Oversikt

Bølgedelen av FYS1001 handler om hvordan energi forplanter seg gjennom et medium uten at mediet selv følger med. Temaet går igjen på nesten fire av fem eksamenssett, og oppgavene er nesten alltid knyttet til virkelige fenomener: jordskjelvbølger, tsunamier, lyd i et auditorium og svingende strenger. Hele emnet hviler på fire størrelser: periode $T$, frekvens $f=1/T$, bølgelengde $\lambda$ og bølgefart $v$.

Langsbølger og tversbølger

I en langsbølge (longitudinal bølge) svinger partiklene fram og tilbake langs samme retning som bølgen går, slik at det veksler mellom fortetninger og fortynninger. I en tversbølge (transversal bølge) svinger partiklene på tvers av utbredelsesretningen.

Langsbølger: lyd i luft og i vann, og de seismiske P-bølgene (primærbølgene) fra et jordskjelv.
Tversbølger: bølge på en streng eller et tau, bølger på vannoverflaten, lys, og de seismiske S-bølgene (sekundærbølgene).
Fordi væsker og gasser ikke tåler skjærkrefter, går bare langsbølger gjennom flytende og gassformig stoff. Det er derfor S-bølger ikke kommer gjennom jordas flytende ytre kjerne — et klassisk forklaringsspørsmål.

Bølgeformelen og bølgefart i ulike medier

Sammenhengen mellom de fire størrelsene er den mest brukte formelen i hele temaet:

$$v = f\lambda$$

Farten bestemmes av mediet, ikke av kilden. Lyd har farten omtrent 343 m/s i luft, men rundt 1500 m/s i vann og flere tusen m/s i faste stoffer. P-bølger går med rundt 6 km/s i jordskorpa og rundt 8 km/s i mantelen. Når en bølge går fra ett medium til et annet, holder frekvensen seg uendret (kilden bestemmer den), mens farten og dermed bølgelengden endrer seg. Det er den viktigste enkeltinnsikten i bølgeoppgaver.

Refleksjon og brytning av bølger

Ved en grenseflate blir en del av bølgen reflektert (innfallsvinkel = refleksjonsvinkel, målt fra normalen) og en del brutt. Brytningen kan skrives på fartsform, som er den formen FYS1001 bruker på bølger som ikke er lys:

$$\frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1} = \frac{v_2}{v_1}$$

Dette forklarer hvorfor bølgene på en strand nesten alltid kommer rett inn mot land selv om de lenger ute går på skrå: farten til vannbølger avtar når vannet blir grunnere, så bølgefronten brytes mot normalen på dybdekonturene og retter seg opp parallelt med stranda.

Lyd, intensitet og desibel

Intensiteten er effekt per areal, $I = P/A$. En punktkilde sender lyden jevnt ut over en kuleflate med areal $4\pi r^2$, så

$$I = \frac{P}{4\pi r^2}$$

Intensiteten avtar altså som $1/r^2$: halverer du avstanden, blir arealet en firedel og intensiteten fire ganger så stor. Lydintensitetsnivået er logaritmisk, $L_p = 10\log_{10}(I/I_0)$ med $I_0 = 10^{-12}$ W/m². Fire ganger intensiteten svarer til $10\log_{10}4 \approx 6$ dB uansett utgangsnivå.

Interferens fra to kilder

To kilder som svinger i fase gir konstruktiv interferens (kraftig lyd) der veiforskjellen er et helt antall bølgelengder, og destruktiv interferens (svak lyd) der veiforskjellen er et odde antall halve bølgelengder:

Maksimum: $\Delta r = n\lambda$, der $n = 0, 1, 2, \ldots$
Minimum: $\Delta r = \left(n+\tfrac12\right)\lambda$

Oppgavene gir deg gjerne to lyttere med kjente avstander og ber deg finne frekvensen. Da må du finne den bølgelengden som gjør begge veiforskjellene til hele multipler — se eksempel 3.

Stående bølger og resonans

Når en bølge reflekteres i en fast ende, møter den seg selv og danner en stående bølge med faste noder (ingen bevegelse) og buker (maksimalt utslag). For en streng som er festet i begge ender må det være node i hver ende, og det passer bare for bestemte bølgelengder:

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = \frac{nv}{2L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$

Resonans betyr at et system blir påvirket med en frekvens som er lik en av dets egenfrekvenser. Energien fra påvirkningen legger seg da oppå svingningen periode etter periode, og amplituden vokser til den bare begrenses av friksjon og andre energitap. Det er derfor en gitarstreng svarer kraftig på nettopp sine egne $f_n$, og derfor bruer og bygninger kan ta skade under et jordskjelv.

Fjærer og Hookes lov

En fjær som strekkes eller trykkes sammen et stykke $\Delta x$ svarer med krafta $F = k\,\Delta x$, der $k$ er fjærstivheten i N/m. Kraftretningen er alltid mot likevektsstillingen, og det er nettopp denne proporsjonaliteten som gir en jevn svingebevegelse. Den lagrede energien er $E_{pe} = \tfrac12 k(\Delta x)^2$, som ofte kombineres med energibevaring: all fjærenergi kan gå over til $\tfrac12 mv^2$ eller $mgh$.

Eksempel 1: Tsunami — gjennomsnittsfart og bølgelengde

Oppgave: På åpent hav bruker en tsunamibølge 12 minutter på å tilbakelegge 180 km. Perioden til bølgen er 20 minutter. Finn gjennomsnittsfarten og bølgelengden.

Løsning: Gjennomsnittsfarten er $v = s/t = 180\,000\ \text{m}/720\ \text{s} = 250$ m/s, altså 900 km/h. Bølgeformelen gir $\lambda = vT = 250\ \text{m/s} \cdot 1200\ \text{s} = 3{,}0\times10^5$ m $= 300$ km. Den enorme bølgelengden er grunnen til at en tsunami er nesten umerkelig på åpent hav: høyden fordeler seg over hundrevis av kilometer.

Eksempel 2: Seismiske bølger mot mantelen

Oppgave: P-bølger har farten 6,2 km/s i jordskorpa og 8,1 km/s i mantelen. Hvilken innfallsvinkel må bølgene ha mot grenseflata for at utfallsvinkelen skal bli 90°, slik at de går langs grensesjiktet?

Løsning: Snells lov på fartsform med $\alpha_2 = 90^\circ$ gir $\dfrac{\sin 90^\circ}{\sin\alpha_1} = \dfrac{v_2}{v_1}$, altså $\sin\alpha_1 = \dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{6{,}2}{8{,}1} = 0{,}765$. Da er $\alpha_1 = \arcsin(0{,}765) = 49{,}9^\circ \approx 50^\circ$. Innfallsvinkler større enn denne gir totalrefleksjon, så ingen energi går inn i mantelen.

Eksempel 3: To høyttalere i fase

Oppgave: To høyttalere sender ut samme rene tone i fase. En lytter sitter 4,20 m fra den ene og 6,00 m fra den andre og hører tonen ekstra kraftig. Det gjør også en lytter som sitter 2,50 m og 5,20 m fra høyttalerne, mens de som sitter mellom dem hører tonen svakere. Lydfarten er 343 m/s. Finn den laveste frekvensen som passer.

Løsning: Veiforskjellene er $\Delta r_1 = 6{,}00 - 4{,}20 = 1{,}80$ m og $\Delta r_2 = 5{,}20 - 2{,}50 = 2{,}70$ m. Ved konstruktiv interferens må begge være hele multipler av $\lambda$. Siden lyden er svakere mellom de to lytterne, er de nabomaksima, og $\lambda = \Delta r_2 - \Delta r_1 = 0{,}90$ m. Kontroll: $1{,}80/0{,}90 = 2$ og $2{,}70/0{,}90 = 3$ — begge hele tall. Frekvensen blir $f = v/\lambda = 343/0{,}90 = 381$ Hz.

Eksempel 4: Egensvingninger og lydintensitet

Oppgave: En streng er 64,0 cm lang, og bølgefarten på strengen er 320 m/s. (a) Finn de tre laveste egenfrekvensene. (b) Strengen driver en høyttaler som stråler 0,80 W jevnt i alle retninger. Hvilket lydintensitetsnivå får du 12 m unna?

Løsning: (a) $f_n = nv/(2L)$ med $2L = 1{,}28$ m: $f_1 = 320/1{,}28 = 250$ Hz, $f_2 = 500$ Hz og $f_3 = 750$ Hz. (b) $I = P/(4\pi r^2) = 0{,}80/(4\pi\cdot 12^2) = 4{,}4\times10^{-4}$ W/m². Nivået blir $L_p = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{4{,}4\times10^{-4}}{10^{-12}}\right) = 86{,}5$ dB. Går du inn til 6 m, firedobles intensiteten og nivået øker til 92,5 dB.

Studieguide: Svingninger og bølger