Faradays lov

Faradays induksjonslov knytter en spenning til en endring i magnetisk fluks:

\[\mathcal{E} = \oint_C \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}, \qquad \Phi = \int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}.\]

Flaten \(S\) spennes opp av kurven \(C\), og omløpsretningen og flatenormalen hører sammen gjennom høyrehåndsregelen. Stokes' teorem gir differensialformen \(\nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t\), og med \(N\) tettviklede vindinger blir \(\mathcal{E} = -N\,d\Phi/dt\). Husk at \(\Phi\) er et flateintegral: er feltet inhomogent over sløyfen, må du integrere — og det må du nesten alltid i FYS1120.

Lenz' lov er bare fortegnet

Minustegnet er hele innholdet i Lenz' lov: den induserte strømmen setter opp et felt inne i sløyfen som motvirker fluksendringen. Finn hvilken vei fluksen peker og om den øker eller avtar; så følger omløpsretningen av høyrehåndsregelen. Et fullgodt argument høres slik ut: «Fluksen gjennom sløyfen øker i \(+\hat{z}\), så den induserte strømmen setter opp et felt i \(-\hat{z}\) inne i sløyfen — altså strøm med klokka sett fra \(+z\).» Bytt aldri koordinatsystem midt i argumentet.

Fire måter fluksen kan endre seg

Feltet endrer seg i tid: \(\mathcal{E} = -A\,dB/dt\). Hit hører virvelstrøm og gjensidig induktans.
Arealet endrer seg: en leder med lengde \(L\) som glir på skinner med farten \(v\) gir \(\mathcal{E} = BLv\), som også følger av \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\).
Orienteringen endrer seg: \(\Phi = BA\cos\omega t\) gir \(\mathcal{E} = BA\omega\sin\omega t\), altså generatoren.
Sløyfen flyttes i et inhomogent felt: verken \(B\), \(A\) eller vinkelen endrer seg alene, men integralet gjør det.

Eksempel 1: sløyfe som dras gjennom et inhomogent felt

Feltet er \(\vec{B} = B_0(x/a)\hat{z}\), og en kvadratisk sløyfe med side \(L\) ligger i \(xy\)-planet med flatenormal \(+\hat{z}\) og venstre side i \(x_0 = vt\):

\[\Phi = \int_{x_0}^{x_0+L} B_0\frac{x}{a}L\,dx = \frac{B_0L^2}{2a}\big(2x_0+L\big), \qquad \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{B_0L^2v}{a}.\]

Kontroll: sidene langs \(y\) ligger i feltene \(B_0(x_0+L)/a\) og \(B_0x_0/a\), og bidragene \(BLv\) har motsatt fortegn, så differansen \(\frac{B_0Lv}{a}L\) står igjen. Samme svar.

Fluksen i \(+\hat{z}\) øker, så strømmen setter opp et felt i \(-\hat{z}\) inne i sløyfen: den løper med klokka sett fra \(+z\).

Eksempel 2: sløyfe ved en lang leder, og strømmen slås av

En lang leder langs \(z\)-aksen fører strøm \(I\) i \(+\hat{z}\). En kvadratisk sløyfe med side \(a\) og resistans \(R\) ligger i \(xz\)-planet, med nærmeste side i avstanden \(r\). For \(x \gt 0\) er \(\hat{\varphi} = \hat{y}\), så med flatenormal \(+\hat{y}\) blir

\[\Phi = \int_r^{r+a}\frac{\mu_0I}{2\pi x}a\,dx = \frac{\mu_0Ia}{2\pi}\ln\frac{r+a}{r}.\]

Dette bør du kunne skrive rett ned; det dukker opp som fluks, emf og gjensidig induktans. Slås strømmen av eksponentielt, \(I(t) = I_0e^{-t/\tau}\), er \(\mathcal{E} = \frac{\mu_0aI_0}{2\pi\tau}\ln\frac{r+a}{r}e^{-t/\tau}\) og \(I_{\mathrm{ind}} = \mathcal{E}/R\).

Fluksen i \(+\hat{y}\) avtar, så strømmen setter opp et felt i \(+\hat{y}\) inne i sløyfen; nærmeste side får strøm i \(+\hat{z}\), samme retning som lederen. Den trekkes derfor mot lederen, den fjerneste skyves bort, og feltet er sterkest nærmest, så netto kraft peker mot lederen:

\[F = \frac{\mu_0II_{\mathrm{ind}}a}{2\pi}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+a}\right) = \frac{\mu_0II_{\mathrm{ind}}}{2\pi}\frac{a^2}{r(r+a)}.\]

Eksempel 3: virvelstrøm i en ring

En ring med radius \(a\) og tverrsnitt \(A_{\mathrm{tverr}} = dh\) av et materiale med konduktivitet \(\sigma\) ligger i \(xy\)-planet. Feltet er homogent med \(\partial\vec{B}/\partial t = B_0\omega\,\hat{z}\). Arealet gir emf-en, mens omkretsen og tverrsnittet gir resistansen:

\[\mathcal{E} = -\pi a^2B_0\omega, \qquad R = \frac{2\pi a}{\sigma dh} \quad\Rightarrow\quad I = \frac{\mathcal{E}}{R} = -\frac{\sigma a d h B_0\omega}{2}.\]

Fortegnet betyr at strømmen løper med klokka sett fra \(+z\).

Kontroll: kobber med \(\sigma = 5{,}96\times10^{7}\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1}\), \(a = 5{,}0\) cm, \(d = h = 2{,}0\) mm og \(B_0\omega = 10\) T/s gir \(|\mathcal{E}| = 7{,}9\times10^{-2}\) V og \(R = 1{,}3\times10^{-3}\ \Omega\), altså \(|I| = 60\) A — som sluttformelen. Virvelstrømmer blir store fordi resistansen i metall er bitteliten.

Selvinduktans

Selvinduktansen er fluksen kretsen lager gjennom seg selv, per ampere: \(L = \Phi/I\), med \(N\) vindinger \(L = N\Phi_1/I\). Oppskriften: sett en strøm \(I\) i kretsen, finn \(\vec{B}\), integrer fluksen og del på \(I\). \(L\) avhenger bare av geometri og materiale.

Lang solenoide (\(N\), lengde \(l\), tverrsnitt \(A\), permeabilitet \(\mu\)): \(L = \mu N^2A/l\).
Toroide, høyde \(h\) og radier \(a\) og \(b\): \(L = \frac{\mu N^2h}{2\pi}\ln\frac{b}{a}\).
Koaksialkabel, per lengde: \(L' = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{b}{a}\).
To parallelle ledere med \(d \gg a\), per lengde: \(L' = \frac{\mu_0}{\pi}\ln\frac{d}{a}\).

Spoler i serie uten kobling gir \(L = L_1+L_2\), i parallell \(1/L = 1/L_1+1/L_2\). Er de koblet, kommer \(\pm2L_{12}\) inn, og koblingsfaktoren \(k = L_{12}/\sqrt{L_1L_2}\) sier hvor mye fluks som deles.

Gjensidig induktans

\(L_{12} = \Phi_{12}/I_1\) er fluksen gjennom krets 2 per ampere i krets 1. At \(L_{12} = L_{21}\) gjelder alltid, så du får regne den veien som er lettest.

Ring med radius \(\rho\) inne i en solenoide: \(L_{12} = \mu N\pi\rho^2/l\), og \(\mathcal{E}_{12} = -L_{12}\,dI/dt\).
To koaksiale solenoider: den innerste ser hele feltet fra den ytterste, så \(L_{12} = \mu N_1N_2A_{\mathrm{indre}}/l\).
Rektangulær sløyfe ved en lang leder, høyde \(h\) og bredde \(w\): \(L_{12} = \frac{\mu_0h}{2\pi}\ln\frac{r+w}{r}\).
Små sløyfer langt fra hverandre: bruk dipolfeltet \(\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3\hat{r}(\hat{r}\cdot\vec{m})-\vec{m}}{r^3}\) med \(m = I_1S_1\), og integrer over den andre sløyfen.

Eksempel 4: sløyfe ved et strømførende sylinderskall, også for \(r \lt a\)

Et tynt sylinderskall med radius \(a\) fører strømmen \(I\) i \(+\hat{z}\). Ampères lov gir \(\vec{B} = 0\) for \(\rho \lt a\) og \(\vec{B} = \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\hat{\varphi}\) for \(\rho \gt a\). En rektangulær krets i \(xz\)-planet har høyde \(h\), bredde \(w\) og innerkant i \(x = r\). Integralet starter der feltet starter:

\[L_{12} = \frac{\mu_0h}{2\pi}\ln\frac{r+w}{r} \ \ (r \ge a), \qquad L_{12} = \frac{\mu_0h}{2\pi}\ln\frac{r+w}{a} \ \ (r \lt a \lt r+w),\]

og \(L_{12} = 0\) når \(r+w \le a\). Tall: med \(h = 4{,}0\) cm, \(w = 3{,}0\) cm og \(a = 1{,}0\) cm er \(\mu_0h/2\pi = 8{,}0\times10^{-9}\) H, så \(r = 2{,}0\) cm gir \(7{,}3\) nH og \(r = 0{,}50\) cm gir \(10{,}0\) nH. Induktansen slutter å vokse når innerkanten passerer \(\rho = a\).

Energi og RL-transienter

Energien i en spole er \(W_m = \tfrac12LI^2\), og energitettheten \(w_m = \tfrac12\vec{B}\cdot\vec{H}\) — samme regnskap: for solenoiden gir \(\tfrac12\mu(NI/l)^2\) ganget med volumet \(Al\) nettopp \(W_m\). Spenningen \(V = L\,dI/dt\) gir sammen med Kirchhoff en førsteordens differensiallikning, og lukkes en bryter i en serie av \(V_0\), \(R\) og \(L\):

\[L\frac{dI}{dt}+RI = V_0 \quad\Rightarrow\quad I(t) = \frac{V_0}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R}.\]

Innsikten sensuren spør etter: strømmen gjennom en spole kan ikke endre seg brått, så \(I(0) = 0\), mens \(I(\infty) = V_0/R\). For en kondensator er det spenningen som ikke kan hoppe.

Fellen: å glemme ringens egen induktans

Har en ring inne i en solenoide uendelig resistans, går det ingen strøm, og fluksen er solenoidens alene. Med endelig resistans motvirker den induserte strømmen fluksendringen, så fluksen gjennom ringen blir mindre. Da er \(I_2 = \mathcal{E}_{12}/R_2\) galt: ringen lager sin egen fluks, så \(L_2\,dI_2/dt\) må være med. Varierer solenoidestrømmen harmonisk, er ekvivalentkretsen \(\hat{\mathcal{E}}_{12}\) i serie med \(\hat{Z} = R_2+i\omega L_2\):

\[|\hat{I}_2| = \frac{|\hat{\mathcal{E}}_{12}|}{\sqrt{R_2^2+\omega^2L_2^2}}.\]

Selvinduktansen kan bare neglisjeres når \(\omega L_2 \ll R_2\). Med \(\omega = 2\pi\cdot5\) MHz og \(L_2 = 50\) nH er \(\omega L_2 = 1{,}6\ \Omega\), så med \(R_2 = 1\ \Omega\) er betingelsen ikke oppfylt: nevneren blir \(1{,}9\ \Omega\), og strømmen nesten halveres.

Studieguide: Elektromagnetisk induksjon og induktans