Oversikt

Solow-modellen er det klart hyppigste temaet på eksamen – den har kommet på alle 8 eksamener (2018–2025). Du må beherske varianter med og uten befolkningsvekst og teknologisk vekst, Cobb-Douglas-spesifikasjonen, gullregelen og konvergensresultatet.

Grunnmodellen

Produksjon: $Y_t = F(K_t, A_t L_t)$ der $A_t$ vokser med rate $g$ og $L_t$ med rate $n$. Kapitalakkumulasjon:

$$K_{t+1} = sY_t + (1-\delta)K_t$$

Vi definerer kapital per effektiv arbeider $\tilde{k}_t = K_t/(A_t L_t)$. I steady state:

$$sf(\tilde{k}^*) \approx (g+n+\delta)\tilde{k}^*$$

Spesialtilfelle: ingen teknologisk vekst, ingen befolkningsvekst

Med $g=0$ og $n=0$ arbeider vi direkte med $K_t$. Kapital-inntektsforholdet i steady state:

$$\frac{K_{ss}}{Y_{ss}} = \frac{s}{\delta}$$

Med Cobb-Douglas $F(K,L) = K^\alpha L^{1-\alpha}$ og $L=1$: $K_{ss} = (s/\delta)^{1/(1-\alpha)}$ og $Y_{ss} = (s/\delta)^{\alpha/(1-\alpha)}$.

Med befolkningsvekst (og uten teknologisk vekst)

Kapital per arbeider $k_t = K_t/L_t$ følger:

$$k_{t+1} = \frac{1}{1+n}\left[sf(k_t) + (1-\delta)k_t\right]$$

Steady state: $sf(k^*) = (n+\delta)k^*$, som gir $K/Y = s/(n+\delta)$. Langsiktig vekstrate for $Y_t$ er $n$; for $y_t = Y_t/L_t$ er vekstraten 0.

Gullregelen

Gullregel-spareraten maksimerer steady-state-konsum $C_{ss} = (1-s)Y_{ss}$. For Cobb-Douglas: $s_{GR} = \alpha$. For $s < s_{GR}$ øker konsumet med spareraten; for $s > s_{GR}$ faller det.

Faktorpriser i steady state

I konkurranselikevekt:

$$w = (1-\alpha)y^*, \quad R = \alpha y^*/k^*$$

Etter et sjokk som ødelegger deler av kapital faller $k$, noe som øker $R$ og senker $w$.

Konvergens

Med $\delta=1$ og Cobb-Douglas kan man vise:

$$\frac{y_{t+1}-y_t}{y_t} = \left(\frac{s}{1+n}\right)^\alpha y_t^{\alpha-1} - 1$$

Siden $\alpha-1<0$ vokser land med lavt $y_t$ raskere – betinget konvergens.

Eksempel 1: Steady state kapital og produksjon

Oppgave (egne tall): Anta $F(K,L)=K^{0.4}L^{0.6}$, $L=1$, $s=0.3$, $\delta=0.1$. Finn $K_{ss}$ og $Y_{ss}$.

Løsning: I steady state: $\delta K = sK^\alpha$. Del begge sider på $K^\alpha$:

$$\delta K^{1-\alpha} = s \implies K_{ss} = (s/\delta)^{1/(1-\alpha)} = 3^{5/3} \approx 6.24$$

$$Y_{ss} = K_{ss}^{0.4} \approx 2.13, \quad K/Y = s/\delta = 3$$

Eksempel 2: Klimasjokk – permanent økning i avskrivningsraten

Oppgave (egne tall): Steady state med $\delta=0.1$. Klimaendringer hever $\delta'=0.15$. Hva skjer med $k^*$, $w$, $R$ og $C_{ss}$?

Løsning: Høyere $\delta$ betyr at mer kapital slites ned, så $k^*$ faller. Lavere $k^*$ gir lavere lønn $w = (1-\alpha)f(k^*)$ og høyere kapitalleie $R = \alpha f(k^*)/k^*$. Steady-state-konsumet $C_{ss} = (1-s)Y_{ss}$ faller fordi $Y_{ss}$ er lavere.

Studieguide: Solow-modellen