Slik ser oppgavene ut

Statikk og gravitasjon kommer på drygt fire av ti oppgavesett i FYS1001, men der de forekommer, veier de tungt – ofte en hel oppgave med tre eller fire delspørsmål. Momentlikevekt dukker opp som bom på en kran, stige mot vegg, planke på to støtter, skrunøkkel, vektstang og dumphuske, og i en variant du må kunne: biomekanisk momentlikevekt i en arm, der du skal finne både muskelkrafta og leddkrafta med retning. På gravitasjonssiden er den geostasjonære banen nesten et fast innslag, sammen med tyngdeakselerasjon på en annen planet og unnslipningsfart.

Likevektsbetingelsene

Et legeme i ro krever to ting, ikke bare én:

$$\sum \vec{F} = 0 \qquad \text{og} \qquad \sum M_o = 0$$

Kraftmomentet om et punkt $o$ er $M_o = Fa$, der $a$ er kraftarmen: den vinkelrette avstanden fra $o$ til kraftas virkningslinje. Står krafta i vinkelen $\theta$ med en stang, og angriper i avstanden $d$ fra dreiepunktet, er kraftarmen $a = d\sin\theta$, og momentet blir $M = Fd\sin\theta$. Velg fortegn (for eksempel positiv dreining mot klokka) og hold det gjennom hele regningen.

Valg av dreiepunkt – den viktigste teknikken

Momentlikevekten gjelder om hvilket som helst punkt, også punkter utenfor legemet. Det utnytter du slik: legg dreiepunktet der en ukjent kraft angriper, så får den kraftarm null og forsvinner fra likningen. I en stige-oppgave legger du dreiepunktet ved foten for å bli kvitt både normalkrafta og friksjonen fra gulvet i samme slengen; i en arm legger du det i albueleddet for å bli kvitt leddkrafta. Først når momentlikevekten har gitt deg én kraft, går du til $\sum F_x = 0$ og $\sum F_y = 0$ for å finne resten.

Tips for tippe- og velteoppgaver

Tyngdekrafta på en jevn stang eller planke angriper i massemidtpunktet – glem den aldri.
Et legeme står på vippepunktet når normalkrafta samler seg i kanten det er i ferd med å tippe om. Legg dreiepunktet der.
En glatt (friksjonsfri) flate kan bare gi normalkraft, altså kraft vinkelrett på flata. Det er nøkkelopplysningen i «stige mot glatt vegg».

Gravitasjon

Newtons gravitasjonslov gir krafta mellom to masser med sentrumsavstand $r$:

$$G = \gamma\frac{m_1m_2}{r^2}, \qquad \gamma = 6{,}674\times 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$$

Ved overflata av en kule med masse $M$ og radius $R$ gir dette tyngdeakselerasjonen $g = \gamma M/R^2$ – en formel du bruker hver gang en oppgave flytter seg til en annen planet. Den tilhørende potensielle energien er $E_p = -\gamma m_1m_2/r$, med null uendelig langt unna. Setter du $E_k + E_p = 0$, får du unnslipningsfarten $v = \sqrt{2\gamma M/R}$.

Sirkelbaner

All satellittregning i dette kurset følger én oppskrift: gravitasjonskrafta er sentripetalkrafta.

$$\gamma\frac{Mm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{\gamma M}{r}}$$

Satellittens masse forkortes bort. Er omløpstida $T$ oppgitt i stedet for farten, setter du inn $v = 2\pi r/T$ og løser for $r$. Merk også at en satellitt i sirkelbane ikke er i likevekt: summen av kreftene er ikke null, den er lik sentripetalkrafta. Det er bare én kraft som virker på den, tyngdekrafta fra jorda, og motkrafta til den virker på jorda.

Framgangsmåte på eksamen

Momentoppgavene løses nesten mekanisk når du har lagt opp arbeidet riktig. Tegn figuren på nytt i besvarelsen, sett på alle kreftene med angrepspunkt, marker tydelig hvilket dreiepunkt du har valgt, og skriv ned kraftarmen til hver enkelt kraft før du setter opp likningen. Da ser du selv om du har glemt en kraft, og sensor ser hva du har tenkt. Er du i tvil om fortegnet til et moment, spør deg hvilken vei krafta ville dreid legemet dersom den virket alene.

På gravitasjonsoppgavene er de største fellene enheter og størrelsesordener. Regn alltid om kilometer til meter og døgn til sekunder før du setter inn, og gjør en overslagssjekk til slutt: en baneradius må være større enn jordradien, tyngdeakselerasjonen på en steinplanet bør ligge et sted mellom omtrent 1 og 25 m/s², og en unnslipningsfart måles i kilometer per sekund. Får du et svar som bryter med dette, har du som regel mistet en potens av ti et sted i regningen.

Tyngde og vektløshet

Et spørsmål som går igjen i forskjellige forkledninger, er hvorfor mannskapet i en romstasjon føles vektløst. Svaret er ikke at tyngdekrafta er borte, for den er nesten like stor der oppe som nede ved bakken. Både stasjonen og astronauten faller fritt langs samme bane, og da finnes det ingen normalkraft mellom dem. Vekta du kjenner på kroppen, er nemlig alltid normalkrafta fra underlaget, aldri tyngdekrafta i seg selv. På samme måte kan du se en satellitt i sirkelbane som et legeme i fritt fall som hele tida bommer på jorda, fordi det også beveger seg sidelengs. Spørsmål om vektløshet og tilsynelatende tyngde må derfor alltid besvares ved å gå tilbake til normalkrafta og spørre hvilke krefter som virker på legemet.

Eksempel 1: Stige mot glatt vegg

Oppgave: En jevn stige med masse 12 kg og lengde 4,0 m står med foten 1,6 m fra en glatt vegg og lener seg mot veggen. Finn krafta fra veggen og det minste friksjonstallet gulvet må ha.

Løsning: Veggen er glatt, så krafta fra den er horisontal. Stigen når høyden $h = \sqrt{4{,}0^2-1{,}6^2} = 3{,}67$ m opp på veggen. Momentlikevekt om stigefoten (der både normalkraft og friksjon fra gulvet har kraftarm null): $$N_v\,h = mg\cdot \frac{1{,}6}{2} \;\Rightarrow\; N_v = \frac{12\cdot 9{,}81\cdot 0{,}80}{3{,}67} = 25{,}7\ \text{N}.$$ Horisontal kraftlikevekt gir friksjonskrafta $R = N_v = 25{,}7$ N, og vertikal likevekt gir $N_g = mg = 118$ N. Kravet $R \le \mu_s N_g$ gir $\mu_s \ge 25{,}7/118 = 0{,}22$.

Eksempel 2: Muskel- og leddkraft i en arm

Oppgave: En underarm holdes vannrett og bærer et lodd på 8,0 kg i handa, 32 cm fra albueleddet. Muskelen fester 4,5 cm fra leddet og drar med vinkelen $\theta = 75^\circ$ mot underarmen, oppover og innover mot skulderen. Se bort fra armens egen vekt. Finn muskelkrafta $F_m$, og størrelsen og retningen på leddkrafta $F_r$.

Løsning: Momentlikevekt om albueleddet fjerner leddkrafta: $$F_m\cdot 0{,}045\sin 75^\circ = mg\cdot 0{,}32 \;\Rightarrow\; F_m = \frac{8{,}0\cdot 9{,}81\cdot 0{,}32}{0{,}045\cdot 0{,}966} = 5{,}8\times 10^{2}\ \text{N}.$$ Muskelkrafta er altså over sju ganger loddets tyngde, fordi kraftarmen er sju ganger kortere. Sett $x$ utover langs armen mot handa og $y$ oppover. Muskelen bidrar med $(-F_m\cos\theta,\, +F_m\sin\theta) = (-150,\, +558)$ N, og loddet med $(0,\,-78{,}5)$ N. Kraftlikevekt gir leddkrafta $$\vec{F_r} = (150,\ -480)\ \text{N}, \qquad F_r = \sqrt{150^2+480^2} = 5{,}0\times 10^{2}\ \text{N}.$$ Retningen: $\arctan(480/150) = 73^\circ$ under armretningen, altså skrått nedover og utover mot handa. Leddet belastes derfor nesten like hardt som muskelen drar.

Eksempel 3: Geostasjonær bane

Oppgave: En kommunikasjonssatellitt skal ligge stille over samme punkt på jorda, altså ha omløpstid $T = 1$ døgn. Jordas masse er $5{,}97\times 10^{24}$ kg og radius $6{,}37\times 10^{6}$ m. Finn baneradien og høyden over overflata.

Løsning: Gravitasjon som sentripetalkraft med $v = 2\pi r/T$: $$\gamma\frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \;\Rightarrow\; r = \left(\frac{\gamma M T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}.$$ Med $T = 86\,400$ s: $r = \left(\frac{6{,}674\times10^{-11}\cdot 5{,}97\times10^{24}\cdot (86\,400)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = 4{,}22\times 10^{7}$ m. Høyden over overflata blir $4{,}22\times10^7 - 6{,}37\times10^6 = 3{,}59\times 10^{7}$ m, altså nesten 36 000 km. Banefarten er $v = 2\pi r/T = 3{,}07\times 10^{3}$ m/s.

Eksempel 4: Tyngde og unnslipningsfart på Mars

Oppgave: Mars har masse $6{,}42\times 10^{23}$ kg og radius $3{,}39\times 10^{6}$ m. Finn tyngdeakselerasjonen ved overflata og unnslipningsfarten.

Løsning: Sett $mg = \gamma Mm/R^2$; massen $m$ forkortes: $$g = \frac{\gamma M}{R^2} = \frac{6{,}674\times10^{-11}\cdot 6{,}42\times10^{23}}{(3{,}39\times10^{6})^2} = 3{,}73\ \text{m/s}^2,$$ altså omtrent 38 % av verdien på jorda. For unnslipning kreves at total energi når såvidt null: $\tfrac{1}{2}mv^2 - \gamma Mm/R = 0$, som gir $$v = \sqrt{\frac{2\gamma M}{R}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}674\times10^{-11}\cdot 6{,}42\times10^{23}}{3{,}39\times10^{6}}} = 5{,}03\times 10^{3}\ \text{m/s}.$$ Det er om lag 5,0 km/s, mot 11,2 km/s for jorda – en viktig grunn til at Mars har mistet mesteparten av atmosfæren sin.

Studieguide: Statikk og gravitasjon