De fire likningene: navn, innhold og form

Maxwells likninger er hele FYS1120 samlet på fire linjer. Du får dem på formelarket, men må selv kunne navnet, den fysiske betydningen og overgangen mellom differensial- og integralform. Alle tre er spurt om ordrett på tidligere eksamener.

Gauss' lov: \(\nabla\cdot\vec{D} = \rho\), altså \(\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S} = Q_{\mathrm{fri}}\). Feltlinjene starter og slutter på fri ladning.
Gauss' lov for magnetisme: \(\nabla\cdot\vec{B} = 0\), altså \(\oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S} = 0\). Monopoler finnes ikke, så \(\vec{B}\)-linjene må lukke seg.
Faradays induksjonslov: \(\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\), altså \(\oint_C\vec{E}\cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}\). Et magnetfelt i endring virvler opp et elektrisk felt.
Ampère–Maxwell: \(\nabla\times\vec{H} = \vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\), altså \(\oint_C\vec{H}\cdot d\vec{l} = \int_S(\vec{J}+\partial\vec{D}/\partial t)\cdot d\vec{S}\). Både strøm og et \(\vec{D}\)-felt i endring virvler opp et magnetfelt.

I vakuum er \(\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}\) og \(\vec{H} = \vec{B}/\mu_0\); i materie \(\vec{D} = \varepsilon\vec{E}\) og \(\vec{B} = \mu\vec{H}\). Hensikten med \(\vec{D}\) og \(\vec{H}\) er at kildene deres er de frie ladningene og strømmene, så du slipper å føre regnskap over de bundne.

Fra differensialform til integralform

Verktøyet er to teoremer, og begge står i Rottman:

\[\int_v \nabla\cdot\vec{A}\,dv = \oint_S \vec{A}\cdot d\vec{S} \quad \text{(divergensteoremet)}, \qquad \int_S (\nabla\times\vec{A})\cdot d\vec{S} = \oint_C \vec{A}\cdot d\vec{l} \quad \text{(Stokes)}.\]

Regelen er lett å huske: divergensuttrykk integreres over et volum, curl-uttrykk over en flate. Likning 1 og 2 gir lukkede flateintegraler rundt et volum, likning 3 og 4 gir linjeintegraler rundt en flate.

Eksempel 1: vis at \(\nabla\cdot\vec{D} = \rho\) kan skrives på integralform

Loven heter Gauss' lov, her i formen som også gjelder i dielektriske materialer. Utledningen er tre linjer, og sensuren gir poeng for hver:

Integrer begge sider over et vilkårlig volum \(v\) avgrenset av den lukkede flaten \(S\): \(\int_v \nabla\cdot\vec{D}\,dv = \int_v \rho\,dv\).
Bruk divergensteoremet på venstresiden: \(\oint_S \vec{D}\cdot d\vec{S} = \int_v \rho\,dv\).
Kjenn igjen høyresiden: \(\int_v\rho\,dv = Q_{\mathrm{fri}}\), all fri ladning innenfor \(S\).

Argumentet holder fordi differensialformen gjelder punktvis, og siden volumet er vilkårlig, er formene likeverdige. Skriv nettopp den setningen — der ligger forståelsespoenget. Samme oppskrift med Stokes gir integralformene av Faradays lov og Ampère–Maxwell.

Forskyvningsstrøm og kontinuitetslikningen

Leddet \(\partial\vec{D}/\partial t\) heter forskyvningsstrømtettheten. Uten det ville teorien være selvmotsigende, og det ser du med to linjer algebra. Divergensen av en curl er null, så

\[0 = \nabla\cdot(\nabla\times\vec{H}) = \nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial}{\partial t}\big(\nabla\cdot\vec{D}\big) = \nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}.\]

Resultatet er kontinuitetslikningen: ladning forsvinner ikke, den strømmer. Forskyvningsstrømmen lukker også kretsen gjennom en kondensator — mellom platene er \(\vec{J} = 0\), men \(\partial\vec{D}/\partial t\) er nøyaktig så stor at Ampère-integralet gir samme svar uansett hvilken flate du velger.

Vektorkalkulusen du må ha på fingrene

Kartesisk er \(\nabla\cdot\vec{A} = \partial_xA_x+\partial_yA_y+\partial_zA_z\) og \(\nabla^2V = \partial_x^2V+\partial_y^2V+\partial_z^2V\); curlen skriver du raskest som en determinant. I sylinderkoordinater \((\rho,\varphi,z)\) og kulekoordinater \((r,\theta,\varphi)\) blir divergensen

\[\nabla\cdot\vec{A} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho A_\rho)}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_\varphi}{\partial\varphi}+\frac{\partial A_z}{\partial z}, \qquad \nabla\cdot\vec{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2A_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(A_\theta\sin\theta)}{\partial\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial\varphi}.\]

Faktorene \(\rho\) og \(r^2\) inne i derivasjonen er det studentene oftest mister. Slå uttrykkene opp i formelsamlingen — det sparer både tid og fortegnsfeil.

Med \(\vec{D} = \varepsilon\vec{E}\) og \(\vec{E} = -\nabla V\) i Gauss' lov får du Poissons likning \(\nabla^2V = -\rho/\varepsilon\), og uten fri ladning Laplace-likningen \(\nabla^2V = 0\). Disse to er broen mellom potensialet og kildene, og utgangspunktet for numerikken i emnet.

Eksempel 2: finn ladningstettheten fra et gitt potensial

I et område med permittivitet \(\varepsilon\) er \(V(x,y) = V_0\frac{x^2+2y^2}{a^2}\). Vi ønsker \(\vec{E}\) og \(\rho\):

\[\vec{E} = -\nabla V = -\frac{2V_0x}{a^2}\hat{x}-\frac{4V_0y}{a^2}\hat{y}, \qquad \nabla^2V = \frac{2V_0}{a^2}+\frac{4V_0}{a^2} = \frac{6V_0}{a^2},\]

og Poissons likning gir \(\rho = -\varepsilon\nabla^2V = -\dfrac{6\varepsilon V_0}{a^2}\), altså konstant og negativ i hele området.

Kontroll: direkte fra \(\nabla\cdot\vec{D} = \rho\) blir \(\nabla\cdot\vec{D} = -\varepsilon(2V_0/a^2+4V_0/a^2) = -6\varepsilon V_0/a^2\). Samme svar.

Eksempel 3: hvilket felt kan ikke være et magnetfelt?

Testen er alltid \(\nabla\cdot\vec{B} = 0\). Tre kandidater, der \(B_0\) er en konstant og \(b\) en lengde:

\(\vec{B}_1 = \frac{B_0}{b}(y\hat{x}-x\hat{y})\) gir \(\nabla\cdot\vec{B}_1 = 0\). Godkjent.
\(\vec{B}_2 = \frac{B_0}{b}(x\hat{x}+y\hat{y})\) gir \(\nabla\cdot\vec{B}_2 = \frac{2B_0}{b} \neq 0\). Umulig: feltet har kilder, og magnetiske monopoler finnes ikke.
\(\vec{B}_3 = \frac{B_0}{b}(x\hat{x}+y\hat{y}-2z\hat{z})\) gir \(\nabla\cdot\vec{B}_3 = \frac{B_0}{b}(1+1-2) = 0\). Godkjent, og dette er formen på en magnetisk felle.

Svaret er billig: tre partiellderiverte og en sum. Men skriv én setning om hvorfor kravet gjelder, for der ligger resten av poengene.

Grensebetingelser

Grensebetingelsene er ikke nye lover, men integralformene brukt på en flate. La \(\hat{n}\) peke fra medium 2 inn i medium 1.

Tangentielt \(\vec{E}\): legg en flat rektangulær løkke over flaten, med lange sider \(\ell\) på hver side og korte sider mot null. Arealet går mot null, så \(d\Phi/dt\to0\), og Faradays lov gir \(E_{1t} = E_{2t}\).
Normalt \(\vec{D}\): legg en flat «pilleboks» med endeflater \(\Delta S\) og høyde mot null. Sideflatene faller bort, og Gauss' lov gir \(D_{1n}-D_{2n} = \rho_s\).
Tangentielt \(\vec{H}\): samme løkke med Ampère–Maxwell. Forskyvningsstrømmen forsvinner med arealet, men en fri overflatestrøm består: \(H_{1t}-H_{2t} = \vec{J}_s\times\hat{n}\).
Normalt \(\vec{B}\): pilleboks med \(\oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S} = 0\) gir \(B_{1n} = B_{2n}\) — alltid, siden magnetiske overflateladninger ikke finnes.

Mot en ideell leder blir alt enklere: feltet inne er null, så \(E_t = 0\) rett utenfor og \(D_n = \rho_s\) på overflaten. Derfor står feltlinjene alltid normalt på en ideell lederflate.

Eksempel 4: hvilken vei knekker feltet over en grenseflate?

To dielektrika møtes i et plan uten fri overflateladning. La \(\theta\) være vinkelen mellom feltet og flatenormalen, slik at \(\tan\theta = E_t/E_n\). Betingelsene \(E_{1t} = E_{2t}\) og \(D_{1n} = D_{2n}\) gir \(\varepsilon_1E_{1n} = \varepsilon_2E_{2n}\), og dermed

\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}.\]

Med \(\varepsilon_1 = \varepsilon_0\), \(\varepsilon_2 = 4\varepsilon_0\) og \(\theta_1 = 30^\circ\) blir \(\tan\theta_2 = 4\tan30^\circ = 2{,}31\), altså \(\theta_2 = 67^\circ\): feltet legger seg mer på langs av flaten i mediet med høy permittivitet.

Magnetisk gjelder det samme med \(\mu\). Er feltet inne i jern med \(\mu_2 = 1000\mu_0\) og \(\theta_2 = 80^\circ\), blir \(\tan\theta_1 = \tan80^\circ/1000 = 5{,}7\times10^{-3}\), altså \(\theta_1 = 0{,}3^\circ\): linjene forlater jernet nesten rett ut av overflaten. Det forklarer også hvorfor linjene knekker ved overflaten til en permanentmagnet: både \(B_n\) og \(H_t\) er kontinuerlige, men fordi \(\vec{B} = \mu_0(\vec{H}+\vec{M})\) og \(\vec{M}\) hopper til null utenfor, må \(B_t\) hoppe — og da endrer \(\vec{B}\) retning brått.

Studieguide: Maxwells likninger og grensebetingelser