ECON4120 · UiO

Studieguide for ECON4120 Matematikk 2

Komplett pensumoversikt for matematikk 2 ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

ECON3120/4120 Matematikk 2 (kalkulus og lineær algebra for økonomer) avsluttes med en skriftlig skoleeksamen på 4 timer i Inspera. Neste eksamen er 14. desember 2026 kl. 09:00. Oppgavene er på engelsk; du kan svare på norsk. Du har ingen trykte eller skrevne hjelpemidler, bare formelvedlegget «Rules and formulas» som følger oppgavesettet og den enkle kalkulatoren i Inspera.

Guiden bygger på alle 44 oppgavesettene fra 2008 til 2025 (ordinær og utsatt eksamen) og UiOs 27 løsninger og sensorveiledninger. Hvert sett er gått gjennom bokstavdel for bokstavdel, 509 deloppgaver i alt. Settene er bygd av de samme fire blokkene:

Lineær algebra med en parameter — med i 44 av 44 sett, og om lag en fjerdedel av poengene.
Et likningssystem du skal differensiere og så finne en partiellderivert eller en tilnærmet verdi fra — 39 av 44 sett (sammen med komparativ statikk).
Integrasjon og en første ordens differensiallikning — 43 av 44.
Lagrange eller Kuhn–Tucker, med ekstremverdisetningen og omhyllingsteoremet — 41 av 44.

Fra 2025 har emnet ny emneansvarlig, som også underviser høsten 2026. De to settene fra 2025 er derfor det beste varselet om desember 2026. Dynamisk programmering (Bellman-likningen) er med i alle fire sett siden høsten 2024, men i ingen før. UiOs løsning til 2024H opplyser at pensum ble endret høsten 2024: ulikhetsbibetingelser (Kuhn–Tucker) og integrasjon ved substitusjon er tatt ut, og differenslikninger og dynamisk optimering er kommet inn. Kuhn–Tucker var fast fra 2019 til 2023, men er ikke med i de fire nyeste settene; der er det Lagrange med likhetsbibetingelser, ofte to bibetingelser i tre variabler. Guiden tar med Kuhn–Tucker og substitusjon som eldre stoff fordi de fleste gamle settene bruker dem, men merker det tydelig. Egenverdier og egenvektorer forekommer ikke i noen av de 71 filene, heller ikke i formelvedlegget, og er ikke med i guiden.

Hver seksjon åpner med hva eksamen spør om, med frekvens og konkrete sett. Deretter kommer slik gjør du det, med gjennomregnede eksempler i eksamensform og egne tall, og til slutt her går det galt. Notasjonen er den samme som i formelvedlegget. $\mathbf A'$ er transponert, $|\mathbf A|$ er determinant, og $f'_x$ er partiellderivert. Lagrange-funksjonen skrives $\mathcal L=f-\sum_j\lambda_j(g_j-b_j)$ .

Flervariabelkalkulus

Hyppig på eksamen

To variabler med $h = f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2$: klassifiser stasjonære punkter og vis konkavitet; flere variabler bare via «sum av konkave er konkav». Homogenitet og Euler (sum av elastisiteter = grad) er første del av optimeringsoppgaver (27 av 44 sett).

Hva eksamen spør om

Flervariabelkalkulus er med i 27 av 44 sett, men bare i 8 av 14 siden 2019 og i ingen av de to settene fra 2025. Det står sjelden alene: oftest er det første del av en optimeringsoppgave (2024H 3a, 2024H-u 3a, 2023H 4a, 2022H 4b–c).

Vis at en funksjon er konkav eller konveks (6 av 44): «Show that $f$ , $h$ and $F$ are convex. Hint: sum of …» (2024H 3a), «It is a fact that the sum of concave functions is concave. Show that $f$ is concave» (2020H 4a). For to variabler brukes $h = f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2$ (D3–D4); for flere variabler bare «sum av konkave» (D7).
Homogenitet, Euler og homotetisk (10 av 44, 4 av 14): «Which of $Q$ , $R$ and $f$ is/are homogeneous?» (2024H-u 3a), «Is $F$ homogeneous? Hint: Euler's theorem» (2023H 4a), «For what $c$ is $u$ homothetic? Homogeneous?» (2022H 4c).
Stasjonære punkter og annenderiverttesten (15 av 44, men bare 2 siden 2019): «Show that $(1,2)$ is a saddle point» (2021H 3a), «Classify this point using the second-derivative test» (2019H-u 5a).
Elastisiteter og substitusjonselastisitet (3 av 44): 2020H-u 5b–c (sum av elastisiteter uten å regne, «Calculate the elasticity of substitution»).

Slik gjør du det

Klassifiser et stasjonært punkt (to variabler).

Løs $f'_x = 0$ og $f'_y = 0$ . Ikke del på et uttrykk som kan være null — det mister punkter.
Regn $h = f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2$ i hvert punkt.
$h \lt 0$ : sadelpunkt. $h > 0$ , $f''_{xx} > 0$ : strengt lokalt min (D5). $h > 0$ , $f''_{xx} \lt 0$ : strengt lokalt maks (D6). $h = 0$ : «Math 2 cannot classify».
Globalt: er $f$ konkav (konveks) på hele den åpne mengden, er et stasjonært punkt globalt maks (min).

Vis konkavitet. To variabler: vis $f''_{xx} \le 0$ , $f''_{yy} \le 0$ og $h \ge 0$ overalt (D4), og skriv fortegnene. Flere variabler: del opp i ledd som hver er konkave, og bruk (D7). Et ledd som $-xy$ er verken konvekst eller konkavt alene.

Homogenitet og Euler.

Regn $f(tx,ty)$ for $t > 0$ og prøv å skrive det som $t^k f(x,y)$ .
Euler kommer rett ut av definisjonen: deriver $f(tx,ty) = t^k f(x,y)$ med hensyn på $t$ og sett $t = 1$ . Da får du $xf'_x + yf'_y = k\,f$ .
Del på $f$ : $\mathrm{El}_x f + \mathrm{El}_y f = k$ .
Homotetisk betyr en strengt voksende funksjon av en homogen funksjon. Homogen $\Rightarrow$ homotetisk, ikke omvendt ( $\ln(x^2y)$ er homotetisk, ikke homogen).

Eksempel 1 (parameter i funksjonen). For en konstant $a$ er $f(x,y) = x^3 - 3xy + ay^2$ .

(a) Finn de stasjonære punktene for $a \ne 0$ . (b) Klassifiser dem. (c) Hva skjer når $a = 0$ ? (d) Er minimumet for $a = \tfrac32$ globalt?

(a)

$f'_x = 3x^2 - 3y = 0$ gir $y = x^2$ .
$f'_y = -3x + 2ay = 0$ gir $2ax^2 = 3x$ , altså $x(2ax - 3) = 0$ .

Svar: $(0,0)$ og $\big(\tfrac{3}{2a}, \tfrac{9}{4a^2}\big)$ .

(b)

$f''_{xx} = 6x$ , $f''_{yy} = 2a$ , $f''_{xy} = -3$ , så $h = 12ax - 9$ .
I $(0,0)$ : $h = -9 \lt 0$ .
I det andre punktet: $h = 12a\cdot\tfrac{3}{2a} - 9 = 9 > 0$ og $f''_{xx} = \tfrac9a$ .

Svar: $(0,0)$ er sadelpunkt. Det andre punktet er strengt lokalt min for $a > 0$ og strengt lokalt maks for $a \lt 0$ .

(c)

$f = x^3 - 3xy$ : $f'_y = -3x = 0$ gir $x = 0$ , og da $y = 0$ .
$h(0,0) = -9$ .

Svar: bare $(0,0)$ , og det er et sadelpunkt.

(d)

Med $a = \tfrac32$ er minimumet $(1,1)$ med $f(1,1) = -\tfrac12$ .
Men $f(-2,0) = -8 \lt -\tfrac12$ (og $f(x,0) = x^3 \to -\infty$ ).

Svar: nei, minimumet er bare lokalt.

Nivåkurver for f(x, y) = x³ − 3xy + (3/2)y²: nivåkurven f = 0 krysser seg selv i sadelpunktet (0, 0), og nivåkurvene f = −0,25 og f = −0,45 er ovaler rundt minimumet (1, 1).

Nivåkurven gjennom et sadelpunkt krysser seg selv; rundt et lokalt minimum ligger lukkede ovaler med lavere verdier innover.

Eksempel 2 (homogen, konkav, Euler). La $Q(K,L) = K^{1/3}L^{1/2} + 2K^{5/6}$ for $K, L > 0$ .

(a) Er $Q$ homogen? (b) Vis at $Q$ er konkav. (c) Vis at $\mathrm{El}_K Q + \mathrm{El}_L Q$ er konstant. (d) Er $\ln Q$ homogen? Homotetisk?

(a)

$Q(tK,tL) = t^{1/3}t^{1/2}K^{1/3}L^{1/2} + 2t^{5/6}K^{5/6}$ .
Begge ledd har faktoren $t^{5/6}$ .

Svar: ja, homogen av grad $\tfrac56$ .

(b)

$q = K^{1/3}L^{1/2}$ : $q''_{KK} = -\tfrac29K^{-5/3}L^{1/2} \lt 0$ , $q''_{LL} = -\tfrac14K^{1/3}L^{-3/2} \lt 0$ , $q''_{KL} = \tfrac16K^{-2/3}L^{-1/2}$ .
$h_q = \tfrac1{18}K^{-4/3}L^{-1} - \tfrac1{36}K^{-4/3}L^{-1}$ $= \tfrac1{36}K^{-4/3}L^{-1} > 0$ : $q$ er konkav (D4).
$2K^{5/6}$ har andrederivert $-\tfrac5{18}K^{-7/6} \lt 0$ og avhenger ikke av $L$ : konkav.

Svar: $Q$ er en sum av to konkave funksjoner, altså konkav (D7).

(c)

Euler med $k = \tfrac56$ : $KQ'_K + LQ'_L = \tfrac56 Q$ .
Del på $Q$ .

Svar: $\mathrm{El}_K Q + \mathrm{El}_L Q = \tfrac56$ , uten å regne en eneste derivert.

(d)

$\ln Q(tK,tL) = \tfrac56\ln t + \ln Q(K,L)$ , som ikke er $t^k\ln Q$ .
$\ln$ er strengt voksende og $Q$ homogen.

Svar: $\ln Q$ er homotetisk, men ikke homogen.

Nivåkurvene Q = 3 og Q ≈ 5,35 for Q = K^(1/3)L^(1/2) + 2K^(5/6), gjennom (1, 1) og (2, 2) på strålen L = K. Tangentene i de to punktene har samme helning −4.

For en homotetisk funksjon har nivåkurvene samme helning langs hver stråle fra origo: her er $-Q'_K/Q'_L = -4$ både i $(1,1)$ og $(2,2)$ .

Her går det galt

Fortegnene står ikke. UiOs merknad til 2024H 3a savnet « $> 0$ » etter de andrederiverte: fortegnet er selve poenget, ikke bare tallet.
Ønsketenkning om konvekse ledd. Samme merknad: flere behandlet hvert ledd som konvekst, også $-xy$ og $xy$ . Et blandingsledd må inn i $h$ .
$h = 0$ tolkes. I et stasjonært punkt med $h = 0$ sier testen ingenting. Men i konkavitetstesten (D4) er $h = 0$ helt i orden: $\ln(x - y)$ har $h = 0$ og er konkav (UiOs løsning til 2025H-u 1c).
Kjerneregelen glemmes. UiOs merknad til 2024H 1a: mange mente at den deriverte av $3(KL)^{1/3}$ med hensyn på $K$ er $(KL)^{-2/3}$ .
Homogen og homotetisk byttes om. Et konstant ledd $c \ne 0$ ødelegger homogeniteten, men ikke homotetien (2022H 4c).

Nøkkelformler

• $h = f''_{xx}f''_{yy} - (f''_{xy})^2$
•Stasjonært punkt: $h \lt 0$ sadel; $h > 0$ , $f''_{xx} > 0$ lokalt min; $h > 0$ , $f''_{xx} \lt 0$ lokalt maks; $h = 0$ ingen konklusjon
•(D4): $f$ konkav $\iff$ $h \ge 0$ , $f''_{xx} \le 0$ , $f''_{yy} \le 0$ overalt
•(D7): sum av konkave er konkav
•Homogen av grad $k$ : $f(tx,ty) = t^kf(x,y)$ for $t > 0$
•Euler: $xf'_x + yf'_y = k\,f$ , så $\mathrm{El}_xf + \mathrm{El}_yf = k$
•Substitusjonselastisitet: $\sigma = \dfrac{d\ln(y/x)}{d\ln(f'_x/f'_y)}$

Vanlige feil

⚠️Å dele $f'_y = 0$ på $x$ og miste punktet med $x = 0$ .
⚠️Å konkludere med sadel eller ekstremum når $h = 0$ .
⚠️Å kalle en funksjon konkav fordi $f''_{xx} \lt 0$ og $f''_{yy} \lt 0$ , uten å sjekke $h$ .
⚠️Å behandle $\pm xy$ som et konvekst eller konkavt ledd.
⚠️Å tro at $ax + by + c$ er homogen for alle $c$ .

Eksamenstips

💡Skriv alltid fortegnet: « $f''_{xx} = -2 \lt 0$ », ikke bare « $-2$ ».
💡Ved tre variabler: del funksjonen i ledd du kjenner (Cobb–Douglas med eksponentsum $\le 1$ , $\ln$ , $-z^2$ ) og bruk (D7).
💡«Hint: Euler's theorem» betyr ofte: regn $xf'_x + yf'_y$ og se om det er $k\,f$ .
💡Et lokalt minimum er ikke globalt hvis $f \to -\infty$ i en retning — ett tallpunkt holder som bevis.

Laster...

Laster…