FYS1120 · UiO

Studieguide for FYS1120 Elektromagnetisme

Komplett pensumoversikt for elektromagnetisme ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

FYS1120 Elektromagnetisme ved Universitetet i Oslo går fra Coulombs lov og Gauss' lov via kapasitans, resistans og kretser til Biot–Savart, induksjon og Maxwells likninger — med Python som eget verktøy gjennom hele emnet. Emnet går om høsten, og FYS1120L har samme eksamen.

Karakteren settes av to eksamener: en midtveiseksamen på 3 timer i oktober som teller 20 %, og en avsluttende eksamen på 4 timer i desember som teller 80 %. Hjelpemidler på begge: godkjent kalkulator, Rottman «Matematisk formelsamling» og Øgrim/Angell og Lian «Fysiske størrelser og enheter». Settene 2017–2019 hadde FYS1120-formelarket som vedlegg; forsidene 2021–2025 nevner det ikke, men oppgavene oppgir selv spesialresultatene de vil at du skal bruke.

Guiden bygger på 36 eksamenssett 2009–2025, UiOs løsningsforslag til 35 av dem og sensorveiledningene til 9. Tallene i hver seksjon er talt opp deloppgave for deloppgave:

Avsluttende eksamen 2021–2025 (5 eksamener, 99 deloppgaver): fem oppgaver med ett fysisk oppsett hver og a/b/c som bygger på hverandre. Svarene er symbolske — uttrykk i $a$ , $Q$ , $\rho$ , $I$ , $\varepsilon_0$ , $\mu_0$ — aldri tall. «Finn et uttrykk» er 37 % av deloppgavene, flervalg 25 % (2021 og 2022), skriv et program 17 %, forklar/begrunn 11 % og «vis at» 8 %.
Fast skjelett 2023–2025: ladninger og felt/potensial → Gauss, kondensator eller dielektrikum → resistans eller krets → krets med bryter ( $I(0)$ , $I(\infty)$ , differensiallikning og løsning) → magnetfelt med gjensidig induktans $L_{12}$ . $L_{12}$ var egen deloppgave i 3 av 3 avsluttende eksamener 2023–2025, og induktans (selv- eller gjensidig) kom i 5 av 5 2021–2025.
Kode: i 10 av 11 avsluttende eksamener 2018–2025. I 2023 og 2024 var det et eget Jupyter-sett på 100 poeng; i 2025 var det oppgave 5 av 5, skrevet på papir: en funksjon som summerer bidrag fra punkter på et endelig plan, sammenliknet med det uendelige planet og en punktladning.
Midtveis 2017–2025 (6 sett, 95 flervalgsoppgaver): bare første halvdel av emnet — potensial 22 %, kapasitans og dielektrika 18 %, Gauss og ledere 17 %, felt 16 %, resistans 12 %. Kretser og induksjon har ikke vært med.

Hver seksjon starter med «Hva eksamen spør om» (oppgavetypene med målt frekvens), viser fremgangsmåten steg for steg på egne eksempler og avslutter med feilene sensorveiledningene trekker for.

Elektrisk felt og Coulombs lov

Eksamensrelevant

R-vektoren, superposisjon av punktladninger, felt fra ladning på linjer og buer med symmetri og integral, og programmet som summerer Coulomb-bidrag. Med i 5 av 5 avsluttende eksamener 2021–2025 og i 6 av 6 midtveissett, nesten alltid som oppgave 1.

Hva eksamen spør om

Feltet fra ladninger er med i alle avsluttende eksamener 2021–2025 (4 av 5 som hovedtema, 5 av 5 medregnet deloppgaver der det er et mellomsteg) og i 6 av 6 midtveissett 2017–2025. Det er nesten alltid oppgave 1. Oppgavetypene:

Punktladninger og R-vektoren: feltet i et punkt som vektor, eller «hva er R-vektoren», «hvor er $|\vec{E}|$ størst». I 5 av 5 avsluttende eksamener 2021–2025 (H2024 1, H2025 1a) og i 4 av 6 midtveissett.
Kontinuerlig fordeling: linje, bue eller ring, med $d\vec{E}$ , symmetri og integral. I 4 av 5 avsluttende eksamener 2021–2025, blant annet H2025 1b–c og H2022 1.
Program som summerer Coulomb-bidrag og sammenlikner med et eksakt resultat: skrevet på papir i H2025 5, i Jupyter i H2023 og H2024, og i 2018 og 2019.
Tegning av feltet med retning: 2018- og 2019-veiledningene trekker to poeng for manglende figur og ett når feltets retning ikke er tegnet inn.

Slik gjør du det

Punktladninger

Skriv R-vektoren for hver ladning: feltpunkt minus kildepunkt, $\vec{R}_i=\vec{r}-\vec{r}_i$ , og lengden $R_i$ .
Bidraget er $\vec{E}_i=\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{R}_i}{R_i^3}$ . Fortegnet til $q_i$ følger med; retningen kommer fra $\vec{R}_i$ .
Legg sammen komponent for komponent, og oppgi svaret som vektor.

Eksempel 1 (midtveisform). Ladningen $q$ sitter i $(a,0,0)$ og i $(-a,0,0)$ , og $-q$ sitter i $(0,a,0)$ . Hva er feltet i $(0,-a,0)$ ? A) $\vec{0}$ B) $-0{,}46\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2}\hat{y}$ C) $0{,}96\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2}\hat{y}$ D) $-0{,}96\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2}\hat{y}$ E) $0{,}46\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2}\hat{x}$

R-vektorer: fra $(a,0,0)$ : $(-a,-a,0)$ , fra $(-a,0,0)$ : $(a,-a,0)$ , begge med lengde $\sqrt2a$ . Fra $(0,a,0)$ : $(0,-2a,0)$ , lengde $2a$ .
De to $q$ -bidragene har like store og motsatte $x$ -komponenter. $y$ -komponentene blir til sammen $2\cdot\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{-a}{(\sqrt2a)^3}=-\frac{1}{\sqrt2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2}$ .
Bidraget fra $-q$ : $\frac{-q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{-2a}{(2a)^3}=+\frac14\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2}$ , rettet mot $-q$ .
Sum: $\left(\frac14-\frac{1}{\sqrt2}\right)\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2}\hat{y}=-0{,}457\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a^2}\hat{y}$ . D har fortegnet på $-q$ -bidraget feil.

Svar: B.

Kontinuerlig fordeling

Parametriser kilden: $\vec{r}\,'(\phi)$ eller $\vec{r}\,'(x')$ , og skriv $dq=\rho_l\,dl$ med riktig lengdeelement (på en bue $dl=a\,d\phi$ ).
Skriv $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}\,'$ og $R$ ved parameteren.
Bruk symmetri til å si hvilke komponenter som blir null, med ord.
Integrer de komponentene som gjenstår, og kontroller mot en punktladning langt unna.

Eksempel 2. Ladningen $Q$ er jevnt fordelt på en kvartsirkel med radius $a$ og sentrum i origo, i første kvadrant av $xy$ -planet. Finn $\vec{E}$ i origo.

Kvartsirkelen i første kvadrant med et ladningselement dq ved vinkelen φ, R-vektoren fra elementet til origo, og feltet i origo som peker skrått ned mot venstre.

Buelengden er $\pi a/2$ , så $\rho_l=\frac{2Q}{\pi a}$ og $dq=\rho_la\,d\phi=\frac{2Q}{\pi}d\phi$ .
Elementet sitter i $\vec{r}\,'=a(\cos\phi,\sin\phi,0)$ . Feltpunktet er origo, så $\vec{R}=-a(\cos\phi,\sin\phi,0)$ og $R=a$ .
$d\vec{E}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3}=-\frac{Q}{2\pi^2\varepsilon_0a^2}(\cos\phi,\sin\phi,0)\,d\phi$ .
Symmetri om linjen $y=x$ gir $E_x=E_y$ . $\int_0^{\pi/2}\cos\phi\,d\phi=\int_0^{\pi/2}\sin\phi\,d\phi=1$ .

Svar: $\vec{E}(0)=-\frac{Q}{2\pi^2\varepsilon_0a^2}(\hat{x}+\hat{y})$ , med størrelse $\frac{\sqrt2\,Q}{2\pi^2\varepsilon_0a^2}$ , rettet bort fra buen.

Program

Del kilden i $N$ elementer med ladning $Q_i$ og posisjon $\vec{r}_i$ (midt i elementet).
Sett $\vec{E}$ lik nullvektoren før løkken, og summer $\frac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$ med $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}_i$ .
Sammenlikn med et eksakt uttrykk eller et grensetilfelle, og kommenter hvor avviket er størst.

Eksempel 3. Ladningen $Q$ er jevnt fordelt på linjestykket $0\lt x\lt L$ på $x$ -aksen. Finn $\vec{E}$ i $(0,d,0)$ , rett over den ene enden, og skriv et program som kontrollerer svaret.

$dq=\rho_l\,dx'$ med $\rho_l=Q/L$ , $\vec{R}=(-x',d,0)$ , $R=\sqrt{x'^2+d^2}$ . Ingen symmetri fjerner $E_x$ her.
$\begin{aligned}E_x&=\frac{\rho_l}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^L\frac{-x'\,dx'}{(x'^2+d^2)^{3/2}}\\&=\frac{\rho_l}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{L^2+d^2}}-\frac1d\right)\end{aligned}$ .
$\begin{aligned}E_y&=\frac{\rho_l}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^L\frac{d\,dx'}{(x'^2+d^2)^{3/2}}\\&=\frac{\rho_l}{4\pi\varepsilon_0}\frac{L}{d\sqrt{L^2+d^2}}\end{aligned}$ .
Kontroll: for $d\gg L$ går $E_y$ mot $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0d^2}$ , feltet fra en punktladning.

import numpy as np
eps0 = 8.854e-12

def E_linjestykke(r, L, Q, N):
    # stav fra x = 0 til x = L, delt i N like elementer
    dq = Q/N
    Etot = np.zeros(3)
    for i in range(N):
        rk = np.array([(i + 0.5)*L/N, 0.0, 0.0])   # midtpunktet i element i
        Rv = r - rk                               # fra kilden til feltpunktet
        Etot += dq*Rv/(4*np.pi*eps0*np.linalg.norm(Rv)**3)
    return Etot

L, Q, N = 1.0, 1e-9, 100
k = Q/(4*np.pi*eps0*L)
for d in [0.2*L, L, 5*L]:
    En = E_linjestykke(np.array([0.0, d, 0.0]), L, Q, N)
    Ex = k*(1/np.sqrt(L**2 + d**2) - 1/d)
    Ey = k*L/(d*np.sqrt(L**2 + d**2))
    print(d/L, En[0], Ex, En[1], Ey)

Kjørt gir programmet i $d=L$ $E_x=-2{,}6325$ V/m og $E_y=6{,}3553$ V/m, mot eksakt $-2{,}6324$ og $6{,}3553$ V/m. I $d=0{,}2L$ er avviket størst ( $10^{-4}$ ), fordi elementene nærmest punktet dominerer.

Svar: $E_x=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0L}\left(\frac{1}{\sqrt{L^2+d^2}}-\frac1d\right)$ , $E_y=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0d\sqrt{L^2+d^2}}$ . Programmet gjengir begge.

Komponentene av feltet i (0, d, 0) som funksjon av d/L: y-komponenten avtar og nærmer seg punktladningskurven 1/u² for store d, x-komponenten er negativ og går mot null.

Her går det galt

R-vektoren snudd eller udefinert. 2018- og 2019-veiledningene gir bare 1 poeng når $\vec{R}$ ikke er definert, og trekker for feil retning på den relative vektoren.
Vektor under brøkstreken. Skriv $\vec{R}/R^3$ eller $\hat{R}/R^2$ med lengden $R$ i nevneren. H2024 og H2025 trekker 2 poeng for vektorer under brøkstreken.
Svar som skalar når feltet er spurt etter. 2019 trekker 2 poeng når resultatet ikke er en vektor; oppgi komponentene eller retningen.
Glemt $a$ i buelementet: $dq=\rho_la\,d\phi$ , ikke $\rho_l\,d\phi$ .
I kode: feltet summert som tall i stedet for vektor (2 poengs trekk i 2019 og H2024), eller summen ikke satt til null før løkken (1 poeng i H2024).

Nøkkelformler

•Coulomb: $\displaystyle \vec{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3}$ med $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}\,'$
•Superposisjon: $\displaystyle \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_iq_i\frac{\vec{r}-\vec{r}_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}$
•Fordeling: $\displaystyle \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\vec{R}}{R^3}dq$ med $dq=\rho_l\,dl=\rho_s\,dA=\rho\,dv$
•Bue med radius $a$ : $dl=a\,d\phi$
•Uendelig linje: $\displaystyle E=\frac{\rho_l}{2\pi\varepsilon_0r}$ ; uendelig plan: $\displaystyle E=\frac{\rho_s}{2\varepsilon_0}$
•Ring på aksen: $\displaystyle E_z=\frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(a^2+z^2)^{3/2}}$

Vanlige feil

⚠️Å snu R-vektoren. Den går fra kilden til feltpunktet: $\vec{r}-\vec{r}\,'$ .
⚠️Å skrive en vektor i nevneren, eller $\vec{R}/R^2$ i stedet for $\vec{R}/R^3$ .
⚠️Å legge sammen størrelser i stedet for komponenter.
⚠️Å glemme radien i buelementet: $dq=\rho_la\,d\phi$ .
⚠️Å påstå at en komponent er null uten å begrunne det med symmetri.
⚠️Å summere feltet som tall i koden, eller å glemme å nullstille summen før løkken.

Eksamenstips

💡Tegn systemet, marker R-vektoren og feltets retning i punktet. Figuren gir egne poeng.
💡Skriv $\vec{R}$ i komponenter før du setter inn: feltpunkt minus kildepunkt.
💡Si hvilke komponenter symmetrien fjerner, og hvorfor, før du integrerer.
💡Kontroller svaret mot en punktladning langt unna, eller mot et uendelig plan eller en uendelig linje.
💡I programmet: nullvektor før løkken, $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}_i$ , og np.linalg.norm(R)**3 i nevneren.

Laster...

Laster…