ECON4160 · UiO

Studieguide for ECON4160 Økonometri

Komplett pensumoversikt for økonometri ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

ECON4160 Econometrics – Modelling and Systems Estimation er UiOs masteremne i dynamisk økonometri: tidsrekker, kointegrasjon, VAR og simultane likningssystemer. Guiden er bygd på alle 40 eksamenssett (2004–2025, ordinær og utsatt) og UiOs 27 løsninger og sensorveiledninger, med vekt på de 13 settene siden 2019. Formen du møter i dag, har stått fast siden 2023H.

Eksamen høsten 2026 er den siste i emnet: tirsdag 27. oktober, 5 timers hjemmeeksamen i Inspera (09:00–14:00), alle hjelpemidler, oppgavetekst på engelsk. Bruker du KI, må du opplyse om det.

Hva et sett består av

Fra 2023H har alle fem settene hatt to oppgaver, Question A og Question B, med vekt 40–60 % hver:

Question A er teori på en modell med tall: en AR(2)-likning, en ADL-modell, en VAR med to variabler eller et simultant system. Du skal vise stabilitet med røttene, regne ut forventning og multiplikatorer, lage prognoser, utlede den betingede modellen eller drøfte identifikasjon. I 2023H-u og 2025H-u hadde også A tabeller: tre estimeringstabeller i 2023H-u og fem i 2025H-u (ADF, VAR, IV, 2SLS og FIML).
Question B er tolkning av utskrifter fra norske eller amerikanske tidsrekker: ADF-tabellen, en ECM-likning med misspesifikasjonstester, Johansen-testen, en IV-estimering med Specification test og systemutskrifter med 2SLS eller FIML. Du leser tallene og konkluderer.

Før 2023H varierte formen. 2019H hadde tre like store oppgaver, og A bygde på en tabell med OLS og 2SLS. 2019H-u hadde vektene 20/30/50 og 2020H 40/40/20. 2020H-u hadde tre like store oppgaver, og A bygde på utskrifter (ADF, VAR og 2SLS). I 2022H var A og B teori, B om simultane likninger, mens C var utskriftsoppgaven; hver av dem veide en tredjedel. 2021H, 2021H-u og 2022H-u hadde allerede to oppgaver.

De ni temaene etter vekt

Kointegrasjon (i alle 13 sett siden 2019) · enhetsrøtter og spuriøs regresjon (12 av 13) · differenslikninger og stasjonaritet (11) · VAR-modeller og eksogenitet (10) · IV, 2SLS og FIML (9) · modellevaluering og hypotesetesting (9) · ADL-modeller og dynamiske multiplikatorer (8) · prognoser og strukturbrudd (8) · simultane likninger og identifikasjon (6, men 30 av alle 40 sett).

Hver seksjon starter med hva eksamen spør om, med sett og delspørsmål. Deretter kommer fremgangsmåten steg for steg og gjennomregnede eksempler i eksamensform, med egne modeller og egne utskrifter. Til slutt kommer de vanligste feilene, med forklaring på hvorfor de er feil.

Kointegrasjon

Eksamensrelevant

ECM-testen, den langsiktige relasjonen, svak eksogenitet og Johansens trace-test med β, α og restriksjoner — slik eksamen spør om dem i nesten hvert sett.

Hva eksamen spør om

Kointegrasjon er med i alle 13 settene siden 2019 og veier mest av alle temaene der (i snitt om lag en femdel av settet). Oppgavetypene, med antall sett siden 2019:

ECM-testen (12): t-verdien på laget nivå av venstresidevariabelen mot tabellen med kritiske verdier for ECM-testen (lagt ved eksamen). 2025H B2c, 2025H-u B3a, 2024H B3a, 2023H B3, 2022H C2, 2021H B2.
Langsiktig relasjon fra koeffisientene (8): 2025H B2d, 2023H B4a, 2022H C3, 2021H B3, 2020H B5.
Svak eksogenitet (6): ECM-leddet i marginallikningen eller α i Johansen-utskriften. 2025H B6, 2025H-u B2, 2023H B5, 2022H C4.
Johansens trace-test (6, og i alle de fire siste settene): 2025H B8, 2025H-u B1a, 2024H B5, 2023H B6.
β og α, restriksjon på β testet med χ², identifikasjon av flere vektorer (4, alle fra 2023): 2024H B7, 2023H B7a, 2023H-u B2.

Nytt i 2023–2025 er Johansen-delen: tolke β og α, teste en restriksjon på kointegrasjonsvektoren og forklare forskjellen mellom ECM-testen og trace-testen (2024H B6).

Slik gjør du det

A. ECM-testen og den langsiktige relasjonen

Skriv den betingede modellen på ECM-form: $\Delta Y_t = c + \beta_0 \Delta X_t + a Y_{t-1} + b X_{t-1} + \dots + \varepsilon_t$ . Den er en omskriving av ADL-modellen, så ingen informasjon går tapt.
$H_0$ : ingen kointegrasjon, $a = 0$ . Sammenlign t-verdien på $Y_{t-1}$ med kritisk verdi for ECM-testen med $k$ = antall variabler i nivå (to variabler: 5 % = −3,21).
Sjekk feiltestene først: de kritiske verdiene forutsetter hvit støy i feilleddet (2024H B3b).
Finn likevekten: sett $\Delta Y = \Delta X = 0$ og $\varepsilon = 0$ , da er $0 = c + aY^* + bX^*$ , altså $Y^* = -\frac{c}{a} - \frac{b}{a} X^*.$ Langtidskoeffisienten er $-b/a$ , med fortegn.
ECM-leddet $Y - \theta X - \mu$ er I(0) fordi det er selve den kointegrerende kombinasjonen.

B. Svak eksogenitet

X er svakt eksogen for kointegrasjonsparametrene hvis X ikke justerer mot likevekten: ECM-leddet er insignifikant i marginallikningen for $\Delta X$ .
Begge kan ikke være svakt eksogene: kointegrasjon betyr likevektskorreksjon i minst én likning (2022H C4a).
ECM-testen forutsetter svak eksogenitet og høyst én vektor; trace-testen gjør ingen av delene.

C. Johansen

VAR-en i nivå skrives som $\Delta \mathbf{y}_t = \Pi \mathbf{y}_{t-1} + \dots$ , og ved kointegrasjon er $\Pi = \alpha\beta'$ med rang $r$ .
Test $r = 0$ , så $r \le 1$ , og stopp ved første hypotese som ikke forkastes. Stor trace-verdi (liten p-verdi) betyr forkastning.
β er kointegrasjonsvektoren (normalisert på én variabel); α sier hvor raskt hver variabel justerer. α med t-verdi nær null tyder på svak eksogenitet.
En restriksjon på β testes med $LR = T\ln\big[(1-\tilde\lambda_1)/(1-\hat\lambda_1)\big] \sim \chi^2(q)$ , $q$ = antall restriksjoner.
Med $r \ge 2$ er vektorene ikke identifisert uten restriksjoner, akkurat som likningene i et simultant system (2023H B7a).

Eksempel 1 (utskrift). LBENSIN er log pumpepris på bensin og LOLJE log råoljepris i kroner, månedlig 2005–2024 (simulerte data, begge I(1)). Tabell K1 er OLS på ECM-form, Tabell K3 en marginallikning.

Tabell K1	Coefficient	Std.Error	t-value
Constant	0.085885	0.033595	2.56
DLBENSIN_1	−0.080075	0.063107	−1.27
DLOLJE	0.194791	0.015601	12.49
DLOLJE_1	0.031697	0.020736	1.53
LBENSIN_1	−0.158902	0.035103	−4.53
LOLJE_1	0.053570	0.012032	4.45
T=238; AR 1-2 F(2,230) = 0.85 [0.43]; ARCH 1-1 F(1,235) = 1.42 [0.23]; Normality Chi^2(2) = 3.40 [0.18]; Hetero F(10,227) = 0.11 [1.00]; RESET23 F(2,230) = 1.73 [0.18]

1. Test ingen kointegrasjon (5 % = −3,21, 1 % = −3,79).

Ingen feiltest er signifikant, så de kritiske verdiene kan brukes.
t = −4,53 på LBENSIN_1 er mindre enn −3,79.

Svar: Ingen kointegrasjon forkastes på 1 %-nivå.

2. Marginallikningen for DLOLJE (Tabell K3) gir t = 0,55 på ECM_1. Hva betyr det?

Svar: Oljeprisen justerer ikke mot likevekten; svak eksogenitet for LOLJE forkastes ikke, og det er rimelig å estimere langtidsparametrene fra den betingede likningen alene.

3. Vis at langtidselastisiteten er om lag 0,34, og tolk den.

$\hat\theta = -b/a = -0{,}053570/(-0{,}158902) = 0{,}337$ ; konstanten er $0{,}085885/0{,}158902 = 0{,}54$ .
Likevekten er $\text{LBENSIN} = 0{,}54 + 0{,}34\,\text{LOLJE}$ .

Svar: En varig økning i råoljeprisen på 10 % gir på lang sikt om lag 3,4 % høyere bensinpris; avgifter og marginer som ikke følger oljen, trekker elastisiteten under 1.

LBENSIN og langtidsverdien 0,48 + 0,348 · LOLJE 2005–2025: de to linjene følger hverandre tett og krysser ofte. — Figur 1. LBENSIN og langtidsverdien 0,48 + 0,348·LOLJE (β-vektoren i eksempel 2; eksempel 1 gir nesten det samme, 0,54 + 0,337·LOLJE): de to linjene følger hverandre tett.

Likevektsfeilen LBENSIN − 0,34 · LOLJE svinger mellom 0,45 og 0,61 rundt et stiplet snitt på 0,53 uten trend. — Figur 2. Likevektsfeilen LBENSIN − 0,34·LOLJE fra eksempel 1 svinger rundt snittet 0,53 uten trend: den kointegrerende kombinasjonen er I(0).

Eksempel 2 (Johansen). VAR(2) for LBENSIN og LOLJE, konstant i kointegrasjonsrommet, T = 238.

rank	Trace test	[Prob]	egenverdi
0	28.592	[0.004]	0.08473
1	7.520	[0.110]	0.03110
beta: LBENSIN 1.000, LOLJE −0.3476, Constant −0.4816
alpha: DLBENSIN −0.1378 (SE 0.0439); DLOLJE 0.0946 (SE 0.1437)

1. Hvor mange kointegrasjonsvektorer, og hva er den langsiktige relasjonen?

$r = 0$ forkastes (p = 0,004), $r \le 1$ forkastes ikke (p = 0,11). To I(1)-variabler kan heller ikke ha mer enn én vektor.
β normalisert på LBENSIN gir $\text{LBENSIN} = 0{,}48 + 0{,}348\,\text{LOLJE}$ , nær 0,337 fra eksempel 1.

Svar: Én vektor; langtidselastisiteten er 0,35.

2. Hva sier α, og hvordan konkluderer du om restriksjonen β = (1; −0,35; μ), som gir LR = 0,005?

DLBENSIN: t = −0,1378/0,0439 = −3,14, signifikant og negativ: bensinprisen lukker 14 % av avviket hver måned. DLOLJE: t = 0,66, insignifikant, som i eksempel 1.
Restriksjonen er én: χ²(1) med 5 %-verdi 3,84, og LR = 0,005 (p = 0,94).

Svar: LOLJE er svakt eksogen og LBENSIN justerer; elastisiteten 0,35 forkastes ikke.

Avvik fra likevekt etter et sjokk på 0,10: med α = −0,1378 fra eksempel 2 faller avviket til 0,017 etter 12 måneder, med α = −0,05 er det fortsatt 0,054. — Figur 3. Et sjokk på 0,10 i likevektsfeilen når LOLJE ligger fast: med α = −0,1378 (DLBENSIN i eksempel 2) er avviket 0,017 etter 12 måneder. Med α = −0,05, lagt inn til sammenligning, er det fortsatt 0,054. Kortsiktig dynamikk er holdt utenfor.

Her går det galt

Feil tabell eller feil k. Med tre variabler i nivå er de kritiske verdiene −3,51 (5 %) og −3,19 (10 %), ikke −3,21. I 2024H B3a var t-verdien −3,51 og nivået 10 %, så nullhypotesen om ingen kointegrasjon ble forkastet.
Fortegn og brøk i langtidskoeffisienten. Den er −(koeffisient på $X_{t-1}$ )/(koeffisient på $Y_{t-1}$ ); En avrunding i siste desimal endrer ingenting, men byttet brøk eller glemt fortegn gir en annen likevekt (2021H B3, 2025H B2d).
Svak eksogenitet vurdert i feil likning. 2022H C4b: det er ECM-leddet i marginallikningen som avgjør.
Trace-testen lest baklengs. Man stopper ved første $H_0$ som ikke forkastes (2023H B6).
To β-vektorer tolket fritt. Uten restriksjoner er de ikke identifisert (2023H B7a).

Nøkkelformler

•ECM-form: $\Delta Y_t = c + \beta_0\Delta X_t + aY_{t-1} + bX_{t-1} + \varepsilon_t$ ; $H_0$ : $a = 0$ (ingen kointegrasjon)
•Langsiktig relasjon: $Y^* = -c/a - (b/a)X^*$
•ECM-testen, kritiske verdier (5 %): k = 2: −3,21; k = 3: −3,51
•Test av langtidskoeffisient når kointegrasjon er etablert: $t = (\hat\theta - \theta_0)/\mathrm{SE}(\hat\theta)$ , vanlig normalfordeling
•Johansen: $\Pi = \alpha\beta'$ , trace $(r) = -T\sum_{i=r+1}^{n}\ln(1-\hat\lambda_i)$
•Restriksjon på β (r = 1): $LR = T\ln\big[(1-\tilde\lambda_1)/(1-\hat\lambda_1)\big] \sim \chi^2(q)$

Vanlige feil

⚠️Å bruke Dickey–Fuller-verdien (k = 1) eller −1,96 i ECM-testen.
⚠️Å glemme minustegnet eller bytte teller og nevner i langtidskoeffisienten.
⚠️Å konkludere med svak eksogenitet fra den betingede likningen i stedet for marginallikningen.
⚠️Å tolke hver av to β-vektorer økonomisk uten identifiserende restriksjoner.
⚠️Å påstå at ECM-testen og trace-testen bygger på de samme antakelsene.

Eksamenstips

💡Si hvilken k du bruker i ECM-tabellen og hvorfor (antall variabler i nivå).
💡Kommenter feiltestene kort før du konkluderer med kointegrasjon.
💡Vis brøken når du regner langtidskoeffisienten; avrunding er greit.
💡I Johansen-oppgaver: nevn at metoden ikke forutsetter svak eksogenitet, og bruk α til å vurdere den.

Laster...

Laster…