Oversikt

Stokastisk simulering bruker tilfeldige tall for a estimere resultater som er vanskelige a beregne analytisk. I IN1900 laerer du Monte Carlo-metoden, random walks og enkel statistikk. Temaet er ikke pa alle eksamener, men nar det dukker opp er det typisk 4-6 poeng. Grunnideen er enkel: kjor et eksperiment mange ganger med tilfeldige verdier, og bruk gjennomsnittet (eller andelen treff) som estimat.

Stokastisk simulering er spesielt nyttig nar det analytiske svaret er vanskelig a utlede, for eksempel for a estimere pi, beregne integraler i mange dimensjoner, eller simulere komplekse fysiske systemer. I IN1900 fokuserer vi pa de enkleste anvendelsene: terningkast, Monte Carlo-integrasjon og random walks.

Tilfeldige tall med random-modulen

import random

random.random()          # Uniform [0, 1)
random.randint(1, 6)     # Heltall mellom 1 og 6 (inkl. begge)
random.choice(['a','b']) # Velg tilfeldig element
random.uniform(a, b)     # Uniform [a, b]

Med NumPy:

import numpy as np

np.random.random(1000)       # 1000 uniform [0,1) verdier
np.random.randint(1, 7, 1000) # 1000 terningkast
np.random.normal(0, 1, 1000) # 1000 normalfordelte verdier

Monte Carlo-integrasjon

Estimer \(\int_a^b f(x)\,dx\) ved a sample tilfeldige punkter:

def monte_carlo(f, a, b, N):
    x = np.random.uniform(a, b, N)
    return (b - a) * np.mean(f(x))

Monte Carlo for estimering av pi

Kast N tilfeldige punkter i kvadratet [0,1] x [0,1]. Tell hvor mange som lander innenfor kvartsirkelen x^2 + y^2 <= 1:

def estimate_pi(N):
    x = np.random.random(N)
    y = np.random.random(N)
    inside = np.sum(x**2 + y**2 <= 1)
    return 4 * inside / N

Random walk

def random_walk_2d(N):
    x, y = 0, 0
    positions = [(x, y)]
    for _ in range(N):
        dx, dy = random.choice([(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)])
        x += dx
        y += dy
        positions.append((x, y))
    return positions

Eksempel 1: Monte Carlo-integrasjon

import numpy as np

def monte_carlo_integrate(f, a, b, N=100000):
    x = np.random.uniform(a, b, N)
    integral = (b - a) * np.mean(f(x))
    return integral

# Estimer integral av sin(x) fra 0 til pi (eksakt = 2)
result = monte_carlo_integrate(np.sin, 0, np.pi)
print(f'Estimat: {result:.4f}, eksakt: 2.0000')

Eksempel 2: Simuler terningkast

import numpy as np

def simulate_dice(N, target_sum=7):
    """Estimer sannsynligheten for at summen
    av to terninger er lik target_sum."""
    die1 = np.random.randint(1, 7, N)
    die2 = np.random.randint(1, 7, N)
    hits = np.sum(die1 + die2 == target_sum)
    return hits / N

print(f'P(sum=7) = {simulate_dice(100000):.4f}')
# Forventet: 6/36 = 0.1667

Studieguide: Stokastisk simulering