Oversikt

Newtons metode finner nullpunkter til \(f\) ved å følge tangenten: \(x_{k+1}=x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\). På eksamen blir du typisk bedt om å ta ett eller to steg fra et gitt startpunkt og regne ut resultatet eksakt.

Beslektede metoder

Det er nyttig å kjenne to slektninger som dukker opp i samme oppgavetype:

Sekantmetoden: erstatter den deriverte med en differansekvotient: \(x_{k+1}=x_k - \frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}f(x_k)\). Krever to startpunkter.
Halveringsmetoden (bisection): krever et intervall \([a,b]\) med fortegnsskifte. Hvert steg halverer intervallet ved å beholde den halvdelen der fortegnsskiftet ligger. Midtpunktet er tilnærmingen.

Konvergens

Newtons metode konvergerer typisk kvadratisk nær et enkelt nullpunkt, men kan divergere ved dårlig startpunkt eller når \(f'\) er liten. Halveringsmetoden er treg, men garantert konvergent så lenge det finnes et fortegnsskifte.

Eksempel: to steg med Newtons metode

For \(f(x)=x^5+x+1\) med \(x_0=0\): \(f'(x)=5x^4+1\), så \(x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^5+x_k+1}{5x_k^4+1}\).

\(x_1 = 0 - \frac{1}{1} = -1\)
\(x_2 = -1 - \frac{(-1)+(-1)+1}{5+1} = -1 - \frac{-1}{6} = -\frac{5}{6}\)

Eksempel: ett steg med halveringsmetoden

For \(f(x)=e^{2x}-2\) på \([0,1]\): \(f(0)=-1<0,\; f(1)>0\). Midtpunktet \(m_0=1/2\) gir \(f(1/2)=e-2>0\), så nullpunktet ligger i \([0,1/2]\). Nytt intervall: \([0,1/2]\), neste midtpunkt \(1/4\).

Studieguide: Newtons metode

Studieguide: Newtons metode