MAT-INF1100

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

MAT-INF1100 Modellering og beregninger er et grunnleggende emne ved Universitetet i Oslo som kombinerer matematikk og informatikk. Kurset handler om hvordan man bruker datamaskiner til å løse matematiske problemer — fra tallrepresentasjon og avrundingsfeil til numeriske metoder for likninger, integrasjon og differensiallikninger.

Emnet gir deg praktisk erfaring med å implementere numeriske metoder i Python, og en matematisk forståelse av hvorfor metodene fungerer og når de kan svikte. Dette er viktig ballast for videre studier i både matematikk, informatikk og anvendte fag.

Eksamen er skriftlig (4 timer) og tester både teori (definisjoner, feilanalyse, konvergens) og praktiske beregninger (anvende metoder på konkrete problemer). Du bør kunne gjennomføre metoder for hånd og forklare feilkilder.

Symboloversikt

Tallrepresentasjon:

$\text{fl}(x)$ = flyttallsrepresentasjon av $x$ | $\varepsilon_{\text{mach}}$ = maskinepsilon

$\beta$ = grunntall (typisk 2) | $t$ = antall siffer i mantissen

Feilmål:

Absolutt feil: $|\tilde{x} - x|$ | Relativ feil: $\displaystyle \frac{|\tilde{x} - x|}{|x|}$

$O(h^n)$ = feilen er av orden $h^n$ (proporsjonalt med $h^n$ for liten $h$ )

Numeriske metoder:

$h$ = steglengde | $x_n$ = iterasjon $n$ | $p_n(x)$ = interpolasjonspolynom

$T_n$ = trapesapproksimasjon med $n$ delintervaller | $S_n$ = Simpsons regel

Tallrepresentasjon og avrundingsfeil

Binær representasjon, flyttallssystemet (IEEE 754), maskinepsilon og avrundingsfeil.

Tallsystemer

Datamaskiner bruker binære tall (grunntall $\beta = 2$ ). Et binært tall $d_n d_{n-1} \ldots d_1 d_0$ har verdien $\displaystyle \sum_{i=0}^n d_i \cdot 2^i$ .

Eksempel: Konvertering mellom binært og desimalt

$(1011)_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$

Binært til desimalt: summer potenser av 2

Desimalt til binært (heltall): Del gjentatt på 2 og noter restene:

$13 = 6 \cdot 2 + 1$ , $6 = 3 \cdot 2 + 0$ , $3 = 1 \cdot 2 + 1$ , $1 = 0 \cdot 2 + 1$

Les restene baklengs: $(13)_{10} = (1101)_2$

Sjekk:

8 + 4 + 0 + 1 = 13

✓

Flyttallssystemet (IEEE 754)

Normalisert flyttall: $x = \pm 1.d_1 d_2 \ldots d_{t-1} \times 2^e$

der $d_i \in \{0, 1\}$ (binære siffer), $t$ = antall siffer i mantissen, $e$ = eksponent

Dobbel presisjon (64-bit): 1 fortegnsbit + 11 eksponentbiter + 52 mantissebiter

$t = 53$ (inkl. ledende 1), $e \in [-1022, 1023]$

$\varepsilon_{\text{mach}} = 2^{-52} \approx 2.2 \times 10^{-16}$ (minste tall slik at $\text{fl}(1 + \varepsilon) > 1$ )

Avrundingsfeil: Når et reelt tall $x$ representeres som flyttall $\text{fl}(x)$ :

$\displaystyle \frac{|\text{fl}(x) - x|}{|x|} \leq \frac{1}{2}\varepsilon_{\text{mach}}$

Altså er den relative avrundingsfeilen alltid begrenset av halv maskinepsilon.

Feilforsterkning (kanselleringsfeil)

Kanselleringsfeil: Subtraksjon av nesten like store tall kan føre til dramatisk tap av signifikante siffer.

Eksempel: $a = 1.23456789$ og $b = 1.23456780$ (9 signifikante siffer). $a - b = 0.00000009$ har bare 1 signifikant siffer!

Løsning: Omskriv uttrykket algebraisk for å unngå subtraksjonen. F.eks.:

$\displaystyle \sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

Eksempel: Unngå kanselleringsfeil i abc-formelen

Løs $x^2 - 10^6 x + 1 = 0$ (der $b^2 \gg 4ac$ ).

$\displaystyle x = \frac{10^6 \pm \sqrt{10^{12} - 4}}{2}$

$\sqrt{10^{12} - 4} \approx 999999.999998$

Nesten lik

10^6

$\displaystyle x_1 = \frac{10^6 + 999999.999998}{2} \approx 999999.999999$ — OK (ingen kanselering)

Addisjon: ingen problem

$\displaystyle x_2 = \frac{10^6 - 999999.999998}{2} \approx 0.000001$ — kanselleringsfeil!

Subtraksjon av nesten like tall

Løsning: Bruk $x_1 \cdot x_2 = c/a = 1$ (Vietas formler), altså $x_2 = 1/x_1$ .

Eksamentips: Spørsmål om kanselleringsfeil er svært vanlige. Oppskrift: (1) identifiser subtraksjonen av nesten like tall, (2) omskriv algebraisk (konjugattriks, Vietas formler, Taylor-tilnærming), (3) forklar hvorfor den nye formen er bedre.

Nøkkelformler

•Binært: $(d_n \ldots d_0)_2 = \sum d_i \cdot 2^i$
•Relativ avrundingsfeil: $\displaystyle \leq \frac{1}{2}\varepsilon_{\text{mach}}$
•Maskinepsilon (dobbel presisjon): $\varepsilon_{\text{mach}} = 2^{-52} \approx 2.2 \times 10^{-16}$
•Konjugattriks: $\displaystyle \sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Vanlige feil

⚠️Glemmer at datamaskiner bruker binær (ikke desimal) representasjon
⚠️Forveksler absolutt og relativ feil — relativ feil er vanligvis mer informativ
⚠️Overser kanselleringsfeil i uttrykk med subtraksjon av nesten like tall

Eksamenstips

💡Vis at du forstår HVORFOR kanselleringsfeil oppstår, ikke bare at de gjør det
💡Øv på omskriving av uttrykk for å unngå kanselleringsfeil — konjugattriks er favorittverktøyet
💡Husk formelen for konvertering mellom binært og desimalt

Laster...