Beregning av determinanter

For en \(3\times 3\)-matrise brukes kofaktorekspansjon langs en rad eller kolonne. Ekspansjon langs første rad gir \(\det(\mathbf{A}) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}\), der \(C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\) og \(M_{ij}\) er \(2\times 2\)-determinanten etter at rad \(i\) og kolonne \(j\) er fjernet. For å spare tid: ekspander langs raden eller kolonnen med flest nuller.

På eksamen inneholder matrisen typisk en parameter (f.eks. \(h\) i H2021, \(w\) i H2023, \(a\) i H2025). Determinanten blir da et polynom i parameteren — finn nullpunktene for å identifisere singulære matriser.

Klassifisering av løsningsmengder

Systemet \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\):

\(\det(\mathbf{A}) \neq 0\): entydig løsning \(\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\)
\(\det(\mathbf{A}) = 0\) og systemet er konsistent (\(\mathbf{b}\) er i bildet av \(\mathbf{A}\)): uendelig mange løsninger
\(\det(\mathbf{A}) = 0\) og systemet er inkonsistent: ingen løsninger

For å avgjøre konsistens når \(\det = 0\): utfør radreduksjon på den utvidede matrisen \([\mathbf{A}|\mathbf{b}]\). H2025, Problem 1 gir system med parameter \(a\) og ber om alle tre tilfeller.

Invers matrise

For \(2\times 2\): \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). For \(3\times 3\): bruk Gauss-Jordan (augmenter med identitetsmatrisen og radreduser til identitet) eller adjungert-formelen. H2025, Problem 1c ber om å bekrefte at en gitt invers er korrekt ved \(a=0\) — dette er enklere enn å beregne inversen fra grunnen.

Egenskap fra H2024, Problem 2

Hvis \(\mathbf{x}_0\) er én løsning av \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\), er den generelle løsningen \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \text{ker}(\mathbf{A})\). Løsningen er entydig hvis og bare hvis \(\ker(\mathbf{A}) = \{\mathbf{0}\}\), dvs. \(\det(\mathbf{A}) \neq 0\). H2024, Problem 2c gir \(\mathbf{x}_0 = (1,0,0,0)'\) og spør om entydighet avhengig av parameter \(t\).

Eksempel (system med parameter)

La \(\mathbf{A}_a = \begin{pmatrix}1&0&1\\a&1&1\\1&1&a\end{pmatrix}\). Finn for hvilke \(a\) systemet \(\mathbf{A}_a\mathbf{x} = \mathbf{b}\) har entydig løsning.

\(\det(\mathbf{A}_a)\): ekspander langs første rad

\(= 1\cdot(a-1) - 0 + 1\cdot(a-1) = 2(a-1)\)

Entydig løsning når \(\det \neq 0\): \(a \neq 1\)

Når \(a=1\): sjekk konsistens via \([\mathbf{A}_1|\mathbf{b}]\) for å avgjøre 0 vs. \(\infty\) løsninger

Studieguide: Determinants, Invertibility and Linear Systems