Hva temaet handler om

Kretsoppgavene i FYS1120 handler nesten aldri om å regne ut en erstatningsmotstand. De handler om tid: hva skjer i det øyeblikket en bryter lukkes, hva skjer etter lang tid, og hvilken differensiallikning knytter de to grensene sammen? Transienter i RC- og RL-kretser er testet i 23 av 34 arkiverte eksamenssett, og formuleringen er nesten alltid en variant av «Hva er \(I(0)\) og \(I(\infty)\)?» fulgt av «Finn en differensiallikning for strømmen og løs den.»

Grunnverktøyene

Kirchhoffs lover er ryggraden, selv om de sjelden nevnes ved navn. Knutepunktsloven er kontinuitetslikningen i stasjonær form, og maskeloven uttrykker at \(\vec{E}\) er konservativ. Komponentlikningene du trenger, er

\[ I = C\frac{dV_C}{dt}, \qquad V_L = L\frac{dI}{dt}, \qquad V_R = RI. \]

En reell kilde har emf \(\mathcal{E}\) og indre motstand \(r\), så klemmespenningen er \(V = \mathcal{E} - rI\). Effekten til en last \(R\) er \(P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2\), og setter vi den deriverte med hensyn på \(R\) lik null, får vi betingelsen for maksimal effektoverføring:

\[ R_{\text{last}} = R_{\text{indre}}, \qquad P_{\max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}. \]

Kilden leverer da bare halvparten av effekten til lasten; maksimal effekt er ikke det samme som maksimal virkningsgrad.

Grensetilfellene: den viktigste tabellen i kapitlet

Nesten alle deloppgavene om \(t = 0^+\) og \(t\to\infty\) kan besvares uten å løse noen differensiallikning, hvis du kjenner disse fire utsagnene:

Uladet kondensator ved \(t = 0^+\): \(V_C = 0\), altså en kortslutning. Erstatt den med en ren ledning.
Kondensator etter lang tid: \(I = C\,dV_C/dt = 0\), altså et brudd. Fjern grenen.
Spole ved \(t = 0^+\): strømmen kan ikke hoppe, for da ville \(L\,dI/dt\) blitt uendelig. Var den null før, er den null nå: brudd.
Spole etter lang tid: \(dI/dt = 0\) gir \(V_L = 0\), altså kortslutning.

Kondensator og spole er altså speilvendte. Det som er kontinuerlig over et bryterslag, er spenningen over en kondensator og strømmen gjennom en spole.

Potensialer i en krets med åpen bryter

Med åpen bryter går det ingen strøm, så spenningsfallet over alle motstander og spoler er null. Alle punkter som er forbundet med ledning og motstand, har da samme potensial, og hele emf-en ligger over bryterens gap. Setter du potensialet lik null i ett punkt, kan du gi alle de andre punktene et tall uten å regne: potensialet endrer seg bare der du krysser batteriet eller gapet.

RC-kretsen

En kondensator lades gjennom en motstand fra en kilde \(V_0\). Maskeloven gir \(V_0 = RI + V_C\), og med \(I = C\,dV_C/dt\):

\[ RC\frac{dV_C}{dt} + V_C = V_0, \qquad \tau = RC, \] \[ V_C(t) = V_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad I(t) = \frac{V_0}{R}e^{-t/\tau} \quad (V_C(0)=0). \]

Kobles kondensatoren i stedet over en motstand alene, får vi \(RC\,dV_C/dt + V_C = 0\), altså ren utlading \(V_C(t) = V_C(0)e^{-t/\tau}\). Tidskonstanten har enhet sekund: \(\Omega\cdot\)F \(=\) (V/A)(C/V) \(=\) s.

RL-kretsen

Samme resonnement med en spole: \(V_0 = RI + L\,dI/dt\), altså

\[ L\frac{dI}{dt} + RI = V_0, \qquad \tau = \frac{L}{R}, \qquad I(t) = \frac{V_0}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right). \]

Nå er det strømmen som starter i null og vokser mot sluttverdien, mens spolespenningen starter i \(V_0\) og faller mot null. Alle disse likningene har samme form, \(\tau\,dy/dt + y = y_\infty\), med løsning

\[ y(t) = y_\infty + (y_0 - y_\infty)e^{-t/\tau}. \]

Kan du \(y_0\), \(y_\infty\) og \(\tau\), kan du hele transienten.

Eksempel 1: RL-krets der bryteren lukkes

Oppgave: En sløyfe består av et batteri med emf \(V_0\), en motstand \(R\), en spole med induktans \(L\) og en bryter i serie. Bryteren har vært åpen svært lenge og lukkes ved \(t = 0\). Finn \(I(0)\) og \(I(\infty)\), sett opp differensiallikningen for strømmen og løs den. Hvor stor er spolespenningen ved \(t = 0^+\)?

Løsning: Med åpen bryter er strømmen null, og spolestrømmen er kontinuerlig, så \(I(0) = 0\). Etter lang tid er \(dI/dt = 0\), spolen er en ren ledning, og \(I(\infty) = V_0/R\). Maskeloven etter lukking gir

\[ V_0 - RI - L\frac{dI}{dt} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dI}{dt} = \frac{R}{L}\left(\frac{V_0}{R} - I\right), \]

som er standardformen med \(\tau = L/R\) og \(I_\infty = V_0/R\). Med \(I(0) = 0\):

\[ I(t) = \frac{V_0}{R}\left(1 - e^{-Rt/L}\right). \]

Ved \(t = 0^+\) er \(RI = 0\), så hele emf-en ligger over spolen: \(V_L(0^+) = V_0\). Det stemmer med \(V_L = L\,dI/dt = V_0e^{-Rt/L}\).

Eksempel 2: kondensator med en motstand i parallell, og bryteren som åpnes etterpå

Oppgave: Et batteri \(V_0\) er koblet i serie med \(R_1\) til en kondensator \(C\), og over kondensatoren står \(R_2\) i parallell. Kondensatoren er uladet når bryteren lukkes ved \(t = 0\). Finn batteristrømmen ved \(t = 0^+\) og etter lang tid, og løs differensiallikningen for \(V_C\). Etter lang tid åpnes en bryter som kobler bort batteriet og \(R_1\). Hva skjer da?

Løsning: Ved \(t = 0^+\) er \(V_C = 0\), altså kortslutning. Da er spenningen over \(R_2\) også null, så all strømmen går inn i kondensatoren: \(I(0^+) = V_0/R_1\). Etter lang tid er kondensatoren et brudd, og \(R_1\) og \(R_2\) står i serie: \(I(\infty) = V_0/(R_1+R_2)\) og \(V_C(\infty) = V_0R_2/(R_1+R_2)\). Knutepunktsloven i noden over kondensatoren gir

\[ \frac{V_0 - V_C}{R_1} = \frac{V_C}{R_2} + C\frac{dV_C}{dt}, \]

som med \(R_p = R_1R_2/(R_1+R_2)\) ordnes til

\[ R_pC\frac{dV_C}{dt} + V_C = \frac{R_2V_0}{R_1+R_2} \;\Rightarrow\; V_C(t) = \frac{R_2V_0}{R_1+R_2}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),\quad \tau = R_pC. \]

Tidskonstanten er altså den parallelle kombinasjonen, ikke \(R_1C\). Når batteriet og \(R_1\) kobles bort, er kondensatoren alene med \(R_2\). Kondensatorspenningen er kontinuerlig, så den starter der den var og faller med \(\tau' = R_2C\):

\[ V_C(t) = \frac{R_2V_0}{R_1+R_2}e^{-t/(R_2C)} \quad (t \text{ regnet fra bryterslaget}). \]

Eksempel 3: plateavstanden endres brått

Oppgave: En plan kondensator med areal \(A\) og plateavstand \(d\) i vakuum er ladet til spenningen \(V_0\) og står koblet til batteriet gjennom en motstand \(R\). Ved \(t = 0\) trekkes platene fra hverandre til avstanden \(2d\), så raskt at ingen ladning rekker å strømme. Finn kondensatorspenningen rett etterpå, strømmen ved \(t = 0^+\), og den videre utviklingen.

Løsning: Før: \(C_1 = \varepsilon_0A/d\) og \(Q = C_1V_0\). Etter: \(C_2 = \varepsilon_0A/(2d) = C_1/2\). Ladningen er bevart i selve øyeblikket, så

\[ V_C(0^+) = \frac{Q}{C_2} = 2V_0, \qquad I(0^+) = \frac{V_0 - 2V_0}{R} = -\frac{V_0}{R}. \]

Strømmen går altså baklengs gjennom motstanden og inn i batteriet. Videre gjelder \(RC_2\,dV_C/dt + V_C = V_0\) med startverdi \(2V_0\):

\[ V_C(t) = V_0 + V_0e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC_2 = \frac{R\varepsilon_0A}{2d}. \]

Spenningen faller fra \(2V_0\) mot \(V_0\), og kondensatoren gir tilbake halve ladningen til kilden. Den ekstra energien kom fra det mekaniske arbeidet du gjorde da du trakk de motsatt ladde platene fra hverandre.

RC-kabelen: mange ledd i kjede

En modell som brukes både om koaksialkabler og om nervecellemembraner, er en kjede av \(N\) ledd der nabonoder er koblet med en motstand \(R\) og hver node har en kondensator \(C\) mot jord. Knutepunktsloven i node \(n\) sier at strømmen inn fra begge naboer lader kondensatoren:

\[ C\frac{dV_n}{dt} = \frac{V_{n+1} - V_n}{R} + \frac{V_{n-1} - V_n}{R} = \frac{V_{n+1} - 2V_n + V_{n-1}}{R}. \]

Høyresiden er den diskretiserte andrederiverte, så dette er en diffusjonslikning. Et spenningssprang i den ene enden brer seg derfor ikke som en bølge, men sprer og flater ut: tiden til ledd \(n\) vokser som \(n^2\), ikke som \(n\). Settet løses numerisk med Eulers metode, \(V_n(t+\Delta t) = V_n(t) + \frac{\Delta t}{RC}(V_{n+1} - 2V_n + V_{n-1})\), med randbetingelser i begge ender — typisk en påtrykt spenning i node \(0\) og en åpen ende der siste ledd bare har én nabo.

Studieguide: Kretser: RC- og RL-transienter