Coulombs lov og R-vektoren

Hele elektrostatikken i FYS1120 bygger på én formel. Feltet i punktet \(\vec{r}\) fra en punktladning \(Q\) som ligger i kildepunktet \(\vec{r}\,'\) er

\[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\hat{R} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3},\qquad \vec{R} = \vec{r}-\vec{r}\,',\quad R = |\vec{R}| .\]

R-vektoren peker fra kilden til feltpunktet — aldri motsatt vei. Dette er så sentralt at det har vært en egen flervalgsoppgave med tittelen «Finn R-vektor» både i 2024 og 2025. Oppskriften er mekanisk: feltpunkt minus kildepunkt. Ligger ladningen i \((0,-a,0)\) og du skal finne feltet i \((0,0,d)\), er \(\vec{R} = (0,0,d)-(0,-a,0) = a\hat{y}+d\hat{z}\) og \(R=\sqrt{a^2+d^2}\). Merk at \(\varepsilon_0\)-formen brukes gjennomgående i dette kurset; konstanten \(k\) fra skolefysikken finnes ikke på formelarket.

Superposisjon

Feltet fra flere ladninger er vektorsummen av bidragene, og hvert bidrag har sin egen R-vektor:

\[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i q_i\,\frac{\vec{r}-\vec{r}_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}.\]

Nesten alle eksamenssett åpner med en slik oppgave. Nøkkelen er å jobbe komponentvis: legg aldri sammen absoluttverdier. To like store ladninger med motsatt fortegn, plassert symmetrisk om origo, gir for eksempel et felt i origo som er dobbelt så stort som fra én av dem, fordi begge bidragene peker samme vei.

Kontinuerlige fordelinger

Når ladningen er smurt ut, erstattes summen av et integral, og \(q_i\) av et ladningselement:

\[dq = \rho\,dv \quad\text{(romladning)},\qquad dq = \rho_s\,dA \quad\text{(flateladning)},\qquad dq = \rho_l\,dl \quad\text{(linjeladning)}.\]

Legg merke til at kurset bruker \(\rho\), \(\rho_s\) og \(\rho_l\) — ikke \(\sigma\) og \(\lambda\), for \(\sigma\) er reservert til konduktivitet. Fremgangsmåten er alltid den samme: parametriser kilden, skriv \(\vec{R}\) og \(R\) ved parameteren, del feltet opp i komponenter, og bruk symmetri til å slå fast hvilke komponenter som blir null før du integrerer. Det sparer halve regnearbeidet, og sensor gir uttrykkelig poeng for symmetriargumentet.

Standardresultater du bør kunne utlede raskt

Uendelig lang linjeladning med tetthet \(\rho_l\) langs \(z\)-aksen: \(\vec{E} = \frac{\rho_l}{2\pi\varepsilon_0 r}\hat{r}\), der \(r\) er avstanden inn til aksen.
Ringladning med radius \(a\) og total ladning \(Q\) i \(xy\)-planet, felt på aksen: \(E_z = \frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0 (a^2+z^2)^{3/2}}\). Alle radielle bidrag kanselleres av rotasjonssymmetrien.
Uendelig plan med flateladning \(\rho_s\) i \(xy\)-planet: \(E_z = \frac{\rho_s}{2\varepsilon_0}\frac{z}{|z|}\). Feltet er uavhengig av avstanden, og faktoren \(z/|z|\) sikrer at det peker bort fra planet på begge sider.
Elektrisk dipol med moment \(p = Qd\): langt unna avtar feltet som \(1/r^3\), altså raskere enn fra en enkelt ladning, fordi de to bidragene nesten kansellerer.

Det siste punktet gir en nyttig fornuftssjekk: enhver endelig ladningsfordeling med netto ladning \(Q\) må gå over i \(Q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\) når \(r\) blir stor. Er nettoladningen null, må feltet avta raskere.

Eksempel 1: Punktladning i et vilkårlig punkt

Oppgave: En ladning \(Q\) ligger i punktet \(\vec{r}\,' = -a\hat{x}\) i vakuum. Finn \(\vec{E}\) i et vilkårlig punkt \(\vec{r} = (x,y,z)\), og deretter feltet i origo. Legg så til en ladning \(-Q\) i punktet \((0,a,0)\) og finn det totale feltet i origo.

Løsning: R-vektoren er \(\vec{R} = (x,y,z)-(-a,0,0) = (x+a)\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}\), med \(R = \sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}\). Altså

\[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(x+a)\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}}{\left[(x+a)^2+y^2+z^2\right]^{3/2}}.\]

I origo settes \(x=y=z=0\), som gir \(\vec{R} = a\hat{x}\) og \(\vec{E} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\hat{x}\). Ladningen \(-Q\) i \((0,a,0)\) har \(\vec{R} = -a\hat{y}\), så bidraget blir \(\frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{-a\hat{y}}{a^3} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\hat{y}\). Til sammen

\[\vec{E}(0) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\left(\hat{x}+\hat{y}\right),\qquad |\vec{E}(0)| = \frac{\sqrt{2}\,Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}.\]

Kontroll: Feltet peker bort fra den positive ladningen og inn mot den negative, altså i første kvadrant med 45 grader på aksene — som forventet når bidragene er like store og står normalt på hverandre.

Eksempel 2: Halvsirkel av ladning

Oppgave: En ladning \(Q\) er jevnt fordelt over en halvsirkel med radius \(a\) som ligger i den øvre halvdelen av \(xy\)-planet, med sentrum i origo. Vis at \(E_x = 0\) i origo, og finn \(E_y\).

Løsning: Linjeladningstettheten er \(\rho_l = Q/(\pi a)\), siden buelengden er \(\pi a\). Et element ved vinkelen \(\phi\) ligger i \(\vec{r}\,' = a(\cos\phi\,\hat{x}+\sin\phi\,\hat{y})\) og har ladning \(dq = \rho_l a\,d\phi = \frac{Q}{\pi}d\phi\). Feltpunktet er origo, så \(\vec{R} = -\vec{r}\,'\), \(R = a\) og \(\hat{R} = -(\cos\phi\,\hat{x}+\sin\phi\,\hat{y})\). Dermed

\[dE_x = -\frac{Q}{4\pi^2\varepsilon_0 a^2}\cos\phi\,d\phi,\qquad dE_y = -\frac{Q}{4\pi^2\varepsilon_0 a^2}\sin\phi\,d\phi .\]

Integrasjon over \(\phi\) fra \(0\) til \(\pi\) gir \(\int_0^\pi \cos\phi\,d\phi = 0\), så \(E_x = 0\). Dette er nettopp symmetriargumentet: elementet ved \(\phi\) og elementet ved \(\pi-\phi\) har motsatte \(x\)-bidrag. For \(y\)-komponenten er \(\int_0^\pi \sin\phi\,d\phi = 2\), så

\[E_y = -\frac{Q}{2\pi^2\varepsilon_0 a^2}.\]

Kontroll: Fortegnet er negativt, altså peker feltet nedover, bort fra den positive ladningen som ligger over origo. Enheten blir C/(F/m · m\(^2\)) = V/m.

Eksempel 3: Uendelig rekke av vekslende ladninger

Oppgave: Det ligger en ladning \(+Q\) i hvert av punktene \((0,-ia,0)\) og en ladning \(-Q\) i hvert av punktene \((0,+ia,0)\), for \(i = 1,2,3,\dots\). Finn det elektriske feltet i origo.

Løsning: Bidraget fra \(+Q\) i \((0,-ia,0)\) har \(\vec{R} = ia\hat{y}\), altså \(\vec{E}_i^{+} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (ia)^2}\hat{y}\). Bidraget fra \(-Q\) i \((0,+ia,0)\) har \(\vec{R} = -ia\hat{y}\), og fordi ladningen er negativ blir også dette \(\vec{E}_i^{-} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (ia)^2}\hat{y}\). Alle bidragene peker samme vei, så vi kan summere skalart:

\[\vec{E}(0) = \frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}\,\hat{y} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 a^2}\cdot\frac{\pi^2}{6}\,\hat{y} = \frac{\pi Q}{12\varepsilon_0 a^2}\,\hat{y}.\]

Summen \(\sum 1/i^2 = \pi^2/6\) står i Rottman, som du har tilgjengelig på eksamen.

Kontroll: Rekken konvergerer, så svaret er endelig — rimelig, siden bidragene avtar som \(1/i^2\). Tar du bare med \(i=1\), blir svaret \(\pi^2/6 \approx 1{,}64\) ganger for lite, så de nærmeste ladningene dominerer.

Vanlige fallgruver i regningen

De fleste poengene som går tapt på denne oppgavetypen, ryker ikke fordi fysikken er misforstått, men fordi noe har gått galt underveis. Tre ting går igjen. Først fortegnet på R-vektoren: snur du den, får du et felt som peker stikk motsatt vei, og da hjelper det ikke at resten står riktig. Dernest må du dele opp i komponenter før du legger sammen; legger du sammen lengdene til to bidrag som står normalt på hverandre, blir svaret for stort. Til sist må ladningselementet være riktig: på en bue må radien være med, for buelengden er \(a\,d\phi\).

Når du er ferdig, bør du bruke et par minutter på å prøve svaret mot noe du allerede vet. Går uttrykket over i feltet fra en punktladning når avstanden blir stor? Blir feltet null der symmetrien krever at det skal bli null? Slike kontroller koster lite, og de viser samtidig sensor at du forstår hva du har regnet ut.

Slik jobber du på eksamen

Tegn geometrien og sett på koordinatsystem. Marker feltpunkt og kildepunkt.
Skriv ned \(\vec{R} = \vec{r}-\vec{r}\,'\) eksplisitt i komponenter.
Bruk symmetri til å utelukke komponenter, og skriv begrunnelsen med ord.
Integrer eller summer bare de komponentene som overlever.
Sjekk grensetilfeller: større avstand, uendelig lang kilde, eller sammenligning med en punktladning.

Punkt 5 er også broen til den numeriske delen av eksamen: når du diskretiserer en fordeling i \(N\) elementer og summerer Coulomb-bidrag med numpy, er det nettopp det analytiske grensetilfellet du sammenligner mot for å vise at programmet virker.

Studieguide: Elektrisk felt og Coulombs lov