Grunnformen

En lineær førsteordens differenslikning på standardform: $x_{t+1} - ax_t = b_t$. Den homogene løsningen ($b_t=0$): $x_t^{(h)} = Ca^t$. Den generelle løsningen: $x_t = Ca^t + x_t^{(p)}$, der $x_t^{(p)}$ er en partikulær løsning av hele likningen.

Finne partikulær løsning ved koeffisientsammenligning

Oppgaven oppgir typisk en form for $x_t^{(p)}$ og ber deg finne koeffisientene. H2024, Problem 5a: differenslikning $x_{t+1}-\frac{3}{4}x_t = 7-2^{-t}$. Gjett $x_t^{(p)} = q\cdot 2^{-t}+h$. Sett inn:

$$q\cdot 2^{-(t+1)}+h - \tfrac{3}{4}(q\cdot 2^{-t}+h) = 7-2^{-t}$$

$$2^{-t}\left(\frac{q}{2}-\frac{3q}{4}\right) + h\left(1-\frac{3}{4}\right) = 7-2^{-t}$$

$$-\frac{q}{4}\cdot 2^{-t} + \frac{h}{4} = 7-2^{-t}$$

Koeffisient til $2^{-t}$: $-q/4=-1\Rightarrow q=4$. Konstantledd: $h/4=7\Rightarrow h=28$. Generell løsning: $x_t = C(3/4)^t + 4\cdot 2^{-t}+28$.

Initialbetingelse og partikulær løsning

Gitt $x_0=19$: $C+4+28=19\Rightarrow C=-13$. Partikulær løsning: $x_t=-13(3/4)^t+4\cdot 2^{-t}+28$.

Stabilitet

Den homogene løsningen $Ca^t\to 0$ når $|a|<1$ (her $a=3/4$), så løsningen er stabil og konvergerer mot $x_t^{(p)}$ for $t\to\infty$. Merk at $4\cdot 2^{-t}\to 0$ også, så langsiktig verdi er $28$.

Parallell med differensiallikning

Differenslikning $x_{t+1}=ax_t+b$ er diskret analog til differensiallikning $\dot{x}=\alpha x+b$. På eksamen gis ofte valget mellom de to (H2024, Problem 5b: «Pick either (D) or (E)»). Velg den du er mest komfortabel med.

Eksempel (resonanstilfelle)

Hva skjer hvis $b_t = r\cdot a^t$ (forcing-ledd er proporsjonalt med den homogene løsningen)?

Gjett $x_p = qt\cdot a^t$ (resonans — multipliser med $t$)

Sett inn: $q(t+1)a^{t+1} - a\cdot qta^t = qa^{t+1} = ra^t\Rightarrow q=r/a$

Partikulær løsning: $x_p = \frac{r}{a}t\cdot a^t = rt\cdot a^{t-1}$

Studieguide: Difference Equations