Hva temaet handler om

Når et magnetfelt går gjennom materie, retter atomære strømsløyfer seg inn og forsterker eller svekker feltet. For å håndtere dette innfører vi to felt i tillegg til \(\vec{B}\): magnetiseringen \(\vec{M}\) og hjelpefeltet \(\vec{H}\). Temaet er testet i 10 av 34 arkiverte sett, oftest som bundne overflatestrømmer på en permanentmagnet, en solenoide med kjerne, eller spørsmålet om hvilket av to feltbilder som viser \(\vec{B}\).

De tre feltene

Magnetiseringen \(\vec{M}\) er magnetisk dipolmoment per volum, med enhet A/m, og \(\vec{H}\) defineres som

\[ \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M} \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{B} = \mu_0\left(\vec{H} + \vec{M}\right). \]

For et lineært, isotropt materiale er magnetiseringen proporsjonal med \(\vec{H}\):

\[ \vec{M} = \chi_m\vec{H}, \qquad \vec{B} = \mu_0(1+\chi_m)\vec{H} = \mu\vec{H}, \qquad \mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = 1 + \chi_m. \]

Dette er parallellen til dielektrika, men merk rollefordelingen: \(\vec{P} = \varepsilon_0\chi_e\vec{E}\) er knyttet til \(\vec{E}\), mens \(\vec{M} = \chi_m\vec{H}\) er knyttet til \(\vec{H}\). Hele poenget med \(\vec{H}\) er at Ampères lov for dette feltet bare inneholder de frie strømmene:

\[ \oint \vec{H}\cdot d\vec{l} = I_{\text{fri, omsluttet}}. \]

De frie strømmene er dem du selv styrer, typisk i en vikling. Derfor kan du finne \(\vec{H}\) uten å kjenne materialet, og deretter \(\vec{B} = \mu\vec{H}\).

Bundne strømmer

En magnetisert kropp oppfører seg som om den førte strømmer, selv om ingen ladning transporteres gjennom den:

\[ \vec{J}_b = \nabla\times\vec{M} \quad (\text{volum}), \qquad \vec{J}_{b,s} = \vec{M}\times\hat{n} \quad (\text{overflate}), \]

der \(\hat{n}\) er utoverpekende normalvektor. Er magnetiseringen uniform, er \(\nabla\times\vec{M} = 0\), og bare overflatestrømmen gjenstår. Da er legemet magnetisk sett en solenoide med \(nI\) erstattet av \(M\).

Eksempel 1: sylindrisk permanentmagnet

Oppgave: En lang sylindrisk permanentmagnet med radius \(a\) ligger langs \(z\)-aksen og har uniform magnetisering \(\vec{M} = M_0\hat{z}\). Finn de bundne strømmene, oppgi \(\vec{J}_{b,s}\) i punktet \((0,a,0)\), og finn \(\vec{B}\) og \(\vec{H}\) inne i magneten.

Løsning: Magnetiseringen er konstant, så \(\vec{J}_b = \nabla\times(M_0\hat{z}) = 0\): ingen bunden strøm i volumet. På sideflaten er \(\hat{n} = \hat{r}\), og

\[ \vec{J}_{b,s} = \vec{M}\times\hat{n} = M_0\,\hat{z}\times\hat{r} = M_0\hat{\phi}. \]

Overflatestrømmen sirkulerer rundt magneten med størrelse \(M_0\) (enhet A/m). I punktet \((0,a,0)\) er \(\hat{r} = \hat{y}\), så \(\vec{J}_{b,s} = M_0\,\hat{z}\times\hat{y} = -M_0\hat{x}\). Sylinderen er dermed ekvivalent med en lang solenoide med \(nI = M_0\):

\[ \vec{B} = \mu_0M_0\hat{z}, \qquad \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M} = M_0\hat{z} - M_0\hat{z} = 0. \]

Kontroll: \(\vec{H} = 0\) er som det skal være, for en ampèresløyfe her omslutter ingen fri strøm.

Eksempel 2: solenoide med jernkjerne

Oppgave: En lang, tettviklet solenoide har \(n\) viklinger per lengde og fører den frie strømmen \(I\). Kjernen har relativ permeabilitet \(\mu_r\). Finn \(H\), \(B\) og \(M\) inne i kjernen, med tallverdier for \(nI = 1{,}00\times10^3\) A/m og \(\mu_r = 500\). Hva skjer med \(H\) hvis kjernen fjernes?

Løsning: Vi bruker en rektangulær ampèresløyfe for \(\vec{H}\), med én langside inne i solenoiden og én langt utenfor der feltet er null. Bare frie viklingsstrømmer omsluttes, og over lengden \(l\) er det \(nlI\) av dem:

\[ H\,l = n l I \;\Rightarrow\; H = nI, \qquad B = \mu_r\mu_0 nI, \qquad M = \chi_m H = (\mu_r - 1)nI. \]

Legg merke til at kjernen ikke opptrer i likningen for \(H\). Med tallene blir \(H = 1{,}00\times10^3\) A/m,

\[ B = 500\cdot(4\pi\times10^{-7})\cdot(1{,}00\times10^3)\ \text{T} = 0{,}628\ \text{T}, \qquad M = 4{,}99\times10^5\ \text{A/m}. \]

Fjerner vi kjernen, er \(H\) fortsatt \(1{,}00\times10^3\) A/m, mens \(B\) faller til \(\mu_0nI = 1{,}26\times10^{-3}\) T — en faktor 500 svakere. Dette er hele grunnen til jernkjerner i spoler, transformatorer og elektromagneter: \(H\) settes av viklingen, og materialet bestemmer hvor mye \(B\) man får ut.

Grensebetingelser: hvorfor feltlinjene knekker

På en grenseflate mellom to materialer med permeabilitet \(\mu_1\) og \(\mu_2\), uten frie flatestrømmer, gjelder

\[ B_{1n} = B_{2n} \qquad\text{og}\qquad H_{1t} = H_{2t}. \]

Den første følger av \(\nabla\cdot\vec{B} = 0\), den andre av Ampères lov for \(\vec{H}\). Siden det er normalkomponenten av \(\vec{B}\) og tangentialkomponenten av \(\vec{H}\) som er kontinuerlige, må feltlinjene knekke. Med \(\theta\) målt fra normalen er \(\tan\theta = B_t/B_n\), og med \(B_t = \mu H_t\) får vi brytningsloven

\[ \frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1} = \frac{\mu_2}{\mu_1}. \]

Eksempel 3: brytning av feltlinjer over en grenseflate

Oppgave: Område 1 er vakuum med \(\mu_1 = \mu_0\), område 2 har \(\mu_2 = 2\mu_0\), og grenseflaten er planet \(z = 0\) uten frie flatestrømmer. I område 1 er \(|\vec{B}_1| = 0{,}100\) T, med en retning som gjør vinkelen \(\theta_1 = 30{,}0^\circ\) med flatenormalen. Finn \(\theta_2\) og \(|\vec{B}_2|\).

Løsning: Vi dekomponerer \(\vec{B}_1\):

\[ B_{1n} = 0{,}100\cos 30{,}0^\circ = 0{,}0866\ \text{T}, \qquad B_{1t} = 0{,}100\sin 30{,}0^\circ = 0{,}0500\ \text{T}. \]

Normalkomponenten er kontinuerlig, så \(B_{2n} = 0{,}0866\) T. Tangentialkomponenten av \(\vec{H}\) er kontinuerlig, altså \(B_{1t}/\mu_1 = B_{2t}/\mu_2\), som gir \(B_{2t} = 2\cdot 0{,}0500 = 0{,}100\) T. Dermed

\[ |\vec{B}_2| = \sqrt{0{,}0866^2 + 0{,}100^2}\ \text{T} = 0{,}132\ \text{T}, \qquad \theta_2 = \arctan\frac{0{,}100}{0{,}0866} = 49{,}1^\circ. \]

Kontroll: Brytningsloven gir \(\tan\theta_2 = 2\tan 30{,}0^\circ = 1{,}155\), altså \(\theta_2 = 49{,}1^\circ\). Feltlinjen bøyer seg bort fra normalen på vei inn i det mer permeable mediet, akkurat som \(\vec{B}\)-linjene «trekkes inn» i jern.

Kuleformet permanentmagnet: er feltbildet \(\vec{B}\) eller \(\vec{H}\)?

Dette konseptspørsmålet kommer med to figurer og spørsmålet om hvilken som viser hvilket felt. Argumentet er kort og prinsipielt:

\(\nabla\cdot\vec{B} = 0\) gjelder alltid, så \(\vec{B}\)-linjene har ingen begynnelse og ingen slutt: de går ut av nordpolen, buer rundt utsiden og fortsetter gjennom magneten tilbake. Feltbildet består av lukkede kurver.
\(\vec{H}\) har «kilder» der magnetiseringen ender: fra definisjonen følger \(\nabla\cdot\vec{H} = -\nabla\cdot\vec{M}\), ulik null på polflatene. \(\vec{H}\)-linjene starter derfor på nordflaten og ender på sørflaten, både utenfor og inne i magneten. Uten frie strømmer er dessuten \(\oint\vec{H}\cdot d\vec{l} = 0\), så \(\vec{H}\) kan ikke ha lukkede sirkulerende linjer.

For en uniformt magnetisert kule med \(\vec{M} = M_0\hat{z}\) er feltene inne i kula uniforme: \(\vec{B} = \tfrac{2}{3}\mu_0M_0\hat{z}\), mens \(\vec{H} = -\tfrac{1}{3}M_0\hat{z}\). Inne i magneten peker \(\vec{H}\) altså motsatt vei av \(\vec{B}\); dette er avmagnetiseringsfeltet. Regelen å huske: viser figuren lukkede linjer, er det \(\vec{B}\).

Materialklasser, hysterese og energi

Diamagnetiske (\(\chi_m\) negativ, orden \(-10^{-5}\)): induserte momenter motsetter seg feltet, og materialet frastøtes svakt. Kopper, vann, vismut.
Paramagnetiske (\(\chi_m\) positiv, \(10^{-5}\) til \(10^{-3}\)): atomære momenter retter seg delvis inn, og materialet trekkes svakt inn. Aluminium, oksygen.
Ferromagnetiske (\(\chi_m\) stor og ikke konstant, \(10^{2}\) til \(10^{5}\)): domener retter seg inn og forsterker feltet dramatisk. Jern, kobolt, nikkel.

For ferromagneter er \(B\) mot \(H\) en hystereseløkke: \(B\) avhenger av forhistorien, materialet metter, og det sitter igjen en remanens \(B_r\) når \(H\) føres tilbake til null. Remanensen gjør permanentmagneten mulig, og arealet inne i løkken er energitapet per volum per omløp. Derfor brukes «mykt» jern med tynn løkke i transformatorer og målekretser, og «hardt» materiale i permanentmagneter. Energitettheten er

\[ w_m = \tfrac12\vec{B}\cdot\vec{H} = \tfrac12\mu H^2 = \frac{B^2}{2\mu}. \]

Studieguide: Magnetiske materialer og H-feltet