FYS1100 · UiO

Studieguide for FYS1100 Mekanikk

Komplett pensumoversikt for mekanikk ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

FYS1100 Mekanikk og modellering er UiOs første mekanikkemne: Newtons lover, energi, bevegelsesmengde, rotasjon, gravitasjon, svingninger og spesiell relativitetsteori, løst både analytisk og numerisk i Python. Emnet gis både vår og høst, og karakteren settes av to eksamener: midtveiseksamen (3 timer, 20 flervalgsoppgaver, teller 20 %) og avsluttende eksamen (4 timer, regneoppgaver der alle deloppgaver teller likt, teller 80 %). Hjelpemidlene er de samme på begge: Rottmanns matematiske formelsamling og godkjent kalkulator. På avsluttende eksamen følger FYS1100-formelarket med bakerst i settet.

Denne guiden er bygd på de 18 eksamenssettene UiO har publisert for emnet med FYS1100-koden – 8 avsluttende eksamener (H2022–V2026), 8 midtveiseksamener (H2022–V2026) og de to prøveeksamenene fra H2022 – og på UiOs løsningsforslag til hvert av dem. Hver deloppgave er klassifisert etter tema og oppgavetype, og alle frekvenser i guiden er talt, ikke anslått: «i 8 av 8 sett» betyr at typen står i alle de åtte avsluttende eksamenene.

Det viktigste mønsteret er at de to eksamenene prøver ulike ting:

Avsluttende eksamen har 11–25 deloppgaver. Rotasjon og spinn er største tema (16 % av deloppgavene, i 8 av 8 sett), og relativitet (7 av 8 sett), kodeoppgaver (7 av 8), frilegemediagram (7 av 8) og et Fermi-estimat (5 av 8) går igjen nesten hver gang.
Midtveiseksamen er 20 flervalgsoppgaver om den første halvdelen: krefter og friksjon (27 % av oppgavene), energi (18 %), sirkelbevegelse (16 %) og kinematikk (15 %), pluss Taylorpolynom i 7 av 8 sett. Relativitet har aldri vært med, og rotasjon bare én gang, som dimensjonsanalyse av rotasjonsenergien til ei kule (H2025 oppg. 8).

Seksjonene følger temalista i emnet. Hver seksjon starter med Hva eksamen spør om (oppgavetypene med målt frekvens), viser fremgangsmåten steg for steg med gjennomregnede eksempler i eksamensform, og avslutter med feilene som koster poeng. Bruk eksamensstrategien under til å fordele tida, og formelarket til å se hva du får oppgitt og hva du må kunne selv.

Spesiell relativitetsteori

Eksamensrelevant

Tidsdilatasjon, lengdekontraksjon, hastighetstransformasjon og samtidighet med Lorentz-transformasjonen. Temaet er med i 7 av 8 ordinære sett, men aldri på midtveiseksamen.

Hva eksamen spør om

Spesiell relativitetsteori er med i 7 av 8 ordinære sett (H2022–V2026; bare H2024 mangler), sist V2026, og utgjør nesten en tidel av deloppgavene. Temaet kommer aldri på midtveiseksamen. Oppgavene er korte og regner med oppgitte tall, eller ber deg forklare med samtidighet.

Tidsdilatasjon og egentid: V2023 6a, H2023 9a, V2025 6a–b. «I hvilket system måles egentiden, og hvorfor?» var en egen deloppgave i V2025.
Lengdekontraksjon, også baklengs (finn farten fra målt lengde): V2023 6b, H2023 9b.
Hastighetstransformasjon, gjerne sammenlignet med Galilei: H2025 4b, V2026 5a–b.
Paradoks forklart med samtidighet: H2022 8, V2024 7, og «hvem kommer først?» i H2025 4c.
Romtidsdiagram og Lorentz-transformasjon av en hendelse: H2025 4d–e.

Lorentz-transformasjonen, $\gamma$ , hastighetstransformasjonen, $\Delta t = \gamma\Delta t_0$ og $l = l_0/\gamma$ står på formelarket.

Slik gjør du det

Type 1: Tidsdilatasjon

Skriv opp de to hendelsene (for eksempel «lampa blinker», «lampa blinker igjen»).
Finn systemet der begge skjer på samme sted. Der måles egentiden $\Delta t_0$ .
I alle andre system er $\Delta t = \gamma\Delta t_0$ , som er lengre.
Skal farten finnes, løs $\gamma$ -uttrykket for $v$ , slik at $v$ står alene.

Eksempel 1 (symbolsk og tall). En lampe om bord i en romsonde blinker med periode $\Delta t_0$ målt om bord. En stasjon som sonden passerer, måler perioden $\Delta t$ (korrigert for gangtiden til lyset). (a) Vis at $v = c\sqrt{1 - (\Delta t_0/\Delta t)^2}$ . (b) Finn $v$ når $\Delta t_0 = 2{,}0$ s og $\Delta t = 2{,}5$ s.

Blinkene skjer på samme sted om bord, så $\Delta t_0$ er egentiden, og $\Delta t = \gamma\Delta t_0$ (formelarket).
$\gamma = \Delta t/\Delta t_0$ , altså $1 - v^2/c^2 = (\Delta t_0/\Delta t)^2$ .
Løs for $v$ : $v = c\sqrt{1 - (\Delta t_0/\Delta t)^2}$ , som skulle vises.
Tall: $\Delta t_0/\Delta t = 0{,}80$ gir $v = c\sqrt{1 - 0{,}64} = 0{,}60c$ .

Grafen til gamma som funksjon av v/c fra 0 til 0,94, med punktene (0,60; 1,25) og (0,80; 1,67) og en stiplet linje ved v = c.

Svar: $v = c\sqrt{1 - (\Delta t_0/\Delta t)^2} = 0{,}60c$ , med $\gamma = 1{,}25$ .

Type 2: Lengdekontraksjon

Egenlengden $l_0$ måles i systemet der gjenstanden er i ro.
I systemet der den beveger seg, er lengden i fartsretningen $l = l_0/\gamma$ .
Kontroller med en passeringstid: $\text{lengde}/\text{fart}$ regnet i begge system skal passe med tidsdilatasjonen.

Eksempel 2 (tall). En romsonde er 30 m lang i hvile. Fra en stasjon måles lengden til 18 m. (a) Hvor fort går sonden? (b) Hvor lang tid bruker sonden på å passere et fast merke på stasjonen, målt fra stasjonen og målt om bord? Hvilken av tidene er egentid?

$\gamma = l_0/l = 30/18 = 5/3$ , så $v = c\sqrt{1 - (3/5)^2} = 0{,}80c$ .
Stasjonen: sonden er 18 m og beveger seg forbi merket, $\Delta t = 18\text{ m}/(0{,}80c) = 75$ ns.
Om bord: merket beveger seg langs 30 m sonde, $\Delta t' = 30\text{ m}/(0{,}80c) = 125$ ns.
Begge hendelsene (fronten passerer merket, halen passerer merket) skjer ved merket, altså samme sted i stasjonens system. Stasjonen måler egentiden, og $125 = \tfrac53 \cdot 75$ ns stemmer.

Svar: $v = 0{,}80c$ . Passeringen tar 75 ns målt fra stasjonen (egentid) og 125 ns målt om bord.

Type 3: Hastighetstransformasjon

Velg system S og system S′ som beveger seg med $u$ langs $x$ . Skriv fortegnene: bevegelse mot venstre har negativ fart.
Fra S′ til S: $w = \dfrac{v' + u}{1 + uv'/c^2}$ . Fra S til S′: $v' = \dfrac{v - u}{1 - uv/c^2}$ (formelarket).
Kontroller at $|w| \lt c$ , og sammenlign gjerne med Galilei ( $v' + u$ ).

Eksempel 3 (tall). Et romskip har farten 0,60c relativt til en planet og skyter en sonde rett fram med 0,70c relativt til skipet. Finn sondens fart i planetens system.

$u = 0{,}60c$ og $v' = 0{,}70c$ .
$w$ $= \dfrac{0{,}70c + 0{,}60c}{1 + 0{,}60 \cdot 0{,}70}$ $= \dfrac{1{,}30c}{1{,}42}$ $= 0{,}915c$ .
Galilei ville gitt 1,30c, som er større enn $c$ og derfor umulig.

Sondens fart w/c mot v′/c: den relativistiske kurven går fra 0,6 til 1 og er 0,915 ved v′ = 0,70; Galilei-linja v′ + 0,6 er 1,30 ved samme v′.

Svar: $w = 0{,}915c$ . Avviket fra Galilei blir lite først når $uv'/c^2$ er lite.

Type 4: Samtidighet, paradokser og romtidsdiagram

Skriv hver hendelse som $(x, t)$ i ett system.
Transformer med $t' = \gamma(t - ux/c^2)$ og $x' = \gamma(x - ut)$ (formelarket).
Hendelser som er samtidige på ulike steder i S, er ikke samtidige i S′. To hendelser på samme sted har samme rekkefølge i alle system.
I romtidsdiagrammet er verdenslinjene rette linjer: lys har stigning 1 når aksene er $x$ og $ct$ . Linja $t' = 0$ er $ct = (u/c)\,x$ .

Eksempel 4 (tall og forklaring). To lamper står i ro på en stasjon, A i $x = 0$ og B i $x = 600$ m. De blinker samtidig i stasjonens system ved $t = 0$ . Et skip passerer A ved $t = 0$ med 0,60c i positiv $x$ -retning. Hvilken lampe blinker først i skipets system, og hvor mye tidligere?

$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}36} = 1{,}25$ .
Blink A: $(0, 0)$ gir $t'_A = 0$ .
Blink B: $t'_B$ $= \gamma\left(0 - \dfrac{ux}{c^2}\right)$ $= -1{,}25 \cdot \dfrac{0{,}60 \cdot 600\text{ m}}{c}$ $= -1{,}5$ µs.
I diagrammet ligger blink B under skipets linje $t' = 0$ : det skjedde før for skipet. En observatør midt mellom lampene ser begge blinkene samtidig, i $(300, 300)$ .

Romtidsdiagram med x og ct i meter: skipets verdenslinje ct = x/0,6, skipets samtidighetslinje ct = 0,6x som går gjennom (600, 360), og lyset fra A og B som møtes i (300, 300).

Svar: Lampe B blinker 1,5 µs før A i skipets system. Begge system har rett. De er uenige om samtidighet fordi blinkene skjer på ulike steder.

Her går det galt

Egentid i feil system. Egentiden måles der hendelsene skjer på samme sted, ikke der observatøren er «i ro». Sensorveiledningen til V2025 6a ga 3 av 5 poeng for forklaringen.
$l$ og $l_0$ byttet om. Bevegelige gjenstander blir kortere. Sensorveiledningen til H2023 9b ga 2 poeng for ombyttet svar.
Klassisk regning. Bevegelseslikninger uten Lorentz-faktor ga 0 poeng i V2025 6b.
$v$ på begge sider. Uttrykket er ikke ferdig før $v$ står alene. V2025 6b ga maks 3 poeng for det.
Fortegn i hastighetstransformasjonen. To legemer som møtes, har motsatte fortegn på farten.

Nøkkelformler

• $\gamma = 1/\sqrt{1 - u^2/c^2}$ (formelarket)
•Tidsdilatasjon: $\Delta t = \gamma\Delta t_0$ , $\Delta t_0$ = egentid (samme sted)
•Lengdekontraksjon: $l = l_0/\gamma$ , $l_0$ = egenlengde (gjenstanden i ro)
•Lorentz: $x' = \gamma(x - ut)$ , $t' = \gamma(t - ux/c^2)$
•Hastighet: $v' = (v - u)/(1 - uv/c^2)$
•Farten fra $\gamma$ : $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$
•Lys i romtidsdiagram med akser $x$ og $ct$ : stigning $\pm 1$ ; linja $t' = 0$ er $ct = (u/c)x$

Vanlige feil

⚠️Sier at egentiden måles der observatøren er i ro, i stedet for der de to hendelsene skjer på samme sted.
⚠️Bytter om $l$ og $l_0$ , slik at den bevegelige gjenstanden blir lengre.
⚠️Regner med vanlige bevegelseslikninger uten Lorentz-faktor.
⚠️Lar $v$ stå på begge sider av likhetstegnet når farten skal finnes.
⚠️Glemmer fortegnet på farten til et legeme som beveger seg mot venstre i hastighetstransformasjonen.

Eksamenstips

💡Skriv alltid opp de to hendelsene først; da ser du hvor egentiden måles.
💡Kontroller tall ved å regne samme passering i begge system: forholdet skal være $\gamma$ .
💡Bruk lysår og år med $c = 1$ når avstandene er store; da blir $ux/c^2$ enkel.
💡Forklaringsoppgaver om paradokser: pek på hvilke hendelser systemene er uenige om samtidigheten til.
💡I romtidsdiagram: tegn verdenslinjer som rette linjer og merk skalaen på begge akser.

Laster...

Laster…