at ligningen har en løsning» betyr skjæringssetningen. Nevn eksplisitt at funksjonen er kontinuerlig, og oppgi to tall med motsatt fortegn.
💡Ved rekursive følger: fikspunktligningen finner kandidaten, men beviset for konvergens krever monotoni PLUSS begrensethet.

Laster...

Laster…