Definisjon av homogenitet

En funksjon $F(x,y)$ er homogen av grad $k$ hvis $F(tx,ty) = t^k F(x,y)$ for alle $t>0$ og alle $(x,y)$ i definisjonsmengden. Typiske eksempler:

$F(x,y) = ax^2+bxy+cy^2$: homogen av grad 2 (alle ledd har totalt potens 2)
$F(x,y) = x^{1/3}y^{2/3}$: homogen av grad 1 ($1/3+2/3=1$)
$F(x,y) = x+y-xy$: ikke homogen (ledd av ulik grad: 1 og 2)

Eulers teorem

Hvis $F$ er homogen av grad $k$ og differensierbar, gjelder Eulers teorem:

$$x\frac{\partial F}{\partial x} + y\frac{\partial F}{\partial y} = kF(x,y)$$

Beviset: differensier $F(tx,ty)=t^k F(x,y)$ med hensyn på $t$, og sett $t=1$. Teoremet brukes typisk til å beregne $kF$ uten eksplisitt å vite $F$, eller til å vise at et uttrykk forenkles.

Homogenitet av partiellderiverte

Hvis $F$ er homogen av grad $k$, er $F_x = \partial F/\partial x$ homogen av grad $k-1$. Spesielt: hvis $F$ er homogen av grad 1 (CRS-produksjonsfunksjon), er grenseproduktet $F_x$ homogent av grad 0 (avhenger bare av forholdet $y/x$).

Homotetiske funksjoner

En funksjon $G$ er homotetisk hvis $G = h(F)$ der $F$ er homogen og $h$ er strengt stigende. Homotetiske nyttefunksjoner gir etterspørsel som er proporsjonal med inntekten (konstante budsjettandeler).

Eksempel (homogenitetssjekk og Eulers teorem)

La $F(K,L) = AK^\alpha L^{1-\alpha}$ (Cobb-Douglas). Vis at $F$ er homogen av grad 1 og bruk Eulers teorem.

$F(tK,tL) = A(tK)^\alpha(tL)^{1-\alpha} = t^\alpha t^{1-\alpha}AK^\alpha L^{1-\alpha} = t^1 F(K,L)$ — homogen av grad 1

Eulers teorem: $K\cdot F_K + L\cdot F_L = 1\cdot F(K,L)$

Verifiser: $F_K = \alpha AK^{\alpha-1}L^{1-\alpha}$, $F_L = (1-\alpha)AK^\alpha L^{-\alpha}$

$K\cdot F_K + L\cdot F_L = \alpha F + (1-\alpha)F = F$ ✓

Studieguide: Homogeneous Functions and Euler's Theorem