Grunnideen

Når et likningssystem \(F_1(x_1, x_2, p) = 0\), \(F_2(x_1, x_2, p) = 0\) implisitt definerer \(x_1\) og \(x_2\) som differensierbare funksjoner av parameteren \(p\), kan vi finne \(\partial x_1/\partial p\) og \(\partial x_2/\partial p\) ved å differensiere hele systemet med hensyn på \(p\). Metoden krever ingen eksplisitt løsning for \(x_1, x_2\) — kun differensiering av de opprinnelige likningene.

Fremgangsmåte steg for steg

Differensier begge likninger med hensyn på den aktuelle parameteren (bruk kjerneregelen og produktregelen nøye).
Skriv systemet på matriseform: \(\mathbf{J}\begin{pmatrix}\partial x_1/\partial p \\ \partial x_2/\partial p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-F_{1,p} \\ -F_{2,p}\end{pmatrix}\), der \(\mathbf{J}\) er Jacobian-matrisen med partielle deriverte av \(F_1, F_2\) med hensyn på \(x_1, x_2\).
Evaluer Jacobian-matrisen og høyresiden i det gitte punktet.
Løs \(2 \times 2\)-systemet for de ønskede deriverte — bruk Cramers regel eller direkte eliminasjon.

Linearisering og approksimasjon

De beregnede deriverte brukes deretter til å approksimere funksjonsverdier nær det gitte punktet. Hvis \(x = x(p)\) og vi kjenner \(x(p_0)\) og \(x'(p_0)\), er lineariseringsformelen \(x(p_0 + \Delta p) \approx x(p_0) + x'(p_0) \cdot \Delta p\). For systemer med flere parametere brukes tilsvarende partiell linearisering.

Typiske varianter fra eksamen

Oppgavene varierer fra enkle systemer med eksponential- og potensfunksjoner til mer sammensatte etterspørselslikninger. H2023 har systemet \((4-x)^2 + yx^{3/2} - t = 5\) og \(16x + 3ye^{x-1} = 24\) med \((t,x,y) = (20/3, 1, 8/3)\) og ber om approksimasjon av \(x(7)\). H2024 har et system med \((KL)^{1/3}\)-ledd og ber om \(L_p'(14,1)\). H2025 har etterspørselslikninger med \(\sqrt{x_i}\) og ber om kryssprisderivert \(\partial x_1/\partial p_2\). Felles er at du må differensiere sammensatte uttrykk presist og sette inn tallverdier uten regnefeil.

Eksempel (etterspørselssystem)

System: \(p_1\sqrt{x_1} - 2p_2\sqrt{x_2} = 0\) og \(p_1 x_1 + p_2 x_2 = m\). Finn \(\partial x_1/\partial p_2\) i punktet \((x_1, x_2, p_1, p_2, m) = (9, 4, 4, 3, 48)\).

Differensier likning 1 mhp \(p_2\): \(\frac{p_1}{2\sqrt{x_1}}\frac{\partial x_1}{\partial p_2} - \frac{p_2}{\sqrt{x_2}}\frac{\partial x_2}{\partial p_2} = 2\sqrt{x_2}\)

Differensier likning 2 mhp \(p_2\): \(p_1\frac{\partial x_1}{\partial p_2} + p_2\frac{\partial x_2}{\partial p_2} = -x_2\)

Sett inn tallverdier: \(\frac{4}{6}\frac{\partial x_1}{\partial p_2} - \frac{3}{2}\frac{\partial x_2}{\partial p_2} = 4\) og \(4\frac{\partial x_1}{\partial p_2} + 3\frac{\partial x_2}{\partial p_2} = -4\)

Løs \(2\times 2\)-systemet for \(\partial x_1/\partial p_2\)

Studieguide: Implicit Function Theorem and Comparative Statics