Oversikt

Instrumentvariabler (IV) brukes når $X$ er endogen — korrelert med feilleddet $u_i$ — og OLS gir skjevt estimat. Et godt instrument $Z$ er (1) korrelert med $X$ (relevans) og (2) påvirker $Y$ kun gjennom $X$ (eksklusjonsrestriksjon). IV er testet på V2021, V2022, V2023, V2024 — det er det viktigste metodekapittelet etter OLS.

Wald-estimatoren

Med et binært instrument $Z \in \{0,1\}$:

$$\hat{\beta}_{\text{Wald}} = \frac{\bar{Y}_{Z=1} - \bar{Y}_{Z=0}}{\bar{X}_{Z=1} - \bar{X}_{Z=0}} = \frac{\text{Reduced form}}{\text{First stage}}$$

Telleren er reduced form (effekten av instrumentet på $Y$), nevneren er first stage (effekten av instrumentet på $X$).

To-trinns minste kvadrater (2SLS)

Trinn 1 (First stage): Regresser $X$ på instrumentet $Z$ og eventuelle kontrollvariabler $W$: $X_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + \pi_2 W_i + v_i$. Ta predikerte verdier $\hat{X}_i$.

Trinn 2 (Second stage): Regresser $Y$ på $\hat{X}_i$ og $W$: $Y_i = \beta_0 + \beta_1 \hat{X}_i + \beta_2 W_i + u_i$.

I R: feols(Y ~ W | X ~ Z, data) (fixest-syntaks).

Relevanskravet

Test: F-statistikk i first stage. Tommelregel: $F > 10$ for sterkt instrument. Svakt instrument gir: (1) store standardfeil, (2) bias mot OLS-estimatet, (3) upålitelige estimater.

Eksklusjonsrestriksjonen

$Z$ er ukorrelert med feilleddet: $\text{Cov}(Z_i, u_i) = 0$. Dette kan ikke testes empirisk — du må argumentere substansielt. Eksamen ber deg alltid diskutere om eksklusjonsrestriksjonen er rimelig.

LATE

Med heterogene effekter estimerer IV en Local Average Treatment Effect (LATE) — gjennomsnittlig effekt for «compliers» (individer som endrer behandlingsstatus pga. instrumentet).

Eksempel 1: Wald-estimatoren (inspirert av V2024)

Oppgave: Bruk parcath (katolsk forelder) som instrument for cathhs (katolsk skole) på utfallet hsgrad. Data: $\bar{\text{hsgrad}}_{\text{parcath}=1} = 0.946$, $\bar{\text{hsgrad}}_{\text{parcath}=0} = 0.921$, $\bar{\text{cathhs}}_{\text{parcath}=1} = 0.175$, $\bar{\text{cathhs}}_{\text{parcath}=0} = 0.013$.

Løsning:

$$\hat{\beta}_{\text{Wald}} = \frac{0.946 - 0.921}{0.175 - 0.013} = \frac{0.025}{0.162} \approx 0.154$$

Tolkning (LATE): For elever som går på katolsk skole fordi de har en katolsk forelder (compliers), øker katolsk skolegang sannsynligheten for fullførelse med ca. 15.4 prosentpoeng. First stage = $0.162$ er effekten av katolsk forelder på sannsynligheten for å gå på katolsk skole.

Eksempel 2: IV via reduced form / first stage (inspirert av V2023)

Oppgave: Sigarettavgift (cigtax) brukes som instrument for sigaretter (cigs) på fødselsvekt (bwght). Fra output: koeffisient på cigtax i first stage (reg6) = $0.031$ (SE = 0.021); koeffisient på cigtax i reduced form (reg7) = $0.106$ (SE = 0.070). Beregn IV-estimatet og vurder instrumentstyrken.

Løsning: $\hat{\beta}_{IV} = 0.106/0.031 \approx 3.42$. t-verdi i first stage: $0.031/0.021 \approx 1.48$, F $\approx 2.2 < 10$ — svakt instrument. IV-estimatet er upålitelig: det antyder at røyking øker fødselsvekten, noe som er kontraintuitivt og skyldes svakt instrument.

Studieguide: Instrumentvariabler og Wald-estimatoren

Studieguide: Instrumentvariabler og Wald-estimatoren