•Brytning over en grenseflate: \(\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} = \dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\), magnetisk med \(\mu_1/\mu_2\)
Numerisk elektromagnetisme (Python)
•Coulomb-sum for feltet fra en diskretisert fordeling: \(\vec{E}(\vec{r}) = \sum_i \dfrac{dq_i}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec{R}_i}{|\vec{R}_i|^3}\), \(\vec{R}_i = \vec{r}-\vec{r}_i\)
•Tilsvarende sum for potensialet: \(V(\vec{r}) = \sum_i \dfrac{dq_i}{4\pi\varepsilon_0|\vec{R}_i|}\)
•Biot–Savart-sum for magnetfeltet: \(\vec{B}(\vec{r}) = \sum_i \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\Delta\vec{l}_i\times\vec{R}_i}{|\vec{R}_i|^3}\)
•Strømelement langs en sirkelsløyfe: \(\Delta\vec{l}_i = a\Delta\theta(-\sin\theta_i,\cos\theta_i,0)\), med fasit \(\mu_0I/(2a)\) i sentrum
•Jacobi-oppdatering for Laplace-likningen: \(V_{i,j} \leftarrow \tfrac14(V_{i+1,j}+V_{i-1,j}+V_{i,j+1}+V_{i,j-1})\)
•Feltet fra et gitter, der gitteravstanden må være med: \(\vec{E} = -\nabla V\)
•Eulers metode for en RC-krets: \(V_C(t+\Delta t) = V_C(t)+\dfrac{\Delta t}{RC}(V_s-V_C)\)
•RC-kabelmodellen, som krever \(\Delta t \ll RC\): \(C\dfrac{dV_n}{dt} = \dfrac{V_{n+1}-2V_n+V_{n-1}}{R}\)
Vanlige feil å unngå
Elektrisk felt og Coulombs lov
•Snu R-vektoren: den går fra kildepunktet til feltpunktet, altså \(\vec{r}-\vec{r}\,'\), ikke omvendt.
•Legge sammen absoluttverdier i stedet for komponenter. Feltet er en vektor, og to bidrag på 5 V/m kan gi alt fra 0 til 10 V/m.
•Skrive \(dq = \rho_l\,d\phi\) for en bue. Riktig er \(dq = \rho_l\,dl = \rho_l a\,d\phi\) — radien må med.
•Bruke \(1/R^2\) sammen med vektoren \(\vec{R}\) uten å normalisere. Enten \(\hat{R}/R^2\) eller \(\vec{R}/R^3\), aldri \(\vec{R}/R^2\).
•Glemme å sjekke om nettoladningen er null. Da må feltet langt unna avta raskere enn \(1/r^2\), og et svar som ikke gjør det er galt.
•Bruke \(\sigma\) for flateladning. I FYS1120 betyr \(\sigma\) konduktivitet, og flateladningen heter \(\rho_s\).
Gauss lov og symmetri
•Bruke Gauss lov på et system uten symmetri. Loven er alltid sann, men gir bare \(E\) når feltet er konstant over Gauss-flaten.
•Bruke \(E_n = \rho_s/(2\varepsilon_0)\) rett utenfor en leder. Der er svaret \(\rho_s/\varepsilon_0\); halvparten gjelder for et fritt, tynt ladet plan, der fluksen fordeler seg på to sider.
•Regne med total ladning i stedet for ladningen «innenfor» Gauss-flaten når feltpunktet ligger inne i en fordeling.
•Anvende Gauss lov på en åpen flate, for eksempel en halvkule, uten å lukke den.
•Glemme at endeflatene på en sylindrisk Gauss-flate gir null fluks bare fordi feltet er rent radielt — det må begrunnes, ikke antas.
•Blande \(\vec{D}\) og \(\varepsilon_0\vec{E}\) inne i et dielektrikum. Der er \(\vec{D} = \varepsilon\vec{E}\), og bare \(\vec{D}\) ser den frie ladningen.
Elektrisk potensial
•Bytte om integralgrensene og få motsatt fortegn på hele potensialet. Kontroll: \(V\) skal synke i retningen \(\vec{E}\) peker.
•Tro at \(V=0\) medfører \(\vec{E}=0\), eller motsatt. Inne i en ideell leder er feltet null mens potensialet er konstant og gjerne ulikt null.
•Velge \(V(\infty)=0\) for en uendelig lang linje eller et uendelig plan. Der divergerer potensialet, og nullpunktet må ligge i endelig avstand.
•Bare integrere fra \(r\) til \(a\) når feltpunktet ligger inne i en fordeling, og glemme bidraget fra \(a\) og utover.
•Legge sammen potensialbidrag med fortegnet til ladningen glemt. Et negativt \(q\) gir negativt bidrag til \(V\), også når feltbidraget peker «riktig» vei.
•Glemme faktoren \(1/2\) i \(W = \frac{1}{2}\int\rho V\,dv\), som er der for å unngå dobbelttelling av ladningspar.
Kapasitans og dielektrika
•La \(Q\) stå igjen i uttrykket for \(C\). Kapasitansen avhenger bare av geometri og \(\varepsilon\), aldri av ladningen.
•Tro at en nøytral leder i midten ikke gjør noe. Den induseres med \(\mp Q\) på sine to flater og øker kapasitansen fra \(\varepsilon_0 A/d\) til \(\varepsilon_0 A/(d-h)\).
•Bruke \(\varepsilon_0\) i stedet for \(\varepsilon\) inne i et dielektrikum, eller motsatt bruke \(\varepsilon\) i vakuumområdet.
•Bytte om serie og parallell for lagdelte dielektrika. Lag på tvers av feltet er serie, fordi samme \(\vec{D}\) går gjennom begge.
•Sette \(E_{1n} = E_{2n}\) på en grenseflate. Det er \(D_n\) som er kontinuerlig, så \(\varepsilon_1 E_{1n} = \varepsilon_2 E_{2n}\).
•Bruke \(W = \frac{1}{2}CV^2\) med fast \(V\) i en oppgave der kondensatoren er frakoblet. Da er \(Q\) konstant, og \(W = Q^2/(2C)\) er riktig form.
Strøm, resistans og konduktivitet
•Å bruke R = L/(sigma A) på en radiell strøm. Da er både lengden og arealet variable, og du må integrere; svaret er en logaritme, ikke en brøk.
•Å tro at resistansen til en kube går som 1/a i annen fordi arealet går som a i annen. Lengden vokser også, så resultatet er R = rho/a.
•Å bytte om på serie og parallell for lagdelte motstander. Se etter hva som er felles for lagene, strømmen eller spenningen, ikke hvordan figuren ser ut.
•Å glemme skalarproduktet i I = integralet av J prikk dS, og dermed regne med hele strømtettheten når bare normalkomponenten bidrar.
•Å blande sammen sigma for konduktivitet og rho_s for flateladningstetthet. Skriv alltid ut hvilken størrelse symbolet står for i besvarelsen.
•Å tro at feltet er null inne i en motstand som fører strøm. Bare den ideelle lederen har E = 0; i motstanden er E = J/sigma og peker langs strømmen.
Kretser: RC- og RL-transienter
•Å sette strømmen gjennom en spole lik V0/R i det bryteren lukkes. Spolestrømmen kan ikke hoppe, så den starter på verdien den hadde før, ofte null.
•Å behandle en uladet kondensator som et brudd ved t = 0. Den har null spenning over seg og oppfører seg som en kortslutning; bruddet gjelder etter lang tid.
•Å bruke tau = R1 ganger C når kondensatoren også har en motstand i parallell. Da er tidskonstanten den parallelle kombinasjonen av motstandene ganger C.
•Å glemme startbetingelsen når differensiallikningen løses, og la den ukjente konstanten stå. Oppgaven ber om løsningen, og da må konstanten bestemmes.
•Å tro at ladningen på en kondensator forandrer seg momentant når kapasitansen endres brått. Q er bevart i det øyeblikket, og det er spenningen som hopper.
•Å blande fortegn i maskeloven ved å gå med strømmen gjennom motstanden og mot strømmen gjennom spolen. Velg én omløpsretning og hold den hele veien.
Magnetfelt: Biot-Savart og Ampères lov
•Å bruke Ampères lov på en geometri uten nok symmetri. Loven er alltid sann, men den lar seg bare løse ut når du kan argumentere for at feltet er konstant langs sløyfen.
•Å regne feltet inne i et tynt sylinderskall som om skallet var massivt. Sløyfen omslutter ingen strøm, så feltet er eksakt null i hulrommet.
•Å la R-vektoren i Biot-Savart peke fra feltpunktet til strømelementet. Den skal peke fra strømelementet til feltpunktet, ellers får hele svaret galt fortegn.
•Å glemme at radielle bidrag fra en sirkelsløyfe kansellerer på aksen. Uten kanselleringsargumentet blir integralet feil, og faktoren cos alfa mangler.
•Å tro at parallelle strømmer i samme retning frastøter hverandre fordi like ladninger gjør det. Like strømretninger gir tiltrekning.
•Å regne nettokraft på en lukket sløyfe i et uniformt felt. Den er null; det er dreiemomentet m kryss B som er interessant.
Magnetiske materialer og H-feltet
•Å tro at H forandrer seg når man setter en jernkjerne i en solenoide. H settes av de frie strømmene og er uendret; det er B som forsterkes med faktoren mu_r.
•Å skrive M = chi_m ganger B delt på mu_0. Susceptibiliteten knytter magnetiseringen til H, ikke til B, i motsetning til P som knyttes til E.
•Å regne bunden volumstrøm ulik null for en uniform magnetisering. Curl av en konstant vektor er null, og all den bundne strømmen ligger på overflaten.
•Å bytte om på grensebetingelsene og sette tangentialkomponenten av B kontinuerlig. Det er B normalt og H tangentielt som er kontinuerlige.
•Å anta at H peker samme vei som B inne i en permanentmagnet. Inne i en uniformt magnetisert kule peker H motsatt vei, som et avmagnetiseringsfelt.
•Å bruke B = mu H med en fast mu for jern. Ferromagneter har hysterese og metning, så permeabiliteten avhenger av H og av forhistorien.
Elektromagnetisk induksjon og induktans
•Å bruke \(\Phi = BA\) når feltet varierer over sløyfen. Feltet fra en lang leder gir en logaritme, og et felt som vokser lineært gir et kvadratisk uttrykk — begge krever at du integrerer.
•Å rote bort fortegnet ved å bytte koordinatsystem underveis. Velg flatenormalen én gang, og hold Lenz-argumentet prinsipielt.
•Å regne \(I_2 = \mathcal{E}_{12}/R_2\) for en ring som selv har induktans. Ved høye frekvenser dominerer \(\omega L_2\), så du må bruke impedansen \(R_2+i\omega L_2\).
•Å glemme at \(L_{12}\) er null når hele sløyfen ligger i et feltfritt område, for eksempel innenfor et strømførende sylinderskall.
•Å blande resistansen langs ringen (\(2\pi a/\sigma A_{\mathrm{tverr}}\)) med arealet fluksen går gjennom (\(\pi a^2\)) i virvelstrømoppgaver.
•Å sette \(I(0) = V_0/R\) rett etter at en bryter lukkes i en RL-krets. Spolen holder strømmen på null i det første øyeblikket.
Maxwells likninger og grensebetingelser
•Å bruke divergensteoremet på et curl-uttrykk. Divergens hører til volumintegraler, curl hører til flateintegraler.
•Å glemme faktorene \(\rho\) og \(r^2\) inne i derivasjonen når divergensen skal regnes i sylinder- eller kulekoordinater.
•Å forveksle \(\rho\) som romladningstetthet med \(\rho\) som radiell koordinat. Definer symbolene dine i besvarelsen.
•Å tro at \(\vec{E}\) er kontinuerlig over en grenseflate mellom to dielektrika. Tangentialkomponenten er kontinuerlig, mens normalkomponenten hopper med forholdet mellom permittivitetene.
•Å sette fortegnet feil i Poissons likning. Den er \(\nabla^2V = -\rho/\varepsilon\), så et potensial med positiv Laplace-operator hører til negativ ladningstetthet.
•Å bruke total ladning i stedet for \(Q_{\mathrm{fri}}\) i Gauss' lov for \(\vec{D}\). De bundne ladningene hører til \(\vec{P}\), ikke til høyresiden.
Numerisk elektromagnetisme (Python)
•Å evaluere feltet i et punkt som faller sammen med et kildeelement. Da er \(|\vec{R}_i| = 0\), og du får inf eller nan i hele plottet.
•Å glemme gitteravstanden når feltet skal regnes ut fra potensialet. Uten \(\Delta x\) bommer feltet med en stor faktor, og et gitter med \(\Delta x = 0{,}05\) mm gir en faktor 20 000.
•Å overskrive grensebetingelsene i Jacobi-iterasjonen. Elektrodene må settes tilbake etter hver oppdatering, ellers forsvinner de fra løsningen.
•Å velge for stort tidssteg i Eulers metode. Løsningen svinger da med voksende amplitude i stedet for å nærme seg det riktige svaret.
•Å sende arrayer laget med indexing="ij" rett inn i streamplot uten å transponere dem først.
•Å levere kode uten kommentarer og uten en tolkning av plottet. Nettopp den delen gir poeng uansett om programmet kjører.
Eksamenstips
Elektrisk felt og Coulombs lov
•Oppgave 1 handler nesten alltid om superposisjon av punktladninger eller en kontinuerlig fordeling. Sett av tid til å tegne geometrien først.
•Skriv R-vektoren eksplisitt som feltpunkt minus kildepunkt. Flervalgsoppgaven «Finn R-vektor» er gitt både i 2024 og 2025, og feil fortegn her ødelegger hele oppgaven.
•Begrunn symmetrien med ord før du integrerer: «bidragene i x-retning fra \(\phi\) og \(\pi-\phi\) kansellerer» gir poeng og sparer regning.
•Halvsirkel- og ringladninger er favoritter. Øv på å parametrisere med vinkel, uttrykke \(dq = \rho_l a\,d\phi\) og integrere komponentvis.
•Sjekk alltid grensetilfellet stor avstand: har fordelingen netto ladning \(Q\), skal feltet gå mot \(Q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\).
Gauss lov og symmetri
•Skriv symmetriargumentet med ord før du regner: hvilken retning har feltet, og hvilken variabel avhenger det av? Uten dette kan du ikke trekke \(E\) ut av integralet.
•Bruk \(\vec{D}\)-formen når det er dielektrikum i systemet. Da er \(\oint\vec{D}\cdot d\vec{S} = Q_{\text{fri}}\), og du slipper å holde orden på bundne ladninger.
•Konsentriske ledere: krev \(\vec{E}=0\) inne i lederen. Det bestemmer ladningen på hver enkelt overflate helt entydig.
•Ved åpne flater (halvkule) gjelder ikke Gauss lov direkte. Lukk flaten, eller bruk symmetri hvis ladningen ligger i sentrum.
•Å utlede integralformen fra \(\nabla\cdot\vec{D} = \rho\) med divergensteoremet er gitt som egen deloppgave. Kunn de tre linjene utenat.
Elektrisk potensial
•Les nøye hvor nullpunktet ligger. Eksamen setter ofte \(V=0\) ved \(r=a\) eller midt i en leder, ikke i uendelig, og da må integralgrensene endres.
•Regn ut \(V\) først og deriver etterpå når du skal ha feltet fra en fordeling. Potensialet er en skalar, så du slipper vektoraddisjon.
•For uendelig lange linjer og uendelige plan kan nullpunktet ikke ligge i uendelig. Si dette eksplisitt hvis oppgaven ber om en begrunnelse.
•«Finn \(\rho\) fra \(V(x,y)\)» er ren derivasjon med \(\rho = -\varepsilon\nabla^2 V\). Dette har vært flervalgsoppgave på midtveiseksamen.
•Kontroller alltid svaret ved å regne \(-\nabla V\) og se om du får feltet tilbake. Det tar tjue sekunder og fanger fortegnsfeil.
Kapasitans og dielektrika
•Følg oppskriften: anta \(Q\), finn \(\vec{D}\) med Gauss lov, del på \(\varepsilon\) for å få \(\vec{E}\), integrer til \(V\), og del. Står det \(Q\) i svaret, har du regnet feil.
•Tre plane ledere eller en nøytral leder i midten er gitt i 2020, 2024 og 2025. Argumenter med at feltet inne i lederen er null, og finn de induserte flateladningene.
•Bruk \(\vec{D}\), ikke \(\vec{E}\), i Gauss lov når det er dielektrikum til stede. Da slipper du å holde orden på bundne ladninger.
•Lagdelt dielektrikum på tvers av feltet er serie; dielektrikum som dekker deler av arealet er parallell. Sjekk svaret mot serie- eller parallellformelen.
•Ved en grenseflate: splitt \(\vec{E}\) i tangential- og normalkomponent. \(E_t\) er kontinuerlig, \(D_n\) er kontinuerlig, og det er derfor feltlinjene knekker.
Strøm, resistans og konduktivitet
•Lær oppskriften utenat: anta I, finn J fra flaten strømmen må passere, sett E = J/sigma, integrer langs en strømlinje og del på I. Den løser nesten alle resistansoppgavene.
•Radiell strøm i et sylinderskall gir alltid en logaritme fordi flaten går som r. Kjenner du igjen at arealet vokser, vet du at svaret inneholder ln(b/a).
•Avgjør serie eller parallell ut fra hva som er felles: er strømmen den samme gjennom lagene, står de i serie; er spenningen den samme, står de i parallell.
•Sjekk alltid grensetilfellene til slutt. Sett de to konduktivitetene like, eller la to radier bli like, og se om uttrykket faller tilbake til den enkle sylinderen.
•Skaleringsspørsmål: en kube med sidekant a har R = rho/a, så resistansen går som 1/a. Dobbelt så stor kube betyr halv resistans.
Kretser: RC- og RL-transienter
•Behandle grensetilfellene først. Uladet kondensator ved t = 0 er en kortslutning og et brudd etter lang tid; en spole er motsatt. Da kan du svare på de to første deloppgavene uten å regne.
•Alle transientene har samme form: tau ganger den deriverte pluss y er lik y_uendelig. Finn y(0), y(uendelig) og tau, og skriv løsningen direkte.
•Det som er kontinuerlig over et bryterslag, er spenningen over kondensatoren og strømmen gjennom spolen. Bruk verdien fra rett før som startverdi rett etter.
•Tidskonstanten er ikke automatisk R ganger C med den nærmeste motstanden. Regn ut hvilken effektiv motstand kondensatoren faktisk ser når resten av kretsen er tatt med.
•Med åpen bryter er alle spenningsfall over motstander null. Hele emf-en ligger over bryterens gap, og potensialene rundt kretsen kan leses av uten regning.
Magnetfelt: Biot-Savart og Ampères lov
•Velg verktøy etter symmetrien. Har systemet sylinder-, solenoide- eller toroidesymmetri, bruk Ampères lov; er det en endelig sløyfe eller et linjestykke, må du integrere Biot-Savart.
•Ta retningen på kryssproduktet først og kort. Slå fast hvilken komponent som overlever symmetrien, og regn bare på den; du sparer tid og unngår fortegnsfeil.
•Vis alltid grensen mot det kjente resultatet når oppgaven ber om det. Feltet fra et endelig linjestykke skal gå mot mu0 I delt på 2 pi r når lengden vokser.
•Et uendelig tynt skall gir null felt i hulrommet fordi ampèresløyfen ikke omslutter noe strøm. Ikke bland dette med en massiv sylinder, der feltet vokser lineært innover.
•I et uniformt felt avhenger kraften på en bøyd leder bare av vektoren mellom endepunktene, og dipolmomentet identifiserer du ved å sammenligne fjernfeltet ditt med dipoluttrykket.
Magnetiske materialer og H-feltet
•Finn alltid H først. Ampères lov for H inneholder bare de frie strømmene, så du kan regne ut H uten å kjenne materialet, og deretter bruke B = mu H.
•Uniform magnetisering gir ingen bunden volumstrøm. Regn ut curl av M, se at den er null, og gå rett på overflatestrømmen M kryss n.
•En uniformt magnetisert sylinder er magnetisk sett en solenoide med nI erstattet av M. Bruk det til å skrive ned B inne uten nye utregninger.
•Ved en grenseflate er det normalkomponenten av B og tangentialkomponenten av H som er kontinuerlige. Dekomponer feltet før du gjør noe annet.
•Får du et feltbilde og skal avgjøre om det er B eller H: lukkede linjer betyr B, siden divergensen av B alltid er null og H ikke kan sirkulere uten frie strømmer.
Elektromagnetisk induksjon og induktans
•Gjensidig induktans er testet i 12 av 34 arkiverte sett. Øv særlig på ring inne i en solenoide og på rektangulær sløyfe ved en lang leder eller et sylinderskall — og husk å behandle tilfellet der innerkanten ligger innenfor skallradien.
•Skriv fluksintegralet før du regner. Er feltet inhomogent over sløyfen, er \(\Phi = BA\) galt, og det er nettopp der poengene ligger.
•Hold Lenz-argumentet til to setninger: hvilken vei fluksen peker, om den øker eller avtar, og hvilket felt den induserte strømmen setter opp inne i sløyfen.
•Bruk \(L_{12} = L_{21}\) aktivt. Blir den ene veien et stygt integral, så regn den andre veien i stedet.
•Ved bryteroppgaver: si først at strømmen gjennom en spole er kontinuerlig, og bruk det til å finne \(I(0)\) og \(I(\infty)\) før du løser differensiallikningen.
Maxwells likninger og grensebetingelser
•Spørsmålet «Hva heter denne loven? Vis at den kan skrives om til integralform» er stilt ordrett. Øv på alle fire overgangene til du klarer dem på tre linjer hver.
•Si eksplisitt at differensialformen gjelder punktvis og at volumet eller flaten er vilkårlig. Det er den setningen som gir forståelsespoenget.
•Sjekk alltid \(\nabla\cdot\vec{B} = 0\) når et magnetfelt er oppgitt. Er divergensen ulik null, kan feltet ikke være et magnetfelt, og da er du ferdig.
•Utled grensebetingelsene med en pilleboks og en flat løkke framfor å pugge dem. Da husker du hvilken som gjelder tangentielt og hvilken normalt.
•Har du fri overflateladning eller fri overflatestrøm, er det bare \(D_n\) og \(H_t\) som hopper. \(E_t\) og \(B_n\) er kontinuerlige uansett.
Numerisk elektromagnetisme (Python)
•Numerikk har vært med i 11 av de 13 siste settene, og i 2023 og 2024 var Jupyter-delen et eget sett på 100 poeng. Sett av minst halve lesetiden til å skrive kode selv, ikke bare til å lese ferdig kode.
•Ha byggeklossene innøvd: en Coulomb-sum over en diskretisert fordeling, en Biot–Savart-sum med np.cross, en Jacobi-løser for Laplace-likningen og en Euler-løkke for en RC-krets.
•Verifikasjonsoppgaven kommer nesten alltid, og den er lett å score på: plott det numeriske og det analytiske resultatet i samme figur langs en akse der du har et eksakt uttrykk.
•Bruk np.meshgrid med indexing="ij", og husk å transponere alle argumentene til streamplot.
•Kommenter koden og skriv én setning om hva plottet viser. Sensorveiledningene gir poeng for forklaringen selv når programmet ikke kjører.