ECON4130 · UiO

Studieguide for ECON4130 Statistikk 2

Komplett pensumoversikt for statistikk 2 ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

ECON4130 Statistics 2 er UiOs videregående kurs i matematisk statistikk for økonomistudenter på masternivå (kjøres sammen med ECON3130). Kurset gis på engelsk og avsluttes med en 3-timers skriftlig skoleeksamen (åpen bok – alle skriftlige og trykte hjelpemidler samt kalkulator er tillatt). Pensum bygger på Rice, Mathematical Statistics and Data Analysis.

Eksamen har en svært stabil struktur: Oppgave 1 er ren sannsynlighetsteori og estimeringsteori for en parametrisk modell (utled cdf/pdf, vis fordelingsresultater, finn sannsynlighetsmaksimeringsestimator (SME/mle) og momentestimator (mme), utled Fisher-informasjon, og konstruer konfidensintervall og test). Oppgave 2 er enten en lineær regresjon med Stata-output (tolkning av koeffisienter, ceteris paribus-effekter, F-test mellom modeller) eller en goodness-of-fit-analyse (Pearson kji-kvadrat, LR-test, Pareto/gamma/Weibull-modeller). Hver gang testes evnen til å gå fra fordelingsantakelse til konkret inferens via asymptotisk teori.

Denne studieguiden dekker de åtte kjernetemaene i faget. Du bør kunne (1) regne deg fra en pdf til alle relevante momenter og fordelingsresultater, (2) sette opp og maksimere log-likelihooden, (3) bruke den asymptotiske normaliteten til mle sammen med Slutskys lemma og delta-metoden til å bygge konfidensintervall og tester, og (4) tolke regresjons- og kji-kvadrat-output. Regning skal vises eksplisitt – sensor belønner korrekt oppsett, ikke bare svar.

Estimering og ML

Eksamensrelevant

Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (mle) og momentmetoden (mme) – utledning, beregning og egenskaper. Det desidert mest sentrale temaet: Oppgave 1 krever det på hver eneste eksamen.

Likelihood og log-likelihood

Gitt et iid-utvalg $X_1,\dots,X_n$ med tetthet $f(x;\theta)$ , er likelihood-funksjonen produktet $L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$ . Siden produkter er upraktiske å derivere, maksimerer vi log-likelihooden $\ell(\theta)=\sum_{i=1}^n \ln f(x_i;\theta)$ . Den verdien $\hat\theta$ som maksimerer $\ell(\theta)$ kalles sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (mle). I praksis løser man scoreligningen $\ell'(\theta)=0$ og sjekker at det er et maksimum.

Momentmetoden (mme)

Momentmetoden setter teoretiske momenter lik empiriske: man finner $E(X)=g(\theta)$ som funksjon av parameteren, setter $g(\hat\theta_{mme})=\bar X$ og løser for parameteren. Mme er ofte enklere å regne ut, men har gjerne høyere varians enn mle.

Egenskaper

Begge estimatorer er vanligvis konsistente: konsistens for mme følger direkte av store talls lov ( $\bar X \xrightarrow{P} E(X)$ ) kombinert med at en kontinuerlig transformasjon av en konsistent estimator selv er konsistent. Forventningsrettethet må sjekkes separat – mle er ofte forventningsskjev i endelig utvalg (f.eks. $\hat\theta$ for Pareto-formen).

Eksempel. La $X_1,\dots,X_n$ være iid med tetthet $f(x;\theta)=\tfrac{1}{2\theta}x^{-1/2}e^{-\sqrt{x}/\theta}$ for $x>0$ , $\theta>0$ . Log-likelihooden blir

$\ell(\theta) = -n\ln(2\theta) - \tfrac12\sum \ln x_i - \frac{1}{\theta}\sum \sqrt{x_i}.$

Scoreligningen: $\ell'(\theta) = -\dfrac{n}{\theta} + \dfrac{1}{\theta^2}\sum \sqrt{x_i} = 0$ , som gir mle $\hat\theta = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \sqrt{X_i}$ . For mme bruker vi at $E(\sqrt{X})=\theta\,\Gamma(3)/\Gamma(1)\cdot\ldots$ – men her er det enklere: med $E(X)=6\theta^2$ får man $\hat\theta_{mme}=\sqrt{\bar X/6}$ . Med $n=40$ , $\sum \sqrt{x_i}=72{,}4$ blir $\hat\theta=1{,}81$ .

Nøkkelformler

• $\ell(\theta)=\sum_{i=1}^n \ln f(x_i;\theta)$ — log-likelihood for iid-data
• $\ell'(\hat\theta)=0$ — scoreligningen som mle løser
• $g(\hat\theta_{mme})=\bar X \text{ der } g(\theta)=E(X)$ — momentmetoden
•Konsistens: kontinuerlig funksjon av $\bar X$ arver konvergens fra store talls lov

Vanlige feil

⚠️Maksimerer likelihood i stedet for log-likelihood og roter til derivasjonen av produktet
⚠️Glemmer å sjekke at den kritiske verdien faktisk er et maksimum (andreordensbetingelse eller fortegn på $\ell''$ )
⚠️Forveksler mme og mle – de gir ofte ulike formler og må holdes adskilt
⚠️Antar at mle alltid er forventningsrett; det er ofte bare asymptotisk forventningsrett

Eksamenstips

💡Skriv alltid opp $\ell(\theta)$ eksplisitt før du deriverer – sensor gir delpoeng for korrekt oppsett
💡Når oppgaven gir summer som $\sum x_i$ og $\sum \sqrt{x_i}$ , er det et hint om hvilken tilstrekkelig statistikk estimatoren skal uttrykkes ved
💡Beregn både mme- og mle-estimatet når begge etterspørres, og kommenter at de er nær hverandre

Laster...

Laster…