Hva temaet handler om

Nå settes ladningene i bevegelse, og spørsmålet blir hvor mye ladning som passerer en flate per sekund, og hvilket felt som må til for å drive den. Dette er det mest eksamensnære temaet i FYS1120: en variant dukker opp i 32 av 34 arkiverte sett, nesten alltid symbolsk, med én ferdighet i sentrum — å gå fra en geometrisk symmetri til et uttrykk for resistansen.

Strømtetthet, strøm og driftshastighet

Strømtettheten \(\vec{J}\) har enhet A/m\(^2\) og peker der positiv ladning beveger seg. Strømmen gjennom en flate \(S\) er

\[ I = \int_S \vec{J}\cdot d\vec{S}, \]

der skalarproduktet gjør at bare komponenten normalt på flaten bidrar. I et ohmsk materiale er

\[ \vec{J} = \sigma\vec{E}, \qquad \sigma = \frac{1}{\rho}, \]

der \(\sigma\) er konduktiviteten (S/m) og \(\rho\) resistiviteten (\(\Omega\)m). Dette er den lokale Ohms lov. Mikroskopisk er

\[ \vec{J} = nq\vec{v}, \]

med \(n\) ladningsbærere per volum, ladning \(q\) og driftshastighet \(\vec{v}\). Driftshastigheten er forbløffende liten: i en kopperleder med tverrsnitt \(1{,}0\) mm\(^2\) og strøm \(1{,}0\) A er \(J = 1{,}0\times 10^{6}\) A/m\(^2\), og med \(n = 8{,}5\times 10^{28}\) bærere per m\(^3\) blir \(v \approx 7{,}4\times 10^{-5}\) m/s.

Kontinuitetslikningen

Ladning kan verken skapes eller forsvinne, så

\[ \nabla\cdot\vec{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}, \qquad \oint_S \vec{J}\cdot d\vec{S} = -\frac{dQ_{\text{inne}}}{dt}. \]

I stasjonær tilstand er \(\nabla\cdot\vec{J} = 0\). Det garanterer at strømmen er den samme gjennom alle tverrsnitt av en motstand, uansett hvor mye tverrsnittet varierer — derfor kan du bruke \(J = I/A\) med samme \(I\) hele veien.

Oppskriften for å finne resistansen fra geometrien

Denne rekkefølgen løser praktisk talt alle resistansoppgavene på eksamen:

Anta en strøm \(I\) inn den ene elektroden og ut den andre.
Finn \(\vec{J}\) fra geometrien: velg flaten strømmen må passere, og sett \(J = I/A\). Arealet \(A\) kan godt variere med posisjonen.
Finn feltet: \(\vec{E} = \vec{J}/\sigma\).
Integrer langs en strømlinje: \(V = \int \vec{E}\cdot d\vec{l}\).
Del: \(R = V/I\). Strømmen faller ut, og igjen står geometri og \(\sigma\).

Enkleste tilfelle er en sylinder med tverrsnitt \(A\), lengde \(L\) og strøm langs aksen: \(J = I/A\) og \(E = I/(\sigma A)\) er konstante, \(V = EL\), og \(R = \rho L/A\). Alt annet er varianter der tverrsnittet forandrer seg underveis.

Eksempel 1: sylinderskall med radiell strøm

Oppgave: Et hult sylinderskall med konduktivitet \(\sigma\) har indre radius \(a\), ytre radius \(b\) og lengde \(L\). Inner- og ytterflaten er ideelt ledende elektroder, og vi sender strømmen \(I\) radielt utover. Vis at \(R = \frac{1}{2\pi\sigma L}\ln\frac{b}{a}\).

Løsning: All strømmen må passere sylinderflaten med radius \(r\), for \(a \lt r \lt b\). Den har areal \(2\pi r L\), og av symmetrigrunner er \(\vec{J}\) radiell og like stor overalt på den:

\[ \vec{J}(r) = \frac{I}{2\pi r L}\hat{r}, \qquad \vec{E}(r) = \frac{I}{2\pi\sigma r L}\hat{r}. \]

Strømlinjene er radielle, så vi integrerer feltet fra \(a\) til \(b\):

\[ V = \int_a^b E(r)\,dr = \frac{I}{2\pi\sigma L}\int_a^b \frac{dr}{r} = \frac{I}{2\pi\sigma L}\ln\frac{b}{a} \;\Rightarrow\; R = \frac{1}{2\pi\sigma L}\ln\frac{b}{a}. \]

Kontroll: Med \(dv = 2\pi r L\,dr\) blir \(P_J = \int \frac{J^2}{\sigma}dv = \int_a^b \frac{I^2}{\sigma(2\pi r L)^2}2\pi r L\,dr = \frac{I^2}{2\pi\sigma L}\ln\frac{b}{a} = I^2R\), som det skal.

Lagdelte motstander: serie eller parallell?

Samme strøm gjennom hvert lag (lagene ligger etter hverandre langs strømretningen) gir serie: \(R = R_1 + R_2\).
Samme spenning over hvert lag (lagene ligger side om side, hvert med egen strømbane) gir parallell: \(1/R = 1/R_1 + 1/R_2\).

Eksempel 2: to materialer i samme motstand

Oppgave: En sylinder med radius \(a\) og lengde \(L\) bygges av materialer med konduktivitet \(\sigma_1\) og \(\sigma_2\), med strømmen langs aksen. Finn \(R\) (i) når første halvdel av lengden er materiale 1 og andre halvdel materiale 2, og (ii) når materiale 1 fyller kjernen \(r \lt a/2\) og materiale 2 skallet \(a/2 \lt r \lt a\) i hele lengden.

Løsning: (i) All strømmen går gjennom begge delene, så de står i serie, hver med lengde \(L/2\) og tverrsnitt \(\pi a^2\):

\[ R = \frac{L/2}{\sigma_1 \pi a^2} + \frac{L/2}{\sigma_2 \pi a^2} = \frac{L}{2\pi a^2}\left(\frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2}\right). \]

(ii) Nå har begge materialene de samme to endeflatene som elektroder, så spenningen er felles og delene står i parallell. Kjernen har tverrsnitt \(\pi a^2/4\), skallet \(3\pi a^2/4\):

\[ \frac{1}{R} = \frac{\sigma_1 \pi a^2/4}{L} + \frac{\sigma_2\, 3\pi a^2/4}{L} \;\Rightarrow\; R = \frac{4L}{\pi a^2(\sigma_1 + 3\sigma_2)}. \]

Kontroll: Med \(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma\) gir begge svarene \(R = L/(\sigma\pi a^2)\), altså den homogene sylinderen.

Skalering og ikke-uniformt tverrsnitt

En kube med sidekant \(a\), med strøm inn den ene sideflaten og ut den motsatte, har lengde \(a\) og tverrsnitt \(a^2\):

\[ R = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho a}{a^2} = \frac{\rho}{a}. \]

Resistansen går altså som \(1/a\), ikke som \(1/a^2\): dobler du alle målene, halveres \(R\), fordi både lengden og tverrsnittet vokser. Varierer tverrsnittet, er \(J = I/A\) størst der \(A\) er minst, og siden \(E = J/\sigma\) er feltet størst i det trangeste snittet — det er der en overbelastet motstand brenner av. Resistansen får du ved å legge tynne skiver i serie: \(R = \int \frac{dx}{\sigma A(x)}\).

Eksempel 3: spiss motstand (avkuttet kjegle)

Oppgave: En motstand med konduktivitet \(\sigma\) og lengde \(L\) har sirkulært tverrsnitt der radien vokser lineært fra \(a\) ved \(x = 0\) til \(b\) ved \(x = L\). Endeflatene er ideelle elektroder, strømmen \(I\) går langs \(x\)-aksen, og \(\vec{J}\) er tilnærmet uniform over hvert tverrsnitt. Vis at \(R = \frac{L}{\pi\sigma a b}\), og avgjør hvor feltet er størst.

Løsning: Radien er \(r(x) = a + kx\) med \(k = (b-a)/L\), og \(A(x) = \pi r(x)^2\). Skivene står i serie:

\[ R = \int_0^L \frac{dx}{\sigma\pi (a+kx)^2} = \frac{1}{\sigma\pi k}\left[\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right] = \frac{L}{\sigma\pi (b-a)}\cdot\frac{b-a}{ab} = \frac{L}{\pi\sigma a b}. \]

Feltet \(E(x) = I/(\sigma\pi r(x)^2)\) er størst der radien er minst, altså i den spisse enden \(x = 0\).

Kontroll: For \(b = a\) blir \(R = L/(\pi\sigma a^2)\), den rette sylinderen. Uttrykket er dessuten symmetrisk i \(a\) og \(b\), slik det må være, siden resistansen ikke kan avhenge av hvilken vei strømmen går.

Effekt

Arbeidet feltet gjør på ladningsbærerne blir varme, med effekttetthet \(\vec{J}\cdot\vec{E}\):

\[ P_J = \int \vec{J}\cdot\vec{E}\,dv = \int \frac{J^2}{\sigma}\,dv = I^2R = \frac{V^2}{R} = VI. \]

Ideelle ledere, ekvipotensialflater og feltlinjer

En ideell leder har \(\sigma\to\infty\). Skal \(\vec{J} = \sigma\vec{E}\) være endelig, må \(\vec{E} = 0\) inne i den, og hele lederen er én ekvipotensialflate. Derfor kan ledningene tegnes som rene forbindelser med hele spenningsforskjellen lagt på motstandene, og derfor står \(\vec{E}\) normalt på elektrodene i hver ende av en motstand.

Inne i en ikke-ideell leder som fører strøm, er \(\vec{E}\ne 0\) og peker langs strømlinjene. Mot et isolerende medium slipper ingen strøm ut, så \(\vec{J}\cdot\hat{n} = 0\) og feltlinjene følger overflaten. Skal strømmen svinge rundt en knekk, trengs et felt på tvers, og det kommer fra en flateladning som bygges opp på sidene. Skisserer du dette, tegn feltlinjene parallelt med overflaten inne i lederen, tettere der tverrsnittet er trangt, og marker overflateladning med motsatt fortegn på hver side av knekken.

Studieguide: Strøm, resistans og konduktivitet