Oversikt

Hypotesetesting er et gjennomgående tema på alle ECON3150-eksamener. Du må kunne utføre t-tester på enkeltkoeffisienter, konstruere konfidensintervaller, og lese av kritiske verdier fra $\Phi(z)$-tabellen som alltid er vedlagt eksamen.

t-test for enkeltkoeffisienter

For å teste $H_0: \beta_j = \beta_{j,0}$ mot $H_1: \beta_j \neq \beta_{j,0}$ (tosidig), beregn:

$$t = \frac{\hat{\beta}_j - \beta_{j,0}}{SE(\hat{\beta}_j)}$$

Med stort utvalg er $t \sim N(0,1)$ under $H_0$. Forkast på signifikansnivå $\alpha$ dersom $|t| > z_{\alpha/2}$. Vanlige kritiske verdier fra $\Phi$-tabellen:

68%: $z_{0.16} \approx 1.00$
80%: $z_{0.10} \approx 1.28$
90%: $z_{0.05} \approx 1.64$
95%: $z_{0.025} \approx 1.96$
99%: $z_{0.005} \approx 2.58$

Konfidensintervaller

Et $100(1-\alpha)\%$ konfidensintervall for $\beta_j$:

$$KI_{1-\alpha} = \hat{\beta}_j \pm z_{\alpha/2} \cdot SE(\hat{\beta}_j)$$

For 68%-KI: $\hat{\beta}_j \pm 1.00 \cdot SE$ — tilsvarer $\pm 1$ standardfeil, og er det enkleste.

Ensidig testing

Ved ensidig test (f.eks. $H_1: \beta_j < 0$) er den kritiske verdien $z_\alpha$ i stedet for $z_{\alpha/2}$. For 10% signifikans med ensidig test: forkast når $t < -1.28$. P-verdien for ensidig test er halvparten av den tosidige p-verdien.

Standardfeil og presisjon

Standardfeilen til OLS-estimatoren (under homoskedastisitet) er:

$$SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{\sum(X_i - \bar{X})^2}} = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n} \cdot SD(X)}$$

Større utvalgsstørrelse $n$ gir lavere standardfeil (høyere presisjon). Standardfeilen halveres omtrent når $n$ firedobles.

Eksempel 1: Konstruer 80%-konfidensintervall (inspirert av V2023)

Oppgave: Koeffisienten på cigs i en fødselsvekt-regresjon er $-0.514$ (SE = $0.088$). Konstruer og tolk 80%-konfidensintervallet.

Løsning: Kritisk verdi for 80% KI: $z_{0.10} = 1.28$ (fra $\Phi$-tabellen: $\Phi(1.28) \approx 0.900$).

$$KI_{80\%} = -0.514 \pm 1.28 \times 0.088 = [-0.514 - 0.113, \; -0.514 + 0.113] = [-0.627, \; -0.401]$$

Tolkning: Vi er 80% sikre på at den sanne sammenhengen mellom sigaretter og fødselsvekt ligger mellom $-0.627$ og $-0.401$ ouncer per sigarett per dag. Siden intervallet ikke inkluderer null, kan vi forkaste $H_0: \beta = 0$ på 20% signifikansnivå.

Eksempel 2: Ensidig t-test

Kontekst: Noen hevder at sigaretter ikke kan ha positiv effekt på fødselsvekt, og foreslår ensidig testing. $H_0: \beta_{\text{cigs}} = 0$, $H_1: \beta_{\text{cigs}} < 0$. Kritisk verdi for 10% ensidig test: $z_{0.10} = 1.28$. t-verdi: $-0.514/0.088 = -5.84$. Siden $-5.84 < -1.28$, forkaster vi $H_0$. Konklusjon: sigaretter reduserer fødselsvekten signifikant på 10% ensidig nivå (og mye sterkere).

Studieguide: Hypotesetesting og konfidensintervaller

Studieguide: Hypotesetesting og konfidensintervaller