Oversikt

Differensiallikninger er det mest gjennomgående temaet på MAT-INF1100. Både flervalgsdelen og Del 2 inneholder nesten alltid likninger som skal løses eksakt, skrives om til system, eller løses numerisk.

Førsteordens lineær

For \(y'+ay=g(x)\): finn den homogene løsningen \(y_h=Ce^{-ax}\), gjett en partikulær løsning \(y_p\) med samme form som \(g\) (for eksempel \(y_p=(Ax+B)e^{x}\) når \(g=2xe^x\)), bestem konstantene ved innsetting, og fastlegg \(C\) fra initialbetingelsen. Alternativt brukes integrerende faktor \(e^{ax}\).

Separable

Likninger som kan skrives \(g(x)x' = f(t)\) løses ved å integrere begge sider. Eksempel: \(x' = \frac{t^2}{x^2}\) gir \(x^2 x' = t^2\), så \(\tfrac13 x^3 = \tfrac13 t^3 + C\).

Andreordens med konstante koeffisienter

For \(y''+by'+cy=g(x)\): løs den karakteristiske likningen \(r^2+br+c=0\). Tre tilfeller: to reelle røtter (\(y_h=Ce^{r_1 x}+De^{r_2 x}\)), dobbeltrot (\(y_h=(C+Dx)e^{rx}\)), eller komplekse røtter. Viktig: hvis 0 er en rot og \(g\) er et polynom, må du gå opp en grad i gjettet for \(y_p\) (for eksempel \(y_p=Ax^2+Bx\) i stedet for \(Ax+B\)).

Omskriving til system

Sett \(y=x'\). Da blir \(x''=\dots\) til \(y'=\dots\), og man får systemet \(x'=y,\; y'=(\text{resten løst for } x'')\). Vær nøye med fortegn når du flytter ledd over.

Eksempel: førsteordens lineær med initialbetingelse

Løs \(y'-3y=2xe^{x}, \; y(0)=0\). Homogen: \(y_h=Ce^{3x}\). Gjett \(y_p=(Ax+B)e^x\); innsetting gir \(-2A=2\) og \(A-2B=0\), så \(A=-1, B=-1/2\), altså \(y_p=-(x+\tfrac12)e^x\). Generell løsning \(y=-(x+\tfrac12)e^x+Ce^{3x}\). Initialbetingelsen \(y(0)=0\) gir \(-\tfrac12+C=0\), så \(C=\tfrac12\). Svar: \(y(x)=-(x+\tfrac12)e^x+\tfrac12 e^{3x}\).

Eksempel: dobbeltrot

For \(r^2-6r+9=0\) er \(r=3\) dobbeltrot, så \(y_h=(C+Dx)e^{3x}\). Ved \(g(x)=18x+15\) gjettes \(y_p=ax+b\), som gir \(y_p=2x+3\). Initialbetingelser bestemmer \(C\) og \(D\).

Studieguide: Differensiallikninger

Studieguide: Differensiallikninger