Oversikt

Statistisk presisjon — standardfeil, presisjon og store utvalgsegenskaper — er testet på V2025 (Spørsmål 1) med et konkret eksempel om utvalgsfordeling. Du må forstå sammenhengen mellom utvalgsstørrelse og standardfeil, og forskjellen mellom forventningsretthet og konsistens.

Standardfeil og presisjon

Standardfeilen til OLS-estimatoren $\hat{\beta}_1$ i enkel regresjon (under homoskedastisitet):

$$SE(\hat{\beta}_1) = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n} \cdot SD(X)}$$

Standardfeilen er omvendt proporsjonal med $\sqrt{n}$: dobler du $n$, halverer du SE (og halverer konfidensintervall-bredden) omtrent med en faktor $\sqrt{2}$. Firedobler du $n$, halverer du SE.

Sentralgrenseteoremet (CLT)

OLS-estimatoren er asymptotisk normalfordelt:

$$\frac{\hat{\beta}_j - \beta_j}{SE(\hat{\beta}_j)} \xrightarrow{d} N(0,1) \text{ når } n \to \infty$$

Dette gjør t-tester og konfidensintervaller gyldige uten å anta normalfordeling på $u_i$ — forutsatt tilstrekkelig stort utvalg.

Forventningsretthet vs. konsistens

Forventningsrett (unbiased): $E[\hat{\beta}] = \beta$ for alle $n$ — selv i små utvalg.

Konsistent: $\hat{\beta} \xrightarrow{p} \beta$ når $n \to \infty$ — konvergerer mot sann verdi i store utvalg, men kan ha bias i endelige utvalg.

Eksempel: OLS er forventningsrett under $E[u_i|X_i]=0$ (uansett $n$). IV er generelt konsistent men ikke forventningsrett i endelige utvalg.

P-verdi og statistisk presisjon fra grafer

Fra en scatterplot kan du lese av standardfeilen direkte fra konfidensintervallet rundt en regresjonskoeffisient (se V2025 Spørsmål 1). Forholdet mellom t-verdi, standardfeil og p-verdi:

$$t = \hat{\beta}_1 / SE(\hat{\beta}_1), \quad p = 2(1 - \Phi(|t|))$$

Eksempel 1: Standardfeil fra scatterplot (inspirert av V2025)

Oppgave: En studie med $n=3$ gir estimert helningskoeffisient $\hat{\beta}_1 = 0.6$ og et 95%-KI mellom $-0.2$ og $1.4$. Hva er standardfeilen?

Løsning: Bredden på 95%-KI = $2 \times z_{0.025} \times SE = 2 \times 1.96 \times SE = 1.6$. Dermed: $SE = 1.6/(2 \times 1.96) \approx 0.408$. Krysssjekk: $t = 0.6/0.408 \approx 1.47 < 1.96$ — ikke signifikant på 5%.

Eksempel 2: Utvalgsstørrelse og presisjon (V2025 Spørsmål 1b)

Oppgave: Studie 1 ($n=3$) gir p-verdi 0.30. Studie 2 har mer data og gir p-verdi 0.01 med samme estimerte koeffisient. Hva er implikasjonen for $n$ i studie 2?

Løsning: Samme $\hat{\beta}_1$ men lavere p-verdi $\Rightarrow$ lavere SE $\Rightarrow$ større $n$. For p-verdi 0.01 (tosidig): t-verdi $\approx 2.58$. $SE_2 = \hat{\beta}_1/2.58$. Siden $SE \propto 1/\sqrt{n}$: $n_2/n_1 = (SE_1/SE_2)^2$. Sett inn tall fra konteksten og beregn $n_2$.

Studieguide: Statistisk presisjon og store utvalg

Studieguide: Statistisk presisjon og store utvalg