Oversikt

Heteroskedastisitet betyr at variansen til feilleddet $u_i$ varierer med verdiene til regressorene: $\text{Var}(u_i | X_i) \neq \sigma^2$. OLS-koeffisientene er fortsatt forventningsrette under heteroskedastisitet, men de vanlige (IID) standardfeilene er feil — og dermed er t-tester og F-tester upålitelige.

Konsekvenser av heteroskedastisitet

OLS-koeffisienter: Forventningsrette og konsistente — uendret av heteroskedastisitet
IID standardfeil: Feil — kan over- eller underestimere sann varians
Robuste standardfeil (HC): Konsistente under heteroskedastisitet (Eicker-Huber-White)
Gauss-Markov: OLS er BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) kun under homoskedastisitet. Med heteroskedastisitet er GLS mer effisient enn OLS.

Robuste standardfeil i R

I fixest-pakken: feols(y ~ x, data, vcov = "hetero"). Output viser «Heterosk.-rob.» vs. «IID» under «S.E. type».

Klyngerobuste standardfeil (vcov = ~cluster_var): brukes når observasjoner er gruppert og korrelert innad i grupper (f.eks. studenter i samme klasse).

F-test under heteroskedastisitet

Den vanlige F-testen basert på SSR krever homoskedastisitet. Eksamen sier alltid eksplisitt «assuming homoskedasticity» når du skal bruke SSR-formelen. Med robuste standardfeil brukes en Wald-test i stedet.

Tommelregel

Bruk alltid robuste standardfeil med tverrsnittsdata. De er aldri feil (bare litt mindre effisiente under homoskedastisitet), men IID-standardfeil kan være alvorlig feil under heteroskedastisitet.

Eksempel 1: IID vs. robust og konsekvenser for inferens

Kontekst (V2025 vs. V2024): V2025 Oppgave 3 bruker «IID» standardfeil (antatt homoskedastisitet), mens V2024 bruker «Heterosk.-rob.». Eksamen fra V2023 ber om F-test «assuming homoskedasticity» selv om output viser robuste standardfeil.

Hva gjør dette? IID-standardfeil: $SE(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\hat{\sigma}^2 / \sum(X_i - \bar{X})^2}$ der $\hat{\sigma}^2 = SSR/(n-k-1)$. Robuste (HC1): $SE_{\text{rob}}$ tillater $\hat{u}_i^2$ å variere fritt. Forskjellen kan være stor — i praksis er robuste standardfeil anbefalt.

Eksempel 2: F-test under homoskedastisitet fra RMSE (inspirert av V2023)

Oppgave: Test felles signifikans av motheduc, parity og male i reg4 (RMSE = 19.933) mot reg3 (RMSE = 20.046), $n = 1387$, $k_{ur} = 5$, $k_r = 2$. «Assuming homoskedasticity.»

Løsning: $SSR = \text{RMSE}^2 \times (n - k - 1)$:

$SSR_{ur} = 19.933^2 \times (1387 - 5 - 1) = 397.32 \times 1381 = 548{,}903$

$SSR_r = 20.046^2 \times (1387 - 2 - 1) = 401.84 \times 1384 = 555{,}947$

$q = 3$: $F = (555{,}947 - 548{,}903)/3 / (548{,}903/1381) = 2{,}348/397.5 \approx 5.91$

Kritisk verdi $F_{3,\infty}$ på 1%: 3.78. Siden $5.91 > 3.78$, forkaster vi $H_0$.

Studieguide: Heteroskedastisitet og robuste standardfeil

Studieguide: Heteroskedastisitet og robuste standardfeil