FYS2140 · UiO

Studieguide for FYS2140 Kvantefysikk

Komplett pensumoversikt for kvantefysikk ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

FYS2140 Kvantefysikk avsluttes med en skriftlig skoleeksamen på 4 timer som teller 100 % (midtveis-hjemmeeksamenen på 20 % fantes til og med 2024, men er borte). Tillatte hjelpemidler er godkjent kalkulator, Rottmanns matematiske formelsamling, «Fysiske størrelser og enheter» og ett A4-ark med egne notater (begge sider). Denne guiden er bygd på 17 eksamenssett 2015–2025 med UiOs løsningsforslag og sensorveiledninger, der hver deloppgave er klassifisert. Tallene «i n av 12» gjelder de tolv ordinære og utsatte eksamenene 2018–2025.

Settene fra 2022–2025 har 3–6 oppgaver med 2–8 deloppgaver hver, og en nesten fast rekkefølge: (1) et eksperiment som brøt med klassisk fysikk (Compton, fotoelektrisk effekt, Bragg/de Broglie, Franck–Hertz, Stern–Gerlach), (2) et endimensjonalt system (brønn eller harmonisk oscillator) med normering, forventningsverdier og uskarphet, (3) hydrogenatomet med kvantetall, superposisjon og målesannsynligheter, radialdel eller et tilleggsledd i Hamilton-operatoren, og (4) spinn og identiske partikler (singlett/triplett, symmetri, helium og H₂, elektronkonfigurasjon). Superposisjon og måling er den største regnetypen (i 10 av 12 eksamener), fulgt av hydrogenatomet (10 av 12) og eksperimentene (9 av 12).

En tredjedel av deloppgavene er «forklar kort»: begrepsforklaringer på noen setninger. Sensorveiledningene sier at forklaringer og begrunnelser teller i poengsettingen, og at en påbegynt deloppgave gir delpoeng. Hver seksjon har derfor både gjennomregnede eksempler og modellsvar på forklar-spørsmålene.

Bølge-partikkel-dualitet

Eksamensrelevant

Compton-spredning, fotoelektrisk effekt, de Broglie-bølgelengde og Bragg-refleksjon. Primærtema i 9 av 12 eksamener 2018–2025 og i alle seks 2022–2025, nesten alltid oppgave 1.

Hva eksamen spør om

Bølge-partikkel-dualiteten er primærtema i 9 av 12 eksamener 2018–2025 og i alle seks settene 2022–2025, og står nesten alltid som oppgave 1. Den teller rundt en sjettedel av poengene (16,6 % i snitt). Oppgavetypene:

Compton-spredning (4 av 12: H2019, V2022, H2024, V2025): tegn oppstillingen med innkommende og spredt foton og rekylelektron, skriv forutsetningene og konserveringslovene, regn $\Delta\lambda$ , og forklar hvorfor en del av strålingen kommer ut med uendret bølgelengde.
Forklar et nøkkeleksperiment (3 av 12: V2018, V2023, konte 2023): fotoelektrisk effekt (hvilke observasjoner bølgeteorien ikke forklarer, og Einsteins forklaring) eller Franck–Hertz. Ren tekst, gjerne med figur.
de Broglie-bølgelengde og Bragg-refleksjon (2 av 12 hver: H2018, V2024): relativistisk eller ikke-relativistisk $\lambda$ , utled $2d\sin\theta=n\lambda$ , sammenlign målt og beregnet bølgelengde.
Fotonets energi og bevegelsesmengde fra $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ (2 av 12: H2019, H2024), i eV og eV/c.

Tallsvar gis i eV, nm eller pm. Settene oppgir ofte $hc=1240$ eV·nm; lær deg også $\hbar c=197{,}3$ eV·nm og $m_ec^2=0{,}511$ MeV.

Slik gjør du det

Compton-spredning

Tegn fotonet inn mot et elektron i ro, det spredte fotonet under vinkelen $\theta$ og elektronet som rekylerer på den andre siden. Sett på $\vec p_\gamma$ , $\vec p_\gamma\,'$ og $\vec p_e$ .
Forutsetningene: elektronet er fritt og i ro, fotonet er en partikkel med $E=hc/\lambda$ og $p=h/\lambda$ , og elektronet behandles relativistisk.
Konserveringslovene: energi $E_\gamma+m_ec^2=E_\gamma'+E_e$ og bevegelsesmengde $\vec p_\gamma=\vec p_\gamma\,'+\vec p_e$ . Resultatet er $\Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos\theta)$ med $\lambda_C=h/(m_ec)=2{,}426$ pm.
Regn i pm eller nm hele veien, og finn energiene med $E=hc/\lambda$ .

Eksempel 1. Et røntgenfoton med energi 50,0 keV spres mot et fritt elektron i ro og kommer ut under $\theta=120^\circ$ . Finn bølgelengden før og etter, fotonets nye energi og elektronets kinetiske energi.

Innkommende bølgelengde: $\lambda=\dfrac{hc}{E}=\dfrac{1240\ \text{eV nm}}{50\,000\ \text{eV}}=0{,}0248\ \text{nm}=24{,}80\ \text{pm}$ .
Forskyvning: $\Delta\lambda=2{,}426\ \text{pm}\,(1-\cos 120^\circ)=2{,}426\cdot1{,}5=3{,}64\ \text{pm}$ .
Ny bølgelengde: $\lambda'=24{,}80+3{,}64=28{,}44\ \text{pm}$ , og $E'=\dfrac{1240\ \text{eV nm}}{0{,}02844\ \text{nm}}=43{,}6\ \text{keV}$ .
Energibevaring gir elektronets kinetiske energi: $K_e=E-E'=50{,}0-43{,}6=6{,}4\ \text{keV}$ .

Svar: $\lambda=24{,}8$ pm, $\lambda'=28{,}4$ pm, $E'=43{,}6$ keV og $K_e=6{,}4$ keV.

Comptonforskyvningen Δλ = λ_C(1 − cos θ) som funksjon av spredningsvinkelen: null ved 0°, 2,43 pm ved 90° og største verdi 4,85 pm ved 180°.

Figuren viser at forskyvningen bare avhenger av vinkelen, ikke av bølgelengden. Derfor merkes effekten for røntgenstråling ( $\lambda$ noen titalls pm), men ikke for synlig lys ( $\lambda\sim500$ nm), der 2–5 pm er en forsvinnende liten andel.

Toppen med uendret bølgelengde. Et foton kan også spres mot et elektron som er hardt bundet i atomet. Da tar hele atomet opp rekylen. I formelen byttes $m_e$ med atomets masse, som er flere tusen ganger større, og $\Delta\lambda\approx0$ .

Fotoelektrisk effekt

Tre observasjoner bølgeteorien ikke forklarer: (i) under en grensefrekvens $f_0$ kommer ingen elektroner ut, uansett intensitet; (ii) den største kinetiske energien øker lineært med frekvensen og avhenger ikke av intensiteten; (iii) elektronene kommer ut uten målbar forsinkelse, også ved svakt lys.
Einsteins forklaring: lyset består av fotoner med energi $hf$ . Ett foton gir all energien sin til ett elektron, og $K_{\max}=hf-W$ , der $W$ er arbeidsfunksjonen. Intensiteten bestemmer antall fotoner og dermed strømmen, ikke energien per elektron.
Stoppespenningen $V_0$ måler $K_{\max}$ : $eV_0=K_{\max}$ . Stigningstallet til $V_0(f)$ er $h/e$ .

Eksempel 2. En metallflate har arbeidsfunksjon $W=2{,}30$ eV og belyses med lys med bølgelengde 300 nm. Finn fotonenergien, $K_{\max}$ , stoppespenningen og den lengste bølgelengden som gir fotoelektroner.

$E_f=\dfrac{1240\ \text{eV nm}}{300\ \text{nm}}=4{,}13\ \text{eV}$ .
$K_{\max}=E_f-W=4{,}13-2{,}30=1{,}83\ \text{eV}$ , så stoppespenningen er $V_0=1{,}83$ V.
Grensen er $hc/\lambda_0=W$ , altså $\lambda_0=\dfrac{1240}{2{,}30}\ \text{nm}=539\ \text{nm}$ . Grensefrekvensen er $f_0=W/h=5{,}56\cdot10^{14}$ Hz.

Svar: 4,13 eV, 1,83 eV, 1,83 V og 539 nm.

Rett linje K_max = hf − W for W = 2,30 eV: linjen krysser frekvensaksen i f₀ = 5,56·10¹⁴ Hz, den stiplede forlengelsen treffer K-aksen i −2,30 eV, og lys med 300 nm gir 1,83 eV.

Linjen i figuren har stigningstall $h$ for alle metaller. Bare skjæringspunktet med frekvensaksen, og dermed $W$ , avhenger av metallet.

de Broglie-bølgelengde, relativistisk og ikke-relativistisk

Alltid: $\lambda=h/p$ . Finn $p$ fra den kinetiske energien.
Ikke-relativistisk ( $K\ll mc^2$ ): $p=\sqrt{2mK}$ , så $\lambda=\dfrac{hc}{\sqrt{2\,mc^2\,K}}$ .
Relativistisk: fra $E=K+mc^2$ og $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ får du $pc=\sqrt{K^2+2Kmc^2}$ og $\lambda=\dfrac{hc}{\sqrt{K^2+2Kmc^2}}$ .

Eksempel 3. Elektroner med kinetisk energi 200 eV treffer en krystall med avstand $d=0{,}180$ nm mellom gitterplanene. (a) Begrunn at du kan regne ikke-relativistisk, og finn $\lambda$ . (b) Hvor mange refleksjonsordener får du, og under hvilke vinkler $\theta$ (målt fra planene)?

(a) $K/m_ec^2=200/511\,000=3{,}9\cdot10^{-4}\ll1$ , så den ikke-relativistiske formelen holder.
$\lambda=\dfrac{1240\ \text{eV nm}}{\sqrt{2\cdot511\,000\ \text{eV}\cdot200\ \text{eV}}}=\dfrac{1240}{14\,297}\ \text{nm}=0{,}0867\ \text{nm}$ .
(b) Bragg: $\sin\theta_n=\dfrac{n\lambda}{2d}=n\cdot0{,}241$ . Det krever $n\cdot0{,}241\le1$ , altså $n\le4$ .
Vinklene: $\theta_1=13{,}9^\circ$ , $\theta_2=28{,}8^\circ$ , $\theta_3=46{,}3^\circ$ , $\theta_4=74{,}5^\circ$ .

Svar: $\lambda=0{,}0867$ nm; fire ordener, ved $13{,}9^\circ$ , $28{,}8^\circ$ , $46{,}3^\circ$ og $74{,}5^\circ$ .

Kontroll: ved 150 keV gir den ikke-relativistiske formelen 3,17 pm, mens den relativistiske gir 2,96 pm, altså 7 % avvik. Ved 150 eV er avviket 0,01 %.

Utledning av Bragg-betingelsen (forklar-oppgaven)

Bølgen reflekteres fra parallelle gitterplan med avstand $d$ , med samme vinkel $\theta$ inn og ut målt fra planene.
Strålen fra det nederste planet går en ekstra vei $d\sin\theta$ ned og $d\sin\theta$ opp, altså $2d\sin\theta$ .
Konstruktiv interferens krever at veiforskjellen er et helt antall bølgelengder: $2d\sin\theta=n\lambda$ .

For å få full uttelling må du skrive ordene «veiforskjell» og «konstruktiv interferens» og ha med tegningen.

Her går det galt

Å bruke $\lambda=h/\sqrt{2mK}$ når $K$ ikke er liten sammenlignet med $mc^2$ . Sjekk forholdet $K/mc^2$ først, og skriv sjekken i besvarelsen.
Å bruke $p=h/\lambda$ og $E=hc/\lambda$ om hverandre for elektroner. $E=hc/\lambda$ gjelder bare masseløse partikler.
Å si at intensiteten bestemmer elektronenes energi i fotoelektrisk effekt. Den bestemmer antallet.
Å måle Bragg-vinkelen fra normalen. I $2d\sin\theta=n\lambda$ er $\theta$ vinkelen mot gitterplanet.
Å glemme at Compton-formelen forutsetter et fritt elektron i ro. Når oppgaven spør om toppen med $\Delta\lambda\approx0$ , er det nettopp denne forutsetningen som svikter.

Nøkkelformler

•Foton: $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$ , $p=\dfrac{h}{\lambda}=\dfrac{E}{c}$ , $hc=1240$ eV·nm
•Compton: $\Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos\theta)$ , $\lambda_C=\dfrac{h}{m_ec}=2{,}426$ pm
•Fotoelektrisk: $K_{\max}=hf-W=eV_0$
•de Broglie: $\lambda=\dfrac{h}{p}$ , ikke-relativistisk $p=\sqrt{2mK}$ , relativistisk $pc=\sqrt{K^2+2Kmc^2}$
•Bragg: $2d\sin\theta=n\lambda$ , $\theta$ målt fra gitterplanet
•Relativistisk energi: $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ , $E=K+mc^2$

Vanlige feil

⚠️Å bruke den ikke-relativistiske $\lambda=h/\sqrt{2mK}$ når $K$ ikke er liten sammenlignet med $mc^2$ .
⚠️Å bruke $E=hc/\lambda$ for elektroner. Den gjelder bare fotoner.
⚠️Å si at lysintensiteten bestemmer fotoelektronenes energi. Den bestemmer antallet.
⚠️Å måle Bragg-vinkelen fra normalen i stedet for fra gitterplanet.
⚠️Å glemme forutsetningen om fritt elektron i ro når toppen med uendret bølgelengde skal forklares.

Eksamenstips

💡Oppgave 1 er nesten alltid et eksperiment. Tegn oppstillingen selv om det ikke står eksplisitt, og sett navn på alle størrelser.
💡Skriv forutsetninger og konserveringslover som egne punkter. Settene spør etter dem, og uten utledning.
💡Regn i eV, nm og pm med $hc=1240$ eV·nm. Da slipper du SI-konstanter og feil i tierpotensene.
💡I forklar-oppgaver: svar med 3–5 presise setninger, og knytt hver observasjon til hva den viser (partikkel eller bølge).

Laster...

Laster…