Oversikt og prioritering

Termofysikk er sammen med elektrisitet og mekanikk det tyngste temaet i FYS1001, og det opptrer i om lag fire av fem eksamenssett. Legg spesielt merke til at varmetransport har sitt eget avsnitt på formelarket: varmeledning og U-verdi, konveksjon og strålingsbalanse er like eksamensrelevant som gasslov og Carnot-virkningsgrad. Mange undervurderer nettopp den delen og taper unødvendige poeng.

Varme, varmekapasitet og faseoverganger

Temperatur i kelvin: \$T = t\\,[^\\circ\\text{C}] + 273\$. Oppvarming uten faseovergang koster \$Q = c_v m \\Delta T\$, mens en faseovergang koster \$Q = lm\$ ved konstant temperatur. En temperatur–tid-graf leses derfor slik: skrå partier er oppvarming i én fase (hellingen gir \$c_v\$), og flate platåer er faseoverganger (lengden gir \$l\$, nivået gir smelte- eller kokepunktet).

Regn selv gjennom klassikeren: 1{,}0 kg snø på \$-20\\ ^\\circ\$C varmes på en kokeplate som leverer 1000 W. Å varme isen til 0 \$^\\circ\$C krever \$2{,}00 \\cdot 1{,}0 \\cdot 20 = 40\$ kJ (40 s), smeltingen 334 kJ (334 s), oppvarming av vannet til 100 \$^\\circ\$C 418 kJ (418 s) og fordampingen 2260 kJ (2260 s). Til sammen 3052 kJ, altså rundt 51 minutter – og grafen får to markante platåer, der det siste er nesten sju ganger så langt som det første.

Utvidelse ved oppvarming

Faste stoffer utvider seg: \$\\Delta L = \\alpha L_0 \\Delta T\$ og \$\\Delta V = \\gamma V_0 \\Delta T\$. Varmes en gass i en lukket, stiv beholder, holdes volumet konstant og trykket stiger i takt med den absolutte temperaturen.

Ideell gasslov

$$pV = NkT = nRT$$

med \$k = 1{,}38\\times10^{-23}\$ J/K og \$R = 8{,}31\$ J/(mol·K). Skriv om til \$N/V = p/(kT)\$: partikkeltettheten – og dermed massetettheten – øker med trykket og synker med temperaturen. Det er nøkkelen både til «hvor mange molekyler er det i flaska»-oppgaver og til forklaringen på hvorfor varm luft stiger.

Første lov, pV-diagram og prosesser

$$\\Delta U = Q - W$$

der \$Q\$ er varme tilført systemet og \$W\$ er arbeid utført av systemet. Ved konstant trykk er \$W = p\\Delta V\$; generelt er arbeidet arealet under kurven i et pV-diagram. Fire prosesser går igjen:

Isobar (\$p\$ konstant): vannrett linje, \$W = p\\Delta V\$.
Isokor (\$V\$ konstant): loddrett linje, \$W = 0\$, så \$\\Delta U = Q\$.
Isoterm: hyperbelen \$pV = \$konstant, \$\\Delta U = 0\$, så \$Q = W\$.
Adiabatisk: \$pV^\\gamma = \$konstant med \$\\gamma > 1\$, så kurven er brattere enn isotermen gjennom samme punkt. Her er \$Q = 0\$, så \$\\Delta U = -W\$: en gass som ekspanderer adiabatisk kjøles ned uten at varme fjernes.

Andre lov, entropi og virkningsgrad

Varme går spontant fra varmt til kaldt, og entropien til et lukket system kan aldri synke: \$\\Delta S = Q/T\$, summert over alle deler. En varmemaskin har virkningsgrad \$\\eta = W/Q_H\$, med Carnot som ufravikelig øvre grense:

$$\\eta_C = 1 - \\frac{T_L}{T_H}$$

For varmepumpe og kjøleskap bruker vi effektfaktoren \$f = Q_H/W = P/P_e\$, som typisk er 3–5 og alltid større enn 1. Det bryter ingen lover: pumpa flytter varme fra omgivelsene, den lager den ikke. I et TS-diagram er arealet under kurven den tilførte varmen, \$Q = T\\Delta S\$, akkurat som arealet i pV-diagrammet er arbeidet.

Varmeledning og U-verdi

Varmestrøm er effekt: \$H = Q/t\$, målt i watt. Gjennom et flatt sjikt med areal \$A\$, tykkelse \$L\$ og varmeledningsevne \$\\lambda\$:

$$H = \\lambda A \\frac{\\Delta T}{L}, \\qquad U = \\frac{\\lambda}{L}, \\qquad H = U A \\Delta T$$

Ligger flere lag i serie, er det varmemotstandene \$L/\\lambda\$ som legges sammen: \$1/U = \\sum L_i/\\lambda_i\$. Da dominerer laget med den laveste U-verdien fullstendig, og de øvrige kan neglisjeres i et overslag. Skal du redusere varmetapet i et hus, må du angripe det svakeste leddet – oftest vinduene, der \$U\$ kan være fem ganger så stor som veggens.

Konveksjon

Naturlig konveksjon: fluidet nærmest den varme flaten varmes opp, utvider seg, får lavere tetthet og stiger på grunn av oppdrift. Lenger unna avkjøles det, blir tettere og synker. Slik settes en sirkulasjon i gang som frakter varme bort uten at noe pumper. Dette er et rent forklaringsspørsmål – øv på å si det i tre setninger med oppdrift som drivkraft.

Varmestråling

Alle legemer stråler. Utstrålingstettheten er

$$M = \\sigma \\varepsilon T^4, \\qquad \\sigma = 5{,}67\\times10^{-8}\\ \\text{W/(m}^2\\text{K}^4)$$

Fjerdepotensen krever absolutt temperatur. Et legeme i omgivelser med temperatur \$T_0\$ har nettotapet \$\\sigma\\varepsilon A (T^4 - T_0^4)\$: en kropp med hudtemperatur 34 \$^\\circ\$C, areal 1{,}8 m² og \$\\varepsilon = 0{,}97\$ taper netto omtrent 150 W i et rom på 20 \$^\\circ\$C – samme størrelsesorden som kroppens hvilestoffskifte, og derfor en typisk overslagsoppgave. Wiens forskyvningslov \$\\lambda_{\\text{topp}} = a/T\$ med \$a = 2{,}90\\times10^{-3}\$ K·m gir 500 nm for sola (5800 K), midt i det synlige området.

Eksempel 1: Molekyler i en flaske, og oppvarming ved konstant volum

Oppgave: En tom brusflaske med volum 1{,}5 L står åpen i et rom med 20 \$^\\circ\$C og lufttrykk 101 kPa. (a) Hvor mange luftmolekyler er det i flaska, og hvilken masse har luften (molmasse 29 g/mol)? (b) Du skrur på korken og legger flaska i kokende vann, slik at luften blir 80 \$^\\circ\$C. Hva blir trykket?

Løsning: (a) Med \$T = 293\$ K gir gassloven $$N = \\frac{pV}{kT} = \\frac{101\\,000 \\cdot 1{,}5\\times10^{-3}}{1{,}38\\times10^{-23} \\cdot 293} = 3{,}7\\times10^{22}$$ Antall mol blir \$n = N/N_A = 3{,}75\\times10^{22}/(6{,}022\\times10^{23}) = 0{,}0622\$ mol, så massen er \$0{,}0622 \\cdot 29 \\approx 1{,}8\$ g. Kontroll mot lufttettheten: \$1{,}29 \\cdot 1{,}5\\times10^{-3} = 1{,}9\$ g ved 0 \$^\\circ\$C – samme størrelsesorden, og litt mindre når luften er varmere. (b) Volumet og \$N\$ er uendret, så \$p/T\$ er konstant: \$p_2 = p_1 T_2/T_1 = 101 \\cdot 353/293 \\approx 122\$ kPa. Trykkøkningen på 21 kPa er beskjeden – flaska holder.

Eksempel 2: Tolagsvegg – U-verdi og varmetap

Oppgave: En yttervegg med areal 24 m² består av 2{,}5 cm tre (\$\\lambda_1 = 0{,}14\$ W/(K·m)) og 18 cm mineralull (\$\\lambda_2 = 0{,}036\$ W/(K·m)). Inne er det 22 \$^\\circ\$C, ute \$-8\\ ^\\circ\$C. (a) Hvilket lag kan neglisjeres i et overslag, og hva blir varmetapet da? (b) Hva blir svaret når begge lagene tas med?

Løsning: (a) Treet har \$U_1 = \\lambda_1/L_1 = 0{,}14/0{,}025 = 5{,}6\$ W/(m²K), mineralullen \$U_2 = 0{,}036/0{,}18 = 0{,}20\$ W/(m²K). Treet leder 28 ganger bedre og utgjør derfor nesten ingen varmemotstand – vi neglisjerer treet. Overslag: \$H \\approx U_2 A \\Delta T = 0{,}20 \\cdot 24 \\cdot 30 = 1{,}4\\times10^2\$ W. (b) Varmemotstandene legges sammen: \$1/U = 1/5{,}6 + 1/0{,}20 = 5{,}18\$ m²K/W, så \$U = 0{,}193\$ W/(m²K) og \$H = 0{,}193 \\cdot 24 \\cdot 30 = 139\$ W. Overslaget lå bare 3{,}5 % for høyt, så forenklingen var helt forsvarlig. Til sammenlikning koster tapet \$0{,}139 \\cdot 24 = 3{,}3\$ kWh per døgn.

Eksempel 3: Er varmemaskinen mulig?

Oppgave: En oppfinner hevder at maskinen hans tar imot 500 J varme fra et reservoar på 600 K, avgir resten til omgivelsene ved 300 K, og gjør 280 J nyttig arbeid per omgang. Er dette mulig?

Løsning: To uavhengige kontroller gir samme svar. Virkningsgraden blir \$\\eta = W/Q_H = 280/500 = 0{,}56\$, mens Carnot-grensen er \$\\eta_C = 1 - 300/600 = 0{,}50\$. Påstanden bryter altså den øvre grensen. Entropiregnskapet bekrefter det: maskinen avgir \$Q_L = 500 - 280 = 220\$ J, så $$\\Delta S = -\\frac{500}{600} + \\frac{220}{300} = -0{,}83 + 0{,}73 = -0{,}10\\ \\text{J/K}$$ Den totale entropien ville sunket, og det strider mot termofysikkens andre lov. Maskinen er umulig. Med 300 K som kaldt reservoar er største mulige nyttige arbeid \$0{,}50 \\cdot 500 = 250\$ J.

Eksempel 4: Jordas overflatetemperatur, albedo og drivhuseffekt

Oppgave: Solarkonstanten er \$S = 1{,}37\$ kW/m², og jorda reflekterer 30 % av innstrålingen (albedo 0{,}30). Regn ut likevektstemperaturen jorda ville hatt uten atmosfære, og sammenlign med den virkelige middeltemperaturen på omtrent 15 \$^\\circ\$C.

Løsning: Jorda fanger stråling med tverrsnittet \$\\pi R^2\$, men stråler ut fra hele kuleflaten \$4\\pi R^2\$. Vi setter absorbert effekt \$(1-\\alpha)S\\pi R^2\$ lik utstrålt effekt \$\\sigma T^4 \\cdot 4\\pi R^2\$, og radien forkortes bort: $$T = \\left(\\frac{(1-\\alpha)S}{4\\sigma}\\right)^{1/4} = \\left(\\frac{0{,}70 \\cdot 1370}{4 \\cdot 5{,}67\\times10^{-8}}\\right)^{1/4} = 255\\ \\text{K}$$ altså \$-18\\ ^\\circ\$C. Den virkelige middeltemperaturen er 33 grader høyere. Forskjellen er drivhuseffekten: atmosfæren slipper det synlige sollyset inn, men absorberer mye av den langbølgede varmestrålingen ut – Wien gir \$\\lambda_{\\text{topp}} = 2{,}90\\times10^{-3}/255 \\approx 11\$ \$\\mu\$m – og stråler en betydelig del av den tilbake mot bakken.

Studieguide: Termodynamikk