Hva temaet handler om

Strømmer lager magnetfelt, og du har to verktøy for å finne dem. Biot-Savarts lov er et integral over strømfordelingen og virker alltid, men krever regning. Ampères lov er en snarvei som krever nok symmetri, men da er den svært rask. Magnetostatikk er testet i omtrent 19 av 34 arkiverte sett, oftest som en sirkelsløyfe eller et rett linjestykke med Biot-Savart, og et sylinderskall, en solenoide eller en koaksialkabel med Ampère.

Biot-Savarts lov

Et strømelement \(I\,d\vec{l}\) bidrar med

\[ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec{l}\times\hat{R}}{R^2}, \]

der \(\vec{R}\) går fra strømelementet til feltpunktet. Framgangsmåten er den samme hver gang: parametriser kurven, skriv opp \(d\vec{l}\) og \(\vec{R}\), avgjør retningen på kryssproduktet, og integrer komponenten som ikke kanselleres av symmetri.

Eksempel 1: sirkelsløyfe, på aksen og langt unna

Oppgave: En sirkulær sløyfe med radius \(a\) ligger i \(xy\)-planet med sentrum i origo og fører strømmen \(I\) mot klokka sett fra \(+z\). Vis at feltet på \(z\)-aksen er \(B_z = \frac{\mu_0Ia^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\), finn feltet i sentrum, og skriv fjernfeltet med et magnetisk dipolmoment.

Løsning: Alle elementene ligger i avstanden \(R = \sqrt{a^2+z^2}\) fra feltpunktet \((0,0,z)\), og \(d\vec{l}\) står normalt på \(\hat{R}\), så \(|d\vec{l}\times\hat{R}| = dl\). Kryssproduktet peker skrått innover mot aksen: de radielle komponentene kanselleres rundt sløyfen, mens \(z\)-komponentene adderes. Faktoren som plukker ut \(z\)-komponenten, er \(\cos\alpha = a/\sqrt{a^2+z^2}\):

\[ B_z = \frac{\mu_0I}{4\pi(a^2+z^2)}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}}\oint dl = \frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{a\,(2\pi a)}{(a^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0Ia^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}. \]

I sentrum, \(z = 0\), gir dette \(B = \mu_0I/(2a)\) langs \(+\hat{z}\) etter høyrehåndsregelen. For \(z \gg a\) neglisjerer vi \(a^2\) i nevneren:

\[ B_z \approx \frac{\mu_0Ia^2}{2z^3} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{m}{z^3}, \qquad m = I\pi a^2 = IS. \]

Feltet faller som \(1/z^3\), og styrken bestemmes bare av produktet \(IS\), ikke av strøm og areal hver for seg.

Endelig rett leder, og grensen mot uendelig lang

En rett leder langs \(x\)-aksen fra \(x = -a\) til \(x = a\) fører strømmen \(I\) i \(+\hat{x}\). I feltpunktet \((0,y,0)\) er \(d\vec{l} = dx\,\hat{x}\) og \(\vec{R} = -x\hat{x} + y\hat{y}\), så \(d\vec{l}\times\vec{R} = y\,dx\,\hat{z}\). Alle elementene bidrar i \(+\hat{z}\), så bidragene adderes uten kansellering:

\[ B_z = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{-a}^{a}\frac{y\,dx}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0I}{4\pi}\cdot\frac{2a}{y\sqrt{a^2+y^2}} = \frac{\mu_0I}{2\pi y}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2+y^2}}. \]

Lar vi \(a\to\infty\), går \(a/\sqrt{a^2+y^2}\) mot 1, og vi får \(B = \mu_0I/(2\pi r)\) rettet i \(\hat{\phi}\) rundt lederen. Denne grensesjekken er en klassisk deloppgave og billige poeng.

Ampères lov

\[ \oint_{\mathcal{C}} \vec{H}\cdot d\vec{l} = I_{\text{omsluttet}}, \qquad \vec{B} = \mu_0\vec{H} \text{ i vakuum}. \]

Oppskriften er som for Gauss lov: bruk symmetrien til å argumentere for at feltet har én komponent og avhenger av én koordinat, velg en sløyfe der \(\vec{H}\cdot d\vec{l}\) er konstant eller null, og løs ut. Resultatene du bør ha på fingrene:

Massiv sylinder med radius \(a\) og uniform strøm \(I\): \(B = \frac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}\) inne, \(\frac{\mu_0I}{2\pi r}\) ute.
Solenoide med \(n\) viklinger per lengde: \(B = \mu_0nI\) inne, uavhengig av posisjonen, og tilnærmet null ute.
Toroide med \(N\) viklinger: \(B = \frac{\mu_0NI}{2\pi r}\) inne i kjernen, null utenfor.
Uendelig strømplate med flatestrømtetthet \(J_s\): \(B = \mu_0J_s/2\), like stort og motsatt rettet på hver side.

Eksempel 2: uendelig tynt sylinderskall og koaksialkabel

Oppgave: Et uendelig langt, uendelig tynt ledende sylinderskall med radius \(a\) ligger langs \(z\)-aksen og fører strømmen \(I\) i \(+\hat{z}\). Finn \(\vec{B}\) overalt. Legg deretter et ytre skall med radius \(b \gt a\) som fører den samme strømmen tilbake i \(-\hat{z}\), og finn feltet i alle tre områder.

Løsning: Systemet er uendelig langt og rotasjonssymmetrisk, så \(\vec{B} = B(r)\hat{\phi}\). Med en sirkulær ampèresløyfe med radius \(r\) normalt på aksen er \(\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = B(r)\cdot 2\pi r\). For \(r \lt a\) omsluttes ingen strøm, siden all strømmen ligger ved \(r = a\); for \(r \gt a\) omsluttes hele \(I\):

\[ \vec{B} = 0 \;\;(r \lt a), \qquad \vec{B} = \frac{\mu_0I}{2\pi r}\hat{\phi} \;\;(r \gt a). \]

Utenfor ser skallet ut som en tynn tråd langs aksen, mens hulrommet er helt feltfritt. Med returstrømmen på plass er den omsluttede strømmen fortsatt \(I\) for \(a \lt r \lt b\), så feltet der er uforandret, mens den for \(r \gt b\) er \(I - I = 0\), og \(\vec{B} = 0\). Det er hele poenget med en koaksialkabel: feltet er innestengt mellom lederne.

Krefter i magnetfelt

\[ d\vec{F} = I\,d\vec{l}\times\vec{B}, \qquad \vec{F} = I\int d\vec{l}\times\vec{B}. \]

Er feltet uniformt, kan \(\vec{B}\) flyttes ut, og \(\vec{F} = I\vec{L}\times\vec{B}\), der \(\vec{L}\) er vektoren fra startpunktet til endepunktet. Formen på lederen mellom endepunktene spiller ingen rolle. For en lukket sløyfe er \(\oint d\vec{l} = 0\), så nettokraften er null i et uniformt felt; det som gjenstår, er et dreiemoment. En punktladning kjenner Lorentz-kraften \(\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})\), der den magnetiske delen aldri gjør arbeid, siden den står normalt på hastigheten.

Eksempel 3: kraft på en bøyd leder, og kraft mellom to ledere

Oppgave: (i) En leder går som en halvsirkel med radius \(a\) i \(xy\)-planet, fra \((-a,0,0)\) til \((a,0,0)\), og fører strømmen \(I\) i et uniformt felt \(\vec{B} = B_0\hat{z}\). Finn kraften. (ii) To lange, parallelle ledere i avstand \(d\) fører hver strømmen \(I\) i samme retning. Finn kraften per lengde, og avgjør om den er frastøtende eller tiltrekkende.

Løsning: (i) Feltet er uniformt, så bare endepunktene teller: \(\vec{L} = 2a\hat{x}\), og

\[ \vec{F} = I(2a\hat{x})\times(B_0\hat{z}) = 2aIB_0(\hat{x}\times\hat{z}) = -2aIB_0\hat{y}. \]

Kraften er den samme som på et rett linjestykke av lengde \(2a\) mellom de samme endepunktene.

(ii) Leder 1 lager feltet \(B_1 = \mu_0I/(2\pi d)\) ved leder 2, normalt på den, så

\[ \frac{F}{L} = IB_1 = \frac{\mu_0I^2}{2\pi d}. \]

Retningen følger av \(d\vec{l}\times\vec{B}\): med strømmene i samme retning peker kraften på hver leder mot den andre, altså tiltrekning, mens motsatt rettede strømmer frastøter hverandre. Med \(I = 10\) A og \(d = 1{,}0\) cm blir \(F/L = 2{,}0\times10^{-3}\) N/m — en meget svak kraft.

Magnetisk dipolmoment og dreiemoment

En plan strømsløyfe med areal \(S\) har dipolmomentet \(\vec{m} = I\vec{S}\), der \(\vec{S}\) står normalt på sløyfens plan med retning gitt av høyrehåndsregelen om strømmen. I et uniformt felt er nettokraften null, men dreiemomentet er

\[ \vec{T} = \vec{m}\times\vec{B}, \]

som roterer sløyfen slik at \(\vec{m}\) legger seg parallelt med \(\vec{B}\) — prinsippet bak både en elektrisk motor og en kompassnål. Langt unna sløyfen er feltet

\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3\hat{r}(\hat{r}\cdot\vec{m}) - \vec{m}}{r^3}. \]

Setter du \(\hat{r} = \hat{z}\) og \(\vec{m} = m\hat{z}\), får du \(\vec{B} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{m}{z^3}\hat{z}\), nøyaktig grensen fra Eksempel 1. Det er slik du identifiserer \(m\): regn ut fjernfeltet, sammenlign med dipoluttrykket, og les av momentet.

Hvilke felt kan være magnetfelt?

Siden det ikke finnes magnetiske monopoler, gjelder \(\nabla\cdot\vec{B} = 0\) alltid. Det gir en gratis test: skal du avgjøre om et oppgitt vektorfelt kan være et magnetfelt, regn ut divergensen. Feltet \(B_0(x\hat{x} + y\hat{y})/a\) har divergens \(2B_0/a \ne 0\) og kan ikke være et magnetfelt, mens \(B_0(y\hat{x} - x\hat{y})/a\) har divergens null og er en gyldig kandidat. For feltbilder betyr det at magnetiske feltlinjer aldri starter eller stopper: de må være lukkede kurver.

Studieguide: Magnetfelt: Biot-Savart og Ampères lov

Studieguide: Magnetfelt: Biot-Savart og Ampères lov