MAT1050 · UiO

Studieguide for MAT1050 Matematikk for anvendelser 1

Komplett pensumoversikt for matematikk for anvendelser 1 ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

MAT1050 – Matematikk for anvendelser 1 er UiOs 10-studiepoengsemne som gir analyseverktøyene fysikk- og kjemistudenter trenger: derivasjon og integrasjon i én og flere variable, vektorfelt, kurve- og dobbeltintegraler, og systemer av differensiallikninger. Emnet går om høsten, og eksamen er en skriftlig fire-timers prøve med godkjent kalkulator og ett A4-ark med valgfri tekst på begge sider. To obligatoriske oppgaver må være godkjent for å gå opp.

Denne studieguiden er bygd på alle ni ordinære eksamenssett fra V2018 til H2024 og prøveeksamen H2023. Temaavgrensningen følger emnets pensum og undervisningsplan for H2024. Hver seksjon åpner med hvor ofte temaet faktisk er testet, og hvert eksempel er hentet fra en oppgave som har stått på eksamen. Alle tall er kontrollregnet.

Det du bør vite før du legger en leseplan

Fem temaer bærer 75,8 % av poengene, og de er de samme år etter år:

kritiske punkter og annenderiverttesten — 9 av 9 sett, 14,1 % av poengene,
multippel integrasjon, polarkoordinater og tyngdepunkt — 9 av 9, 19,5 %,
kurveintegraler og buelengde — 9 av 9, 13,2 %,
vektorfelt, konservative felt og virvling — 9 av 9, 10,0 %,
differensiallikninger og dynamiske systemer — 8 av 9, 19,0 %.

Resten av pensum — én-variabel-analyse, rekker og Taylor, komplekse tall, numerikk — dukker opp som ett kort spørsmål av gangen. Det betyr ikke at du kan hoppe over det, men det betyr at øvingstiden skal fordeles ulikt.

To bevegelser er verdt å merke seg. Følger, rekker og Taylorpolynom har 0 treff i settene før H2021 og 3 treff i de fire etter — temaet er på vei opp. Ekstremalverdier under bibetingelse går motsatt vei: 5 av 5 i V2018–V2021, 0 av 4 etter, og temaet står ikke på undervisningsplanen H2024.

Og den enkeltopplysningen som er mest verdt: formelsamlingen har variert kraftig fra år til år, og arket H2024 er det strammeste av dem alle. Greens teorem, formelen for $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ og $\int_C\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(\text{slutt})-\varphi(\text{start})$ sto på arket H2022 og på den utvidede formelsamlingen H2023, men er borte fra arket H2024 — samtidig som de testes i henholdsvis 6, 7 og 6 av de 9 settene. Taylors formel med restledd og arealformelen $A=\frac12\int r^2\,d\theta$ sto på H2023-arket, men verken på H2022- eller H2024-arket. Kjerneregelen for $f(\mathbf r(t))$ sto på V2018-arket og på ingen av arkene H2022–H2024, selv om H2024 oppgave 4c krever den. Alt dette hører øverst på ditt eget A4-ark. Se avsnittet om eksamensstrategi.

Studieguiden er skrevet mot arket H2024, siden det er det siste vi har sett. Bekreft alltid hvilket ark som gjelder for ditt semester — forskjellen mellom H2023-arket og H2024-arket er seks formler du ellers må ha med selv.

Derivasjon, grenser og integrasjon i én variabel

Produkt-, brøk- og kjerneregelen, L'Hôpitals regel, substitusjon og delvis integrasjon, tangentlinje og lineær approksimasjon, samt kritiske punkter, krumning og vendepunkter i én variabel. Temaet står som eget spørsmål i 2 av 9 sett, men er forutsetning for partiellderivasjon og for hvert eneste kurve- og dobbeltintegral i emnet.

Oversikt

Én-variabel-analyse er MAT1050s grunnmur, men sjelden hovedoppgaven: temaet står som eget spørsmål i 2 av 9 eksamenssett (H2021 og H2022) og utgjør 1,6 % av poengene i snitt. Når det først kommer, kommer det som korte spørsmål — flervalgsoppgavene A, B og D på H2022 (derivere, integrere, finne en tangentlinje) og grenseoppgaven H2021 3a. Substitusjonsintegralet i H2023 oppgave 1 hører teknisk hjemme her, men er bokført under «Numeriske metoder og uegentlige integraler», siden oppgaven fortsetter med et uegentlig integral. Til gjengjeld er reglene herfra forutsetningen for alt annet i emnet: partiellderiverte er én-variabel-derivasjon med de andre variablene holdt fast, og hvert eneste dobbeltintegral og kurveintegral ender i et vanlig integral i én variabel.

Prioriter derfor teknikk framfor teori på dette temaet. Du skal kunne derivere og integrere raskt og feilfritt, ikke bevise middelverdisetningen.

Derivasjon: de fire reglene som gjør jobben

Formelarket gir deg potensregelen, $(e^x)'=e^x$ , $(\ln x)'=1/x$ , $(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$ , samt sum-, produkt-, brøk- og kjerneregelen. Det er alt du får, og det er alt du trenger. De to feilene som faktisk skjer under tidspress er at kjerneregelen glemmes inne i en produktregel, og at den indre deriverte blir borte i eksponenten.

Eksempel 1: produkt og kjerne i samme uttrykk (H2022, oppgave A)

Oppgave: Deriver $f(x)=x^2e^{2x}$ .

Løsning: Produktregelen med $u=x^2$ og $v=e^{2x}$ . Her er $v'=2e^{2x}$ — faktoren 2 kommer fra kjerneregelen — så

$f'(x)=2x\cdot e^{2x}+x^2\cdot 2e^{2x}=2x(1+x)e^{2x}.$

Kontroll: $f'(0)=0$ , og det stemmer med at $f(x)=x^2e^{2x}$ har et bunnpunkt i origo (funksjonen er $\ge 0$ og null bare der).

Merk hva de tre gale alternativene på eksamen svarer til. $4xe^{2x}$ er produktet av de to deriverte, $(x^2)'\cdot(e^{2x})'=2x\cdot 2e^{2x}$ . $(2x+x^2)e^{2x}$ er produktregelen brukt riktig, men med $(e^{2x})'$ lest som $e^{2x}$ — den glemte kjerneregelen, og den vanligste feilen av de tre. $2x+2e^{2x}$ er «deriver hver faktor for seg og legg sammen». Alle tre er reelle studentfeil, ikke pynt.

Grenser og L'Hôpitals regel

Regelen gjelder når $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ (eller begge $\pm\infty$ ); da er

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$

forutsatt at den siste grensen finnes. To krav må sjekkes før du deriverer: at det faktisk står $0/0$ eller $\infty/\infty$ , og at du deriverer teller og nevner hver for seg — ikke brøken med brøkregelen. Uttrykket kan være på formen $0/0$ flere ganger på rad, og da brukes regelen flere ganger.

Eksempel 2: to runder med L'Hôpital (H2021, oppgave 3a)

Oppgave: Finn $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{(e^x-1)^2}$ .

Løsning: Både teller og nevner går mot 0. Første runde:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2(e^x-1)e^x}.$

Fortsatt $0/0$ . Andre runde, der nevneren deriveres med produktregelen som $2(e^{2x}-e^x)\mapsto 2(2e^{2x}-e^x)$ :

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{2(2e^{2x}-e^{x})}=\frac{1}{2(2-1)}=\frac12.$

Kontroll med Taylor: $1-\cos x\approx \tfrac12x^2$ og $e^x-1\approx x$ , så brøken er omtrent $\tfrac12x^2/x^2=\tfrac12$ . Stemmer — og Taylor-kontrollen er ofte raskere enn selve regelen.

Integrasjon: substitusjon og delvis integrasjon

Formelarket gir deg antideriverte av $x^n$ , $1/x$ , $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $\sin^2x$ og $\sin x\cos x$ , pluss de to generelle reglene:

$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx,\qquad \int f'(g(x))g'(x)\,dx=f(g(x))+C.$

Den siste er substitusjon skrevet baklengs. I praksis leter du etter et uttrykk der den indre funksjonens deriverte står som faktor — da er substitusjon riktig valg. Står det i stedet et produkt av en potens og en eksponensial- eller trigonometrisk funksjon, er delvis integrasjon riktig valg, og du velger alltid polynomet som den faktoren du deriverer.

Eksempel 3: substitusjon (H2023, oppgave 1)

Oppgave: Regn ut $\displaystyle\int\frac{x^2}{1+x^3}\,dx$ .

Løsning: Sett $u=1+x^3$ . Da er $du=3x^2\,dx$ , altså $x^2\,dx=\tfrac13\,du$ , og

$\int\frac{x^2}{1+x^3}\,dx=\frac13\int\frac{du}{u}=\frac13\ln|u|+C=\frac13\ln|1+x^3|+C.$

Kontroll: deriver svaret: $\frac13\cdot\frac{3x^2}{1+x^3}=\frac{x^2}{1+x^3}$ . Stemmer.

Det bestemte integralet fra 0 til 1 blir $\tfrac13\ln 2$ .

Eksempel 4: delvis integrasjon (H2022, oppgave B)

Oppgave: Regn ut $\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$ .

Løsning: Med $f(x)=x$ og $g'(x)=\sin x$ , altså $g(x)=-\cos x$ :

$\int_0^{\pi}x\sin x\,dx=\Bigl[-x\cos x\Bigr]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx=\pi+\Bigl[\sin x\Bigr]_0^{\pi}=\pi+0=\pi.$

Her er $-\pi\cos\pi=-\pi\cdot(-1)=\pi$ , og det er fortegnet som avgjør oppgaven.

Kontroll: integranden er positiv på hele $(0,\pi)$ og har toppverdi rundt 1,8, så et svar på rundt 3 er rimelig. $\pi\approx 3{,}14$ . Stemmer.

Tangentlinjer og lineær approksimasjon

Tangenten til $f$ i $x=a$ er

$y=f(a)+f'(a)(x-a),$

og det er samtidig Taylorpolynomet av grad 1. På flervalgsdelen er dette et rent tosekunders spørsmål hvis du regner $f(a)$ og $f'(a)$ hver for seg og setter inn til slutt.

Eksempel 5: tangentlinje (H2022, oppgave D)

Oppgave: Finn tangentlinja til $f(x)=xe^x$ i $x=0$ .

Løsning: $f(0)=0$ og $f'(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x$ , så $f'(0)=1$ . Tangenten er $y=0+1\cdot(x-0)=x$ .

Kontroll: $xe^x\approx x(1+x)=x+x^2$ nær null, og førstegradsleddet er $x$ . Stemmer.

Kritiske punkter, krumning og vendepunkter i én variabel

Temaet er pensum, men har 0 treff i 9 eksamenssett som egen oppgave. Du trenger dem likevel, fordi de er én-variabel-utgaven av det som blir emnets tyngste tema: $f'(x_0)=0$ gir kritisk punkt, $f''(x_0)>0$ gir lokalt minimum, $f''(x_0)<0$ gir lokalt maksimum, og $f''=0$ med fortegnsskifte gir vendepunkt. I to variable byttes $f''$ ut med Hesse-determinanten $H$ , og strukturen i argumentet er nøyaktig den samme.

Eksempel 6: full drøfting

Oppgave: Finn ekstremalpunkt og vendepunkt for $h(x)=xe^{-x}$ .

Løsning: $h'(x)=(1-x)e^{-x}$ , som er null bare i $x=1$ . Videre er $h''(x)=(x-2)e^{-x}$ , og $h''(1)=-e^{-1}<0$ , så $x=1$ er et lokalt maksimum med verdi $h(1)=e^{-1}\approx 0{,}368$ .

$h''(x)=0$ bare i $x=2$ , og $h''$ skifter der fra negativ til positiv. Altså er $x=2$ et vendepunkt, med $h(2)=2e^{-2}\approx 0{,}271$ .

Kontroll: $h(x)\to 0$ når $x\to\infty$ og $h(x)\to-\infty$ når $x\to-\infty$ . Én topp og ett vendepunkt til høyre for den passer med den formen. Stemmer.

Nøkkelformler

•Produktregelen: $(fg)' = f'g + fg'$
•Kjerneregelen: $\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x))\,g'(x)$
•Delvis integrasjon: $\int f g'\,dx = fg - \int f'g\,dx$
•Substitusjon: $\int f'(g(x))g'(x)\,dx = f(g(x)) + C$
•L'Hôpital ved $0/0$ : $\displaystyle \lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}$
•Tangentlinje i $x=a$ : $y = f(a) + f'(a)(x-a)$

Vanlige feil

⚠️Glemme den indre deriverte i eksponenten: $(e^{2x})' = 2e^{2x}$ , ikke $e^{2x}$ .
⚠️Derivere et produkt faktor for faktor i stedet for med produktregelen.
⚠️Bruke L'Hôpital på et uttrykk som ikke er $0/0$ eller $\infty/\infty$ — da er svaret nesten alltid galt.
⚠️Derivere brøken med brøkregelen når L'Hôpital skal brukes; teller og nevner deriveres hver for seg.
⚠️Miste fortegnet i $\bigl[-x\cos x\bigr]_0^{\pi}$ ved delvis integrasjon: $-\pi\cos\pi = +\pi$ .
⚠️Glemme $\tfrac13$ når $du = 3x^2\,dx$ ved substitusjon.
⚠️Hevde vendepunkt fordi $f''(x_0)=0$ , uten å sjekke at $f''$ skifter fortegn.

Eksamenstips

💡Temaet kommer som korte spørsmål, ikke som stor oppgave: H2022 A, B og D (3 poeng hver), H2023 opg. 1 og H2021 3a (5 poeng). Bruk maks fem minutter på hvert.
💡Ser du den indre funksjonens deriverte som faktor i integranden, er substitusjon riktig. Ser du polynom ganger $e^x$ , $\sin x$ eller $\cos x$ , er delvis integrasjon riktig.
💡Kontroller alltid et ubestemt integral ved å derivere svaret. Det tar ti sekunder og fanger nesten alle konstantfeil.
💡Kontroller en L'Hôpital-grense med Taylor: $1-\cos x \approx \tfrac12 x^2$ og $e^x-1 \approx x$ avgjør oppgaven på én linje.
💡Tangentlinja er Taylorpolynomet av grad 1. Regn $f(a)$ og $f'(a)$ hver for seg og sett inn til slutt.
💡Krumning og vendepunkter har 0 treff i 9 sett som egen oppgave — kjenn temaet, men ikke bruk øvingstid på det.

Laster...

Laster…