Hvorfor fluidmekanikk lønner seg

Fluidmekanikk opptrer i nesten ni av ti FYS1001-sett, og oppgavene er svært forutsigbare: hydrostatisk trykk, oppdrift, kontinuitet og Bernoulli, og en viskositetsdel med Hagen-Poiseuille. Nesten alltid handler det om et virkelig system – en sprøyte, en brannslange, en vanntank, et hydrometer, en pumpe i et høyhus. I tillegg kommer gjerne ett rent forklaringsspørsmål, oftest «gi to grunner til at Bernoulli ikke kan brukes her».

Trykk og hydrostatikk

Trykk er kraft per flate, \$p = F/A\$, målt i pascal. I en væske med konstant tetthet \$\\rho\$ øker trykket lineært med dybden:

$$p = p_0 + \\rho g h$$

Merk to ting. For det første er \$h\$ bare den vertikale dybden – formen på karet betyr ingenting, og trykket i et gitt punkt er like stort i alle retninger. For det andre må du bestemme deg for om du regner absolutt trykk (med \$p_0 = 101\$ kPa) eller overtrykk (uten). Et U-rør med kvikksølv (\$\\rho = 13\\,600\$ kg/m³) utnytter dette: høydeforskjellen mellom væskesøylene i de to armene gir direkte trykkforskjellen, \$\\Delta p = \\rho g \\Delta h\$. Kvikksølv velges nettopp fordi den store tettheten gir håndterlige høyder.

Oppdrift – Arkimedes' prinsipp

Et legeme i en væske kjenner en oppdrift lik tyngden av den fortrengte væsken:

$$O = \\rho_v V g$$

Her er \$V\$ bare det nedsenkede volumet. Tre varianter går igjen:

Flytende legeme: \$O = G\$ gir \$V_{\\text{ned}}/V_{\\text{tot}} = \\rho_{\\text{legeme}}/\\rho_v\$. En trekube med tetthet 600 kg/m³ ligger altså 60 % under vann.
Kraftmåler i vann: dynamometeret viser \$G - O\$, og forholdet mellom målingen i luft og i vann gir tettheten til legemet uten at du kjenner volumet.
Hydrometer: samme masse fortrenger samme væsketyngde, så lav væsketetthet betyr at flottøren synker dypere. Skalaen må derfor leses «opp ned».

Kontinuitet og Bernoulli

Volumstrømmen \$q_v = V/t = Av\$ er konstant i et rør uten forgreininger: \$A_1v_1 = A_2v_2\$. Trangere tverrsnitt gir høyere fart. Bernoullis likning uttrykker energibevaring per volum langs en strømlinje:

$$p_1 + \\tfrac{1}{2}\\rho v_1^2 + \\rho g h_1 = p_2 + \\tfrac{1}{2}\\rho v_2^2 + \\rho g h_2$$

Kontinuitet pluss Bernoulli løser alle Venturi-oppgaver: strømmer vann med 0{,}40 m/s gjennom 50 cm² og røret snevres inn til 10 cm², blir farten 2{,}0 m/s og trykkfallet \$\\tfrac12\\rho(v_2^2-v_1^2) \\approx 1{,}9\$ kPa. Der farten er stor, er trykket lavt – derfor utvider luftbobler seg når de passerer en innsnevring.

Står væsken praktisk talt stille, faller fartsleddene bort og Bernoulli reduseres til hydrostatikk. En pumpe som skal løfte vann 80 m opp i et høyhus må derfor minst lage trykkforskjellen \$\\rho g h = 997 \\cdot 9{,}81 \\cdot 80 \\approx 7{,}8 \\times 10^5\$ Pa, altså nesten 8 bar – og det er før friksjonstapet i rørene.

Når Bernoulli ikke gjelder

Likningen forutsetter stasjonær strøm av ett inkompressibelt, ikke-viskøst fluid langs én strømlinje. Gode grunner til å avvise den: væsken er tyktflytende (lava, olje, blod i tynne årer), strømmen er turbulent, den er ustasjonær (trykkstøt, pulserende strøm), fluidet er sterkt kompressibelt (gass i høy fart), eller det er to faser samtidig (gass og væske blandet). Klarer du å nevne to slike med begrunnelse, har du poenget.

Viskositet: Hagen-Poiseuille og Reynolds tall

For laminær strøm av et viskøst fluid gjennom et tynt rør med lengde \$l\$ og radius \$r\$:

$$q_v = \\frac{\\pi r^4 \\Delta p}{8\\eta l}$$

Fjerdepotensen i \$r\$ er hele poenget. Skal du øke volumstrømmen, virker det langt mer å utvide røret enn å trykke hardere: 20 % større radius gir \$1{,}2^4 \\approx 2{,}1\$, altså dobbel strøm, mens dobbelt trykk bare gir dobbel strøm. Halvert lengde dobler den også.

Reynolds tall \$Re = \\rho v d/\\eta\$ forteller hvilket regime du er i: under omtrent 2000 er strømmen laminær (og Hagen-Poiseuille gjelder), over omtrent 4000 er den turbulent. Inne i en kanyle blir \$Re\$ typisk under 100 – trygt laminært.

Overflatespenning og terminalfart

Overflatespenningen \$\\gamma\$ gir et trykksprang over en krum overflate. En såpeboble har to overflater, så \$\\Delta p = 4\\gamma/r\$, mens en dråpe bare har én, \$\\Delta p = 2\\gamma/r\$. En boble med radius 4{,}0 cm og \$\\gamma = 0{,}025\$ N/m har overtrykk 2{,}5 Pa – lite, men nok til å blåse bobla ut. I et tynt glassrør stiger vann til \$h = 2\\gamma/(\\rho g r)\$; høyden avhenger av rørradien, overflatespenningen og tettheten, men ikke av viskositeten. Viskositeten bestemmer bare hvor fort vannet stiger, ikke hvor høyt det kommer – et yndet flervalgsspørsmål.

En regndråpe faller med luftmotstand \$F = kv^2\$. Terminalfarten nås når luftmotstanden balanserer tyngden, \$kv^2 = mg\$, altså \$v = \\sqrt{mg/k}\$. Da er akselerasjonen null og farten konstant resten av fallet.

Eksempel 1: U-rør med kvikksølv

Oppgave: En lukket beholder med gass er koblet til et åpent U-rørsmanometer fylt med kvikksølv (\$\\rho = 13\\,600\$ kg/m³). Kvikksølvet står \$\\Delta h = 24{,}0\$ cm høyere i den åpne armen enn i armen mot beholderen. Lufttrykket er \$p_0 = 101\$ kPa. Hva er gasstrykket?

Løsning: I samme horisontale nivå i sammenhengende kvikksølv er trykket likt. Fra den åpne overflaten må vi ned 24{,}0 cm for å nå dette nivået, så hydrostatikken gir $$p = p_0 + \\rho g \\Delta h = 101\\,000 + 13\\,600 \\cdot 9{,}81 \\cdot 0{,}240 = 1{,}33 \\times 10^5\\ \\text{Pa}$$ Overtrykket er altså 32 kPa, og gassen har høyere trykk enn luften utenfor – slik det må være når kvikksølvet er presset ned på beholdersiden.

Eksempel 2: Kraftmåler i vann (Arkimedes)

Oppgave: En kube av aluminium (\$\\rho = 2700\$ kg/m³) med sidekant 8{,}00 cm henger i et dynamometer og senkes helt ned i vann (\$\\rho_v = 997\$ kg/m³). Hva viser dynamometeret før og etter nedsenkingen?

Løsning: Volumet er \$V = (0{,}0800)^3 = 5{,}12 \\times 10^{-4}\$ m³. I luft måler dynamometeret tyngden, \$G = \\rho V g = 2700 \\cdot 5{,}12\\times10^{-4} \\cdot 9{,}81 = 13{,}6\$ N. Oppdriften i vann er \$O = \\rho_v V g = 997 \\cdot 5{,}12\\times10^{-4} \\cdot 9{,}81 = 5{,}01\$ N. I likevekt er snordraget \$S = G - O = 13{,}6 - 5{,}01 \\approx 8{,}55\$ N. Legg merke til at \$O/G = \\rho_v/\\rho = 0{,}369\$: to dynamometermålinger gir dermed tettheten til kuben helt uten at volumet trengs.

Eksempel 3: Sprøyte med kanyle (Hagen-Poiseuille)

Oppgave: En sprøyte med indre diameter 12{,}0 mm er fylt med 5{,}0 ml vann (\$\\eta = 1{,}0\\times10^{-3}\$ Pa·s). På tuppen sitter en kanyle med lengde 30 mm og indre diameter 0{,}40 mm. Du trykker på stempelet med kraften 0{,}15 N. (a) Hvor lang tid tar det å tømme sprøyta? (b) Hvilket tiltak øker volumstrømmen mest: dobbel kraft, halvert kanylelengde, eller 20 % større kanyleradius?

Løsning: (a) Stempelarealet er \$A = \\pi(6{,}00\\times10^{-3})^2 = 1{,}131\\times10^{-4}\$ m², så overtrykket blir \$\\Delta p = F/A = 0{,}15/(1{,}131\\times10^{-4}) = 1{,}33\\times10^3\$ Pa. Kanylens radius er \$r = 0{,}20\$ mm \$= 2{,}0\\times10^{-4}\$ m (halve diameteren!), og $$q_v = \\frac{\\pi (2{,}0\\times10^{-4})^4 \\cdot 1{,}326\\times10^{3}}{8 \\cdot 1{,}0\\times10^{-3} \\cdot 0{,}030} = 2{,}8\\times10^{-8}\\ \\text{m}^3/\\text{s}$$ Tiden blir \$t = V/q_v = 5{,}0\\times10^{-6}/(2{,}8\\times10^{-8}) = 1{,}8\\times10^2\$ s, altså 3{,}0 minutter. (b) Dobbel kraft og halvert lengde gir begge faktor 2, mens 20 % større radius gir \$1{,}2^4 = 2{,}07\$. Radien vinner – og en litt tykkere kanyle er dessuten mye lettere å få til enn dobbel tommelkraft.

Eksempel 4: Utstrømming fra tank (Torricelli)

Oppgave: I en stor, åpen vanntank sitter et sirkulært utløp med diameter 10{,}0 cm på dybden \$H = 4{,}0\$ m under vannflaten. (a) Hvor fort strømmer vannet ut? (b) Hvor lang tid tar det før 100 liter har rent ut?

Løsning: (a) Tanken er stor, så vannflaten synker så langsomt at \$v_{\\text{flate}} \\approx 0\$. Både flaten og utløpet har trykk \$p_0\$, så Bernoulli gir \$\\rho g H = \\tfrac12 \\rho v^2\$, det vil si Torricellis lov: \$v = \\sqrt{2gH} = \\sqrt{2\\cdot9{,}81\\cdot4{,}0} = 8{,}9\$ m/s – nøyaktig samme fart som ved fritt fall fra 4{,}0 m. (b) Volumstrømmen er \$q_v = Av = \\pi(0{,}0500)^2 \\cdot 8{,}86 = 6{,}96\\times10^{-2}\$ m³/s \$= 69{,}6\$ L/s, så \$t = 0{,}100/0{,}0696 \\approx 1{,}4\$ s. Merk at farten er uavhengig av hvor høyt over bakken utløpet ligger: bare dybden under væskeflaten teller.

Studieguide: Fluidmekanikk