FYS1120

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Elektromagnetisme

eksamenssett.no

Formler

Elektrostatikk

• $\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{R^2}\hat{\mathbf{R}}, \quad V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{R}, \quad \mathbf{E} = -\nabla V$
• $\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{inn}}}{\epsilon_0} \quad \text{(Gauss' lov)}$

Spesielle geometrier

•Kule (innvendig): $E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$ | Kule (utvendig): $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$
•Uendelig plan: $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ | Lang sylinder: $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$

Kondensator

• $C = \frac{\epsilon A}{d}, \quad U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$

Strom og motstand

• $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}, \quad R = \frac{L}{\sigma A}, \quad V = IR, \quad P = I^2R$

Kretser

•RC: $\tau = RC, \quad V_C = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ | RL: $\tau = L/R, \quad I = \frac{V_0}{R}(1 - e^{-t/\tau})$

Magnetostatikk

• $d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\mathbf{l}' \times \hat{\mathbf{R}}}{R^2}, \quad \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{inn}}$
•Lang rett leder: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ | Solenoid: $B = \mu_0 n I$

Induksjon

• $\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}, \quad \Phi_B = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}, \quad M = \frac{\Phi_{12}}{I_1}, \quad L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$

Maxwells likninger

• $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$

EM-bolger

• $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}, \quad |E| = c|B|, \quad \mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, \quad D_{1n} = D_{2n}, \quad E_{1t} = E_{2t}$

Konstanter

• $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}, \quad \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}, \quad \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8.988 \times 10^{9} \text{ Nm}^2/\text{C}^2$

Nøkkelformler per tema

Elektrostatikk

•Coulombs lov: $\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R^2} \hat{\mathbf{R}}$
•Superposisjon: $\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_i \frac{q_i}{R_i^2} \hat{\mathbf{R}}_i$
•Potensial: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ (skalar, ingen vektoraddisjon)
•Sammenheng felt-potensial: $\mathbf{E} = -\nabla V$
•Linjeladning: $d\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda \, dl'}{R^2} \hat{\mathbf{R}}$

Gauss' lov og symmetriske systemer

•Gauss' lov: $\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{inn}}}{\epsilon_0}$
•Kule (utenfor): $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$
•Kule (innenfor): $E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$
•Uendelig plan: $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$
•Uendelig sylinder: $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$

Kondensatorer og dielektrika

•Platekondensator: $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ (med dielektrikum: $C = \frac{\epsilon A}{d}$ )
•Energi: $U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$
•D-felt: $\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \epsilon \mathbf{E}$
•Grensebetingelse normal: $D_{1n} = D_{2n}$ (uten fri overflateladning)
•Grensebetingelse tangential: $E_{1t} = E_{2t}$

Elektriske kretser

•RC oppladning: $V_C(t) = V_0(1 - e^{-t/RC})$
•RC utladning: $V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$
•RL innkobling: $I(t) = \frac{V_0}{R}(1 - e^{-Rt/L})$
•Tidskonstanter: $\tau_{RC} = RC, \quad \tau_{RL} = L/R$
•KVL: $\sum V_i = 0$ rundt lukket sloyfe

Magnetostatikk

•Biot-Savarts lov: $d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\mathbf{l}' \times \hat{\mathbf{R}}}{R^2}$
•Amperes lov: $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{inn}}$
•Lang rett leder: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
•Magnetisk dipolmoment: $\mathbf{m} = I A \hat{\mathbf{n}}$
•Dipolfelt langs aksen: $B_z = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{z^3}$ (for $z \gg a$ )

Elektromagnetisk induksjon og induktans

•Faradays lov: $\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
•Magnetisk fluks: $\Phi_B = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$
•Gjensidig induktans: $M = \frac{\Phi_{12}}{I_1}$
•Selvinduktans solenoid: $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
•Fluks fra lang leder: $\Phi = \frac{\mu_0 I h}{2\pi} \ln\frac{b}{a}$

Motstand og stromleding

•Mikroskopisk Ohms lov: $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$
•Motstand: $R = \frac{L}{\sigma A} = \frac{\rho L}{A}$
•Seriekobling: $R = R_1 + R_2$
•Parallellkobling: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
•Effekt: $P = IV = I^2 R = V^2/R$

Maxwells likninger og EM-bolger

•Gauss E: $\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0$
•Gauss B: $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
•Faraday: $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t$
•Ampere-Maxwell: $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \partial\mathbf{E}/\partial t$
•Lysfart: $c = 1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0} \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
•EM-bolge: $|E| = c|B|$ , E og B vinkelrette pa hverandre og pa forplantningsretningen

Numerisk elektromagnetisme (Python)

•Numerisk Coulomb: $\mathbf{E} = \sum_i \frac{Q_i}{4\pi\epsilon_0} \frac{\mathbf{R}_i}{|\mathbf{R}_i|^3}$
•Ladningselement: $Q_i = \sigma \cdot dA = \frac{Q}{N_x N_y} \cdot \frac{(2a)^2}{N_x N_y}$
•np.linalg.norm(R)**3 i nevneren (IKKE **2, fordi R i telleren er en vektor, ikke enhetsvektor)
•sc.epsilon_0 fra scipy.constants gir $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m

Vanlige feil å unngå

Elektrostatikk

•Glemme at E-feltet er en vektor: du ma addere komponent for komponent, ikke bare storrelsene.
•Feil fortegn pa R-vektoren: R peker alltid FRA kilden TIL feltpunktet.
•Forveksle potensial (skalar) med felt (vektor): V = 0 betyr IKKE at E = 0.
•Ved kontinuerlige fordelinger: glemme a uttrykke dq korrekt i form av ladningstetthet og geometri.

Gauss' lov og symmetriske systemer

•Bruke Gauss' lov uten tilstrekkelig symmetri: loven gjelder alltid, men er bare nyttig nar E kan trekkes ut av integralet.
•Glemme at feltet fra et uendelig plan er sigma/(2*epsilon_0), ikke sigma/epsilon_0. Sistnevnte gjelder mellom platene i en platekondensator.
•Ved kule-med-hull: glemme at superposisjon krever at den lille kulen har NEGATIV ladningstetthet (-rho).
•Blande sammen Q_total og Q_innesluttet i Gauss' lov.

Kondensatorer og dielektrika

•Forveksle E-felt mellom platene (sigma/epsilon_0) med E-felt fra et enkelt plan (sigma/(2*epsilon_0)).
•Glemme at kapasitansen endres nar du endrer plateavstand: halverer du d, dobles C, men ladningen Q er konstant nar kretsen er apen.
•Ved dielektrika: bruke Gauss' lov med E-felt i stedet for D-felt. Gauss' lov for D inkluderer kun frie ladninger.
•Forveksle seriekobling (1/C = 1/C1 + 1/C2) med parallellkobling (C = C1 + C2).

Elektriske kretser

•Glemme at kondensatorspenning og spoletrom er kontinuerlige: V_C og I_L kan ikke hoppe instantant.
•Forveksle stasjonaer tilstand: kondensator = apen (I=0), spole = kortslutning (V=0).
•Feil fortegn i KVL: vaer konsekvent med stromretning og spenningsfall.
•Glemme a bruke riktig initialbetingelse etter bryterendring.

Magnetostatikk

•Feil retning pa B-feltet: bruk hoyrehandsregelen konsekvent. Krul fingrene i stromretningen, tommelen peker i feltretningen.
•Glemme at Amperes lov kun gir den innesluttede strommen -- strom utenfor Ampere-sloyfen bidrar ikke til linjeintegralet.
•For sylinderskall: forveksle med massiv sylinder. Skallet har all strom pa overflaten, sa B = 0 innenfor.
•Forveksle mu_0 med epsilon_0 i formlene.

Elektromagnetisk induksjon og induktans

•Glemme minustegnet i Faradays lov (Lenz' lov): den induserte EMK-en motvirker fluksendringen.
•Feil integrasjonsgrenser nar du beregner fluks: grensene er avstander fra den stromforende lederen, ikke koordinater.
•For gjensidig induktans: glemme a dele fluksen pa strommen.
•Ved sylinderskall (2025 Oppg 4b): glemme at B = 0 for r < a, sa bare den ytre delen av kretsen bidrar til fluksen.

Motstand og stromleding

•Forveksle konduktivitet (sigma) med resistivitet (rho = 1/sigma).
•Bruke feil tverrsnittsareal: for et sylinderskall er A = pi(b^2 - a^2), ikke pi*b^2.
•Glemme at stromretningen bestemmer hvilken dimensjon som er 'lengde' og hvilken som er 'tverrsnitt' i R = rho*L/A.
•Ved sammensatte ledere: glemme at stromtettheten kan vaere ulik i de to materialene nar de er koblet i parallell.

Maxwells likninger og EM-bolger

•Glemme forskyvningsstrom-leddet i Ampere-Maxwells lov: dette er nodvendig for konsistens og for EM-bolger.
•Forveksle integral- og differensialform av Maxwells likninger: integralformen bruker fluksintegraler, differensialformen bruker divergens og curl.
•Ved divergens-beregning: glemme at d/dx bare virker pa x-komponenten av feltet, etc.
•Forveksle E_0 og B_0 i EM-bolger: husk at E_0 = c*B_0, sa E >> B numerisk.

Numerisk elektromagnetisme (Python)

•Bruke R/norm(R)**2 i stedet for R/norm(R)**3: husk at R er en vektor, sa du trenger en ekstra norm i nevneren.
•Glemme a haandtere singulariteten nar r = ri (feltpunkt = kildepunkt). Legg til en liten offset eller hopp over.
•Feil parametrisering av ladningsfordelingen: sjekk at summen av alle dQ gir riktig total ladning.
•Plotte uten enheter: bruk alltid z/a pa aksen for dimensjonslos fremstilling.

Eksamenstips

Elektrostatikk

•Oppgave 1 pa nesten alle eksamener (2019, 2021, 2023, 2025) handler om superposisjon av punktladninger eller kontinuerlige fordelinger.
•Nar oppgaven gir symmetrisk plasserte ladninger, bruk symmetri til a eliminere komponenter for du regner.
•Halvsirkel- og ringladninger er favoritter: parametriser med vinkel og integrer komponentvis.

Gauss' lov og symmetriske systemer

•Kuleoppgaver med Gauss' lov er pa de fleste eksamener (2019, 2021, 2023). Ovv tre regioner: inne i hull, inne i materiale, utenfor.
•Nar du ser 'to parallelle plater med ulike ladninger', bruk superposisjon av to uendelige plan -- IKKE Gauss' lov direkte.
•Kule-med-hull oppgaven (2023 Oppg 2) er en gjenganger. Husk: superposisjon = hel kule + negativ liten kule.

Kondensatorer og dielektrika

•Kondensatoroppgaver med bryter-logikk (2023 kont Oppg 4, 2025 Oppg 2) er vanlige. Tenk: hva er konstant nar bryteren er apen (Q) vs. lukket (V)?
•Nar en leder plasseres mellom platene, tenk serie-kobling og redusert effektivt gap.
•Grensebetingelser (D_n kontinuerlig, E_t kontinuerlig) er testet i midtveis-flervalg (2024) og i langsvarsoppgaver med dielektrika.

Elektriske kretser

•Kretsoppgaver er pa ALLE eksamener (2019, 2021, 2023, 2023 kont, 2025). Forstaa monsterets tre trinn: stasjonaer, umiddelbart etter, differensiallikning.
•Start alltid med a finne stasjonaer tilstand for bryteren endres -- dette gir deg initialbetingelsen.
•Nar oppgaven sier 'du behover ikke lose differensiallikningen', er det nok a sette den opp riktig. Men vis tydelig hvordan du bruker KVL.

Magnetostatikk

•Magnetfelt fra to parallelle ledninger (2023 Oppg 5) krever superposisjon av to bidrag -- vaer noye med retninger.
•Amperes lov for sylinderskall (2025 Oppg 4) er direkte analog med Gauss' lov for kuleskall -- null felt innvendig.
•Magnetisk dipol (2023 kont Oppg 5): husk at m = I*pi*a^2 og at dipolfeltet gjelder for store avstander.

Elektromagnetisk induksjon og induktans

•Gjensidig induktans mellom en lang leder og en krets er en gjenganger (2023 Oppg 5, 2023 kont Oppg 5, 2025 Oppg 4). Beregn fluks forst, del pa I.
•Nar kretsen beveger seg i et felt, bruk Faradays lov: beregn Phi(t) og deriver.
•Symmetri i fluks-integraler: utnytt at B ofte er symmetrisk for a forenkle beregningen.

Motstand og stromleding

•Motstandsoppgaver (2019 Oppg 3, 2023 kont Oppg 3) krever at du utleder R fra forsteprinsippene, ikke bare bruker formelen.
•Tenk alltid: hva er tverrsnittet som strommen gar gjennom? Det bestemmer A i R = L/(sigma*A).
•Ved sammensatte materialer: sjekk om de er i serie (samme strom) eller parallell (samme spenning).

Maxwells likninger og EM-bolger

•Maxwells likninger pa differensialform og divergens/curl-beregninger er testet eksplisitt (2019 Oppg 5). Ovv a beregne div og curl fra komponentene.
•EM-bolger er sjeldnere pa langsvarseksamener, men dukker opp i flervalgsoppgaver. Husk: E, B og forplantningsretning er gjensidig vinkelrette.
•Bruk alltid nabla dot B = 0 som konsistenssjekk nar du har beregnet et B-felt.

Numerisk elektromagnetisme (Python)

•Jupyter-oppgaven (2023, 2024, 2025) folger alltid samme monster: du far oppgitt kode for en enkel geometri og ma tilpasse den til en ny.
•Forsta strukturen til eksempelkoden: ytre loyke over feltpunkter, indre loyke over kildeelementer.
•Sammenlikningsoppgaver (endelig vs. uendelig plan) tester fysisk intuisjon: kommenter at feltet interpolerer mellom de to grensene.

FYS1120 Formelark | Eksamenssett