God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.
MAT-INF1100 Modellering og beregninger er et grunnleggende emne ved Universitetet i Oslo som kombinerer matematikk og informatikk. Kurset handler om hvordan man bruker datamaskiner til å løse matematiske problemer — fra tallrepresentasjon og avrundingsfeil til numeriske metoder for likninger, integrasjon og differensiallikninger.
Emnet gir deg praktisk erfaring med å implementere numeriske metoder i Python, og en matematisk forståelse av hvorfor metodene fungerer og når de kan svikte. Dette er viktig ballast for videre studier i både matematikk, informatikk og anvendte fag.
Eksamen er skriftlig (4 timer) og tester både teori (definisjoner, feilanalyse, konvergens) og praktiske beregninger (anvende metoder på konkrete problemer). Du bør kunne gjennomføre metoder for hånd og forklare feilkilder.
Tallrepresentasjon:
= flyttallsrepresentasjon av | = maskinepsilon
= grunntall (typisk 2) | = antall siffer i mantissen
Feilmål:
Absolutt feil: | Relativ feil:
= feilen er av orden (proporsjonalt med for liten )
Numeriske metoder:
= steglengde | = iterasjon | = interpolasjonspolynom
= trapesapproksimasjon med delintervaller | = Simpsons regel
Binær representasjon, flyttallssystemet (IEEE 754), maskinepsilon og avrundingsfeil.
Datamaskiner bruker binære tall (grunntall ). Et binært tall har verdien .
Binært til desimalt: summer potenser av 2
Desimalt til binært (heltall): Del gjentatt på 2 og noter restene:
, , ,
Les restene baklengs:
Sjekk: ✓Normalisert flyttall:
der (binære siffer), = antall siffer i mantissen, = eksponent
Dobbel presisjon (64-bit): 1 fortegnsbit + 11 eksponentbiter + 52 mantissebiter
(inkl. ledende 1),
(minste tall slik at )
Avrundingsfeil: Når et reelt tall representeres som flyttall :
Altså er den relative avrundingsfeilen alltid begrenset av halv maskinepsilon.
Kanselleringsfeil: Subtraksjon av nesten like store tall kan føre til dramatisk tap av signifikante siffer.
Eksempel: og (9 signifikante siffer). har bare 1 signifikant siffer!
Løsning: Omskriv uttrykket algebraisk for å unngå subtraksjonen. F.eks.:
Løs (der ).
Nesten lik !
— OK (ingen kanselering)
Addisjon: ingen problem— kanselleringsfeil!
Subtraksjon av nesten like tallLøsning: Bruk (Vietas formler), altså .
Eksamentips: Spørsmål om kanselleringsfeil er svært vanlige. Oppskrift: (1) identifiser subtraksjonen av nesten like tall, (2) omskriv algebraisk (konjugattriks, Vietas formler, Taylor-tilnærming), (3) forklar hvorfor den nye formen er bedre.
Nøkkelformler
Vanlige feil
Eksamenstips
Laster...