MAT1100 · UiO

Studieguide for MAT1100 Kalkulus

Komplett pensumoversikt for kalkulus ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

MAT1100 Kalkulus er det første matematikkemnet ved Universitetet i Oslo og den obligatoriske inngangsporten til alle realfagsprogrammene. Emnet går om høsten, gir 10 studiepoeng, og avsluttes med en skriftlig eksamen i slutten av november eller begynnelsen av desember.

Denne studieguiden er bygd på en gjennomgang av 21 ordinære eksamenssett fra 2003 til 2023 og 16 deleksamener (midtveiseksamener) fra 2003 til 2018. Vektingen mellom temaene i guiden speiler hvor ofte de faktisk har blitt testet — ikke hva som «kunne» kommet.

Slik ser eksamen ut

Formatet har endret seg i to trinn:

2004–2016: todelt eksamen. Del 1 var 10 flervalgsoppgaver à 3 poeng (30 % av poengene), Del 2 var 7 delspørsmål à 10 poeng (70 %). Ingen straff for å gjette på Del 1.
2017–2023: ingen flervalgsdel. Settet består av 12 delspørsmål à 6 poeng, eller 5–6 oppgaver à 20–30 poeng. Alt skal begrunnes, og du må vise nok mellomregning til at sensor lett kan følge argumentet.
Deleksamen (til og med 2018): 2 timer, ingen hjelpemidler, 18–20 flervalgsspørsmål. Den dekket bare første halvdel av pensum: komplekse tall, følger, grenser, kontinuitet, derivasjon og funksjonsdrøfting.

Eksamen er på 4 timer (den var 3 timer til og med 2009). Tillatte hjelpemidler er godkjent kalkulator pluss en formelsamling som deles ut som vedlegg. Unntaket er hjemmeeksamenene i 2020 og 2021, der alle hjelpemidler var tillatt.

Hva som faktisk testes

Fire ting går igjen i nesten hvert eneste sett:

Funksjoner av flere variable — partiellderiverte, gradient og retningsderivert forekommer i alle 20 ordinære sett vi har lest tekstlaget på. Dette er emnets mest forutsigbare tema.
Integrasjon — substitusjon, delvis integrasjon, delbrøkoppspalting og uegentlige integraler er med i alle sett.
Matriser og lineære modeller — en overgangsmatrise skrevet ut fra en verbal beskrivelse (bøker mellom bibliotekfilialer, aldersklasser i en dyrebestand, studenter som stryker) er en fast, tungt vektet oppgave i 18 av 20 sett.
Bevis- og argumentasjonsoppgaver — «Vis at …», «Begrunn at …», «Avgjør om …» finnes i hvert eneste sett, og etter 2017 utgjør de 30–50 % av poengene.

Til gjengjeld er det viktig å vite hva som ikke kommer. Taylor-polynomer, uendelige rekker, potensrekker, konvergensradius og differensiallikninger har null forekomster i hele arkivet. Bruk ikke tid på dem.

Det siste punktet fortjener en presisering: lineær approksimasjon med restleddvurdering, altså $f(b)\approx f(a)+f'(a)(b-a)$ med feilgrensen $\tfrac12 M(b-a)^2$ , ble spurt om på eksamen i 2017 — men da utledet fra middelverdisetningen og integrasjon, uten at ordet «Taylor» ble brukt. Den varianten finner du derfor under Derivasjon.

Grenser og kontinuitet

Eksamensrelevant

Grenser av følger og funksjoner, konjugattrikset, dominansrekkefølge, rekursive følger med monoton konvergens, l'Hôpital, logaritmetrikset for potensuttrykk, kontinuitet og stykkevis definerte funksjoner, epsilon-delta-bevis, kontinuerlig uten å være deriverbar, og skjæringssetningen. Testet i 17 av 20 ordinære eksamener og 14 av 15 deleksamener.

Oversikt

Grenser, følger og kontinuitet er ryggraden i MAT1100. Temaet forekommer i 17 av 20 ordinære sett og 14 av 15 deleksamener. På deleksamen er det ren regneteknikk (grenseverdier, l'Hôpital, rekursive følger). På de ordinære settene er det derimot der bevisoppgavene bor: «vis at $f$ er kontinuerlig i $x=0$ », «vis at $f$ ikke er deriverbar i $x=0$ », «skriv opp epsilon-delta-definisjonen og bruk den».

Grenser av følger

Tre teknikker dekker nesten alt som spørres om:

Del på den høyeste potensen. For rasjonale uttrykk i $n$ er grensen forholdet mellom koeffisientene til de dominerende leddene.
Konjugattrikset. Ved differanser av kvadratrøtter ganger du med den konjugerte over seg selv.
Dominansrekkefølgen. $\ln n \ll n^p \ll a^n \ll n! \ll n^n$ for $p>0$ og $a>1$ . Den som vokser raskest bestemmer.

Eksempel 1: to standardgrenser

(a) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+3n^4-5n^3}{3+2n+n^3+2n^4}$ . Vi deler teller og nevner på $n^4$ :

$\frac{n^{-3}+3-5n^{-1}}{3n^{-4}+2n^{-3}+n^{-1}+2}\longrightarrow\frac{3}{2}.$

(b) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{9x^2+x}-3x\bigr)$ . Vi ganger med den konjugerte:

$\sqrt{9x^2+x}-3x=\frac{(9x^2+x)-9x^2}{\sqrt{9x^2+x}+3x}=\frac{x}{\sqrt{9x^2+x}+3x}=\frac{1}{\sqrt{9+1/x}+3}\longrightarrow\frac16.$

I siste steg delte vi teller og nevner på $x$ , som er lovlig fordi $x>0$ .

Rekursive følger

En følge gitt ved $a_1$ og $a_{n+1}=f(a_n)$ er en fast oppgavetype. Oppskriften er tredelt:

Finn kandidatene til grensen ved å løse fikspunktligningen $L=f(L)$ . Konvergerer følgen, må grensen være et fikspunkt — det følger av at $f$ er kontinuerlig.
Vis monotoni ved å undersøke fortegnet til $f(x)-x$ på det aktuelle intervallet.
Vis begrensethet, og konkluder med setningen om monoton konvergens: en avtakende, nedad begrenset følge konvergerer.

Legg merke til at punkt 1 alene ikke er et bevis. En deleksamensoppgave formulerer dette presist: «Hvis følgen konvergerer, så konvergerer den mot …» — der er fikspunktregningen nok. Ber oppgaven om at følgen faktisk konvergerer, må du gjennom punkt 2 og 3.

Eksempel 2: en rekursiv følge fullstendig behandlet

Oppgave: La $a_1=4$ og $a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+5}{6}$ . Vis at følgen konvergerer, og finn grensen.

Løsning: Sett $f(x)=\frac{x^2+5}6$ . Fikspunktene er løsningene av $6L=L^2+5$ , altså $L^2-6L+5=0$ , som gir $L=1$ og $L=5$ .

For monotoni ser vi på

$f(x)-x=\frac{x^2+5-6x}{6}=\frac{(x-1)(x-5)}{6},$

som er negativt for $1<x<5$ . Siden $a_1=4$ ligger i $(1,5)$ , er $a_2<a_1$ .

For begrensethet: er $x>1$ , så er $f(x)=\frac{x^2+5}6>\frac{1+5}6=1$ . Ved induksjon holder derfor alle leddene seg i $(1,4]$ , og der er følgen avtakende.

En avtakende, nedad begrenset følge konvergerer. Grensen er et fikspunkt i $[1,4]$ , og det eneste er $L=1$ .

Kontroll: $a_2=\frac{21}6=3{,}5$ , $a_3=\frac{3{,}5^2+5}6=\frac{17{,}25}6\approx2{,}88$ , $a_4\approx2{,}21$ , $a_5\approx1{,}48$ . Følgen synker mot 1, som forventet.

Grenser av funksjoner

Ved siden av standardgrensene i formelarket er det to teknikker som går igjen. L'Hôpitals regel gjelder for uttrykk på formen $0/0$ eller $\infty/\infty$ — sjekk formen først, også etter hver runde, for brukt på noe annet gir den gale svar. Logaritmetrikset for potensuttrykk: skriv $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ , finn grensen til eksponenten, og eksponensier til slutt. Det dekker $x^x$ , $(1-x)^{1/x}$ , $x^{1/x^2}$ og $(\tan x)^{1/(x-\pi/4)}$ .

Eksempel 3: potensuttrykk

Oppgave: Finn $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{\sqrt x}$ .

Løsning: Vi ser på eksponenten $\sqrt x\ln x=\dfrac{\ln x}{x^{-1/2}}$ , som har formen $-\infty/\infty$ . L'Hôpital gir

$\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-\frac12x^{-3/2}}=\lim_{x\to0^+}\bigl(-2x^{1/2}\bigr)=0.$

Dermed er $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{\sqrt x}=e^0=1$ .

Kontinuitet og stykkevis definerte funksjoner

$f$ er kontinuerlig i $a$ hvis $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ . For en stykkevis definert funksjon betyr det at venstregrensen, høyregrensen og funksjonsverdien alle er like.

Den vanligste varianten: bestem konstanter slik at funksjonen blir kontinuerlig, eventuelt deriverbar. Da får du én ligning per krav — kontinuitet gir én, deriverbarhet gir én til.

Eksempel 4: bestem konstantene

Oppgave: La $f(x)=e^{2x}+2$ for $x\ge0$ og $f(x)=Ax+B$ for $x<0$ . Hva må $A$ og $B$ være for at $f$ skal være deriverbar i $x=0$ ?

Løsning: Deriverbarhet krever først kontinuitet. Høyregrensen er $f(0)=e^0+2=3$ , venstregrensen er $B$ , så $B=3$ .

Deretter må de ensidige deriverte stemme. Fra høyre: $\frac{d}{dx}(e^{2x}+2)\big|_{x=0}=2e^0=2$ . Fra venstre: $A$ . Altså $A=2$ .

Svar: $A=2$ , $B=3$ .

Epsilon-delta i praksis

Definisjonen: $\lim_{x\to a}f(x)=L$ betyr at for hver $\varepsilon>0$ finnes en $\delta>0$ slik at $0<|x-a|<\delta$ medfører $|f(x)-L|<\varepsilon$ . Kontinuitet i $a$ er tilfellet $L=f(a)$ .

Eksempel 5: epsilon-delta-bevis

Oppgave: Vis med definisjonen at $f(x)=5x^2$ er kontinuerlig i $x=1$ .

Løsning: Vi har $|f(x)-f(1)|=|5x^2-5|=5|x-1|\,|x+1|$ .

Krever vi først $|x-1|<1$ , er $0<x<2$ , og da $|x+1|<3$ . Under denne forutsetningen er

$|f(x)-f(1)|<15|x-1|.$

Gitt $\varepsilon>0$ , velg $\delta=\min\{1,\varepsilon/15\}$ . Er $|x-1|<\delta$ , gjelder begge kravene, og $|f(x)-f(1)|<15\cdot\frac{\varepsilon}{15}=\varepsilon$ . Dermed er $f$ kontinuerlig i $x=1$ .

Kontinuerlig, men ikke deriverbar

Deriverbarhet medfører kontinuitet, men ikke omvendt. Etter 2017 er nettopp denne asymmetrien en av de mest brukte bevisoppgavene. Verktøyet for kontinuitet er en skvis: klarer du å vise $|f(x)-f(0)|\le g(x)$ med $g(x)\to0$ , er du ferdig. Verktøyet for deriverbarhet er å regne på differansekvotienten direkte — derivasjonsreglene gjelder ikke i et punkt der funksjonen bytter uttrykk.

Eksempel 6: kontinuerlig men ikke deriverbar i 0

Oppgave: La $f(x)=1+\sin\frac1x\cdot\sin x$ for $x\neq0$ og $f(0)=1$ . Vis at $f$ er kontinuerlig i $0$ , men ikke deriverbar der.

Løsning, kontinuitet: Siden $\bigl|\sin\frac1x\bigr|\le1$ for alle $x\neq0$ , er

$|f(x)-f(0)|=\Bigl|\sin\frac1x\Bigr|\cdot|\sin x|\le|\sin x|\longrightarrow0\quad\text{når }x\to0.$

Altså $\lim_{x\to0}f(x)=1=f(0)$ , og $f$ er kontinuerlig i $0$ .

Løsning, deriverbarhet: Differansekvotienten er

$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sin\frac1x\cdot\frac{\sin x}{x}.$

Faktoren $\frac{\sin x}x\to1$ , mens $\sin\frac1x$ svinger. Langs $x_n=\frac1{2\pi n}$ er $\sin\frac1{x_n}=0$ , så kvotienten går mot $0$ . Langs $y_n=\frac1{\pi/2+2\pi n}$ er $\sin\frac1{y_n}=1$ , så kvotienten går mot $1$ . To følger som begge går mot $0$ gir forskjellige grenser, altså eksisterer ikke grensen, og $f$ er ikke deriverbar i $0$ .

Skjæringssetningen

Skal du vise at en ligning har en løsning, er skjæringssetningen svaret: flytt alt over på én side til en funksjon $h$ , vis at $h$ er kontinuerlig, og finn to punkter der $h$ har motsatt fortegn.

Eksempel 7: eksistens av løsning

Oppgave: Vis at det finnes et $x>0$ med $x+\ln x+2=e^x$ .

Løsning: Sett $h(x)=x+\ln x+2-e^x$ , som er kontinuerlig på $(0,\infty)$ . Da er

$h(1)=1+0+2-e=3-e\approx0{,}28>0,\qquad h(2)=2+\ln2+2-e^2\approx4{,}69-7{,}39<0.$

Siden $h$ er kontinuerlig på $[1,2]$ og skifter fortegn, gir skjæringssetningen en $c\in(1,2)$ med $h(c)=0$ , altså $c+\ln c+2=e^c$ .

Nøkkelformler

•Epsilon-delta: $\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$
•Standardgrenser: $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12,\quad\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$
•Potensuttrykk: $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$
•Monoton konvergens: en voksende, oppad begrenset følge konvergerer
•Dominans: $\ln n\ll n^p\ll a^n\ll n!\ll n^n\qquad(p>0,\;a>1)$

Vanlige feil

⚠️Bruke l'Hôpital på et uttrykk som ikke har formen $0/0$ eller $\infty/\infty$ . Sjekk formen hver gang, også etter hver runde.
⚠️Regne ut fikspunktet og tro at følgen dermed er vist å konvergere. Fikspunktet er bare kandidaten til grensen.
⚠️Bruke derivasjonsreglene i et punkt der funksjonen skifter uttrykk. Der må differansekvotienten regnes direkte.
⚠️Konkludere at en funksjon er deriverbar fordi den er kontinuerlig. Implikasjonen går bare den ene veien.
⚠️Glemme at skjæringssetningen krever et LUKKET intervall og en KONTINUERLIG funksjon — begge hypotesene må nevnes.

Eksamenstips

💡Deleksamen hadde 4–8 grensespørsmål av 20. Typene er faste: rasjonalt uttrykk i $n$ , konjugattriks med kvadratrøtter, l'Hôpital på $0/0$ , potensuttrykk via logaritmen, og en rekursiv følge.
💡På de ordinære settene etter 2017 er nesten alltid ett punkt av typen «vis at $f$ er kontinuerlig i 0» og ett av typen «avgjør om $f$ er deriverbar i 0» (2019, 2020, 2021, 2022, 2023). Regn ALLTID på differansekvotienten direkte i slike punkter.
💡Skal du vise at noe IKKE har en grense, oppgi to konkrete følger $x_n\to a$ som gir forskjellige grenser. Det er et fullstendig bevis; «uttrykket svinger» er det ikke.
💡Epsilon-delta-oppgaver løses med oppskriften: faktoriser ut $|x-a|$ , begrens resten ved først å kreve $|x-a|<1$ , og velg $\delta=\min\{1,\varepsilon/K\}$ .
💡«Vis at ligningen har en løsning» betyr skjæringssetningen. Nevn eksplisitt at funksjonen er kontinuerlig, og oppgi to tall med motsatt fortegn.
💡Ved rekursive følger: fikspunktligningen finner kandidaten, men beviset for konvergens krever monotoni PLUSS begrensethet.

Laster...

Laster…