ECON4220 · UiO

Studieguide for ECON4220 Microeconomics 3

Komplett pensumoversikt for microeconomics 3 ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Denne studieguiden dekker alle sentrale temaer i ECON4220 Microeconomics 3 ved Universitetet i Oslo. Kurset er et avansert mikrofag som kombinerer klassisk konsument- og produsentteori med moderne spillteori, informasjonsokonomi og mekanismedesign — og er felles eksamen med ECON3220, men med masterniva-vurdering.

Eksamen er en 3-timers skriftlig skoleeksamen med alle hjelpemidler tillatt. Strukturen varierer betydelig fra ar til ar. I de eldre arene var eksamen klart todelt: Del 1 (Mikrookonomisk teori, 40–50 %) med konsumentteori (indirekte nyttefunksjon, utgiftsfunksjon, Roy's identitet, dualitet), produsentteori (betinget faktorettersporsel, kostnadsfunksjoner, profittfunksjoner) og generell likevekt (Walrasiansk likevekt, velferdsteoremer), og Del 2 (Spillteori og informasjonsokonomi, 50–60 %). Viktig trend: de nyeste eksamenene har forskjovet vekten kraftig mot spillteori og informasjonsokonomi — hele eksamener er bygd rundt sekvensielle spill med inngangsavskrekking, signalisering, all-pay-auksjoner og risiko/investering, mens ren konsument-/produsent-/likevektsteori nesten har forsvunnet. Det betyr at spillteori, perfekt Bayesiansk likevekt og signalisering er det aller viktigste a beherske, men du ma fortsatt kunne mikroteorien (den kan komme tilbake).

Eksamensoppgavene krever bade matematisk presisjon (formell utledning av likevekter, optimalitetsbetingelser og likevektsbud) og okonomisk tolkning. Sensor forventer at du viser at du forstar resultatenes implikasjoner — ikke bare regner riktig. Boken Jehle og Reny «Advanced Microeconomic Theory» er pensum, og mange oppgaver refererer direkte til teori og resultater derfra. Svar kan leveres pa norsk, dansk, svensk eller engelsk.

Konsumentteori: dualitet og avledede funksjoner

Marshallsk og Hicksiansk etterspørsel, indirekte nyttefunksjon og utgiftsfunksjon, Roy's identitet, Shephard's lemma og dualitetsteori. Elastisitet for substitusjon og tolkning av dualitetsbetingelser. Var et fast Del 1-tema på de eldre eksamenene, men har fått mindre plass nylig — fortsatt viktig å beherske.

Nyttemaksimering og Marshallsk etterspørsel

Konsumenten maksimerer nytten $u(x_1, x_2)$ gitt budsjettbetingelsen $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$ . Første-ordens-betingelsene gir tilpasningsbetingelsen:

$\frac{u_1'(x)}{u_2'(x)} = \frac{p_1}{p_2}$

Løsningen gir de Marshallske etterspørselsfunksjonene $x_i^M(p_1, p_2, m)$ , som viser etterspørsel som funksjon av priser og inntekt. Satt inn i nyttefunksjonen gir disse den indirekte nyttefunksjonen:

$V(p_1, p_2, m) = u\bigl(x_1^M(p, m),\, x_2^M(p, m)\bigr)$

Den indirekte nyttefunksjonen er ikke-avtakende i inntekt og ikke-stigende i priser, og er homogen av grad null i $(p, m)$ .

Roy's identitet

En sentral dualitetsrelasjon: de Marshallske etterspørselsfunksjonene kan utledes direkte fra den indirekte nyttefunksjonen ved:

$x_i^M(p, m) = -\frac{\partial V/\partial p_i}{\partial V/\partial m}$

Dette er Roy's identitet. Den betyr at man ikke trenger å løse maksimeringsproblemer på nytt — gitt $V$ er etterspørselsfunksjonene umiddelbart tilgjengelige.

Utgiftsminimering og Hicksiansk etterspørsel

Det duale problemet er å minimere utgiftene $p_1 x_1 + p_2 x_2$ gitt nyttekrav $u(x) \geq \bar{u}$ . Løsningen gir de Hicksianske (kompenserte) etterspørselsfunksjonene $x_i^H(p_1, p_2, \bar{u})$ og utgiftsfunksjonen:

$e(p_1, p_2, \bar{u}) = p_1 x_1^H(p,\bar{u}) + p_2 x_2^H(p,\bar{u})$

Utgiftsfunksjonen er konkav og homogen av grad 1 i priser. Shephard's lemma gir:

$x_i^H(p, \bar{u}) = \frac{\partial e(p, \bar{u})}{\partial p_i}$

Sammenheng mellom de to tilnærmingene

Marshallsk og Hicksiansk etterspørsel er knyttet via Slutsky-ligningen:

$\frac{\partial x_i^M}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i^H}{\partial p_j} - x_j^M \cdot \frac{\partial x_i^M}{\partial m}$

Substitusjonstermet $\partial x_i^H/\partial p_j$ er alltid negativt for $i=j$ (kompensert egenprisbetingelse). De identitets-relasjonene $V(p, e(p,u)) = u$ og $e(p, V(p,m)) = m$ uttrykker dualiteten mellom de to funksjonene.

Elastisitet for substitusjon

Elastisiteten for substitusjon $\sigma$ måler hvor lett konsumenten kan bytte mellom goder langs en indifferenskurve:

$\sigma = -\frac{d\ln(x_2/x_1)}{d\ln(MRS)} = \frac{d\ln(x_2/x_1)}{d\ln(p_1/p_2)}$

For Cobb-Douglas er $\sigma = 1$ (konstant budsjettandel). For CES-nytte $u = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$ er $\sigma = 1/(1-\rho)$ , som spenner fra 0 (perfekte komplementer, $\rho \to -\infty$ ) til $\infty$ (perfekte substitutter, $\rho=1$ ).

Eksempel — Indirekte nyttefunksjon og Roy's identitet

La $V(p_1, p_2, m) = m/(p_1 + p_2)$ . Utled Marshallsk etterspørsel med Roy's identitet.

\frac{\partial V}{\partial p_1} = -\frac{m}{(p_1+p_2)^2}, \quad \frac{\partial V}{\partial m} = \frac{1}{p_1+p_2}

x_1^M = -\frac{-m/(p_1+p_2)^2}{1/(p_1+p_2)} = \frac{m}{p_1+p_2}

Tilsvarende:

x_2^M = m/(p_1+p_2)

Tolkning: konsumenten bruker inntekt likt på begge goder uavhengig av prisnivå, men den samlede mengden avhenger av summen av prisene.

Eksempel — Utgiftsfunksjon og Shephard's lemma (H2021 stil)

Gitt indirekte nyttefunksjon $V(p_1, p_2, m) = m/(p_1+p_2)$ , finn utgiftsfunksjonen og Hicksiansk etterspørsel.

Inverter

\bar{u} = m/(p_1+p_2)

e(p_1,p_2,\bar{u}) = \bar{u}(p_1+p_2)

Shephard:

x_1^H = \partial e/\partial p_1 = \bar{u}

(konstant, uavhengig av priser).

Slutsky-sjekk:

x_1^H = m/(p_1+p_2) = x_1^M

(her er Marshallsk og Hicksiansk lik).

Nøkkelformler

• $V(p,m) = \max_{x} u(x) \text{ s.t. } p\cdot x = m$ — indirekte nyttefunksjon
• $x_i^M(p,m) = -\dfrac{\partial V/\partial p_i}{\partial V/\partial m}$ — Roy's identitet
• $e(p,\bar{u}) = \min_{x} p\cdot x \text{ s.t. } u(x) \geq \bar{u}$ — utgiftsfunksjon
• $x_i^H(p,\bar{u}) = \dfrac{\partial e(p,\bar{u})}{\partial p_i}$ — Shephard's lemma
• $\sigma = \dfrac{d\ln(x_2/x_1)}{d\ln(p_1/p_2)}$ — elastisitet for substitusjon

Vanlige feil

⚠️Blander fortegnet i Roy's identitet: det er en negativ brøk, ikke positiv. Minus-tegnet er avgjørende.
⚠️Bruker Shephard's lemma på profittfunksjonen i stedet for utgiftsfunksjonen — de har ulike tolkninger.
⚠️Glemmer å verifisere dualitetsidentitetene: $e(p, V(p,m)) = m$ er en god konsistenssjekk.
⚠️Forveksler elastisitet for substitusjon med priselastisitet — de måler fundamentalt ulike ting.

Eksamenstips

💡Oppgaver om konsumentteori starter ofte med en gitt indirekte nyttefunksjon — bruk Roy's identitet umiddelbart i stedet for å løse primærproblemet på nytt.
💡Homogenitetsegenskaper er raske å verifisere og gir poeng: vis at $V(tp,tm)=V(p,m)$ og at $e(tp,u)=t\cdot e(p,u)$ .
💡Spørsmål om 'hva skjer med utgifter ved skatteøkning' krever typisk at du deriverer utgiftsfunksjonen mhp. prisen og tolker.
💡Dualitetsteori og Slutsky-ligningen er fagtunge temaer som skiller master- fra bachelorstudenter — behersk dem grundig.

Laster...

Laster…