Oversikt

Modellering binder kurset sammen: vi beskriver fenomener med differens- eller differensiallikninger, løser dem, og analyserer oppførselen. To faste eksamensinnslag i Del 2 er induksjonsbevis og løsning av en lineær differenslikning med påfølgende numerisk drøfting.

Induksjon

For å vise at \(P_n\) gjelder for alle \(n\ge n_0\): vis basissteget \(P_{n_0}\), anta \(P_n\) (induksjonshypotesen), og vis \(P_{n+1}\). Typiske påstander er deleligheter, ulikheter og summeformler.

Differenslikninger

En lineær differenslikning \(a x_{n+2}+b x_{n+1}+c x_n = g(n)\) løses analogt med differensiallikninger: finn røttene i den karakteristiske likningen \(ar^2+br+c=0\) for den homogene løsningen \(x_n^h = C r_1^n + D r_2^n\), gjett en partikulær løsning med samme form som \(g(n)\), og bestem \(C,D\) fra initialverdiene \(x_0,x_1\).

Numerisk drøfting

Etter at den eksakte løsningen er funnet, drøfter man hvordan maskinen oppfører seg: hvilke ledd vokser/avtar, om initialverdiene er eksakte, og når avrundingsfeil eller overflow slår inn (se temaet Tallrepresentasjon og feil).

Eksempel: induksjon (delelighet)

Vis at \(n^3+2n\) er delelig med 3 for alle \(n\ge 1\). Basis \(n=1\): \(3\) er delelig med 3. Anta \(P_k\): \(k^3+2k\) delelig med 3. Da: \((k+1)^3+2(k+1) = k^3+2k + 3k^2+3k+3\). Første del er delelig med 3 (hypotese), de andre leddene er åpenbart delelige med 3, så summen er det. Dermed gjelder \(P_{k+1}\).

Eksempel: lineær differenslikning

Løs \(32x_{n+2}-12x_{n+1}+x_n=0\) med \(x_0=2, x_1=3/8\). Karakteristisk likning: \(32r^2-12r+1=0\) gir \(r=\tfrac{12\pm 4}{64}\), altså \(r=1/4\) og \(r=1/8\). Generell løsning \(x_n = C\,4^{-n}+D\,8^{-n}\). Initialverdiene gir \(C+D=2\) og \(C/4+D/8=3/8\), som løses til \(C=1, D=1\). Svar: \(x_n = 4^{-n}+8^{-n}\).

Studieguide: Matematisk modellering

Studieguide: Matematisk modellering