Konveksitet og konkavitet — én variabel

\(f\) er konveks på \(I\) hvis \(f''(x)\geq 0\) for alle \(x\in I\). Konkav: \(f''\leq 0\). Strengt konveks: \(f''>0\).

Konveksitet — to variable

For \(f(x,y)\) definerer vi Hessian-determinanten \(H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2\). Kriteriene (formel D3–D4):

\(H\geq 0\) og \(f_{xx}\geq 0\) overalt: \(f\) er konveks
\(H\geq 0\) og \(f_{xx}\leq 0\) overalt: \(f\) er konkav
\(H>0\) og \(f_{xx}>0\): strengt konveks

Betingelsen må gjelde overalt på definisjonsmengden, ikke bare i ett punkt. For \(f(x,y)=3x^2+4y^2-xy\) er \(f_{xx}=6\), \(f_{yy}=8\), \(f_{xy}=-1\), så \(H=48-1=47>0\) og \(f_{xx}=6>0\) overalt — konveks.

Summeregel (D7)

Summen av konvekse funksjoner er konveks. Mer generelt: \(\alpha f+\beta g\) er konveks hvis \(f,g\) er konvekse og \(\alpha,\beta\geq 0\). Dette brukes når målfunksjonen er en sum: \(F(x,y,z)=f(x,y)+h(z)\) — bevis konveksitet for \(f\) og \(h\) separat, konkluder for \(F\).

Stasjonære punkter og klassifisering

Stasjonære punkter \((x_0,y_0)\) satisfierer \(f_x=0\) og \(f_y=0\). Klassifisering via Hessian i punktet:

\(H>0\) og \(f_{xx}>0\): lokalt minimum
\(H>0\) og \(f_{xx}<0\): lokalt maksimum
\(H<0\): sadelpunkt
\(H=0\): ubestemt — krever høyere ordens analyse

Eksempel (konveksitetsbevis for sum)

Vis at \(F(x,y,z) = 3x^2+4y^2-xy+5z^2\) er konveks.

Del 1: \(f(x,y)=3x^2+4y^2-xy\). \(f_{xx}=6, f_{yy}=8, f_{xy}=-1\).

\(H = 6\cdot8-(-1)^2 = 47 > 0\) og \(f_{xx}=6>0\) overalt — \(f\) er konveks

Del 2: \(h(z)=5z^2\). \(h''=10>0\) overalt — \(h\) er konveks

Konklusjon: \(F = f+h\) er sum av konvekse — konveks (D7)

Studieguide: Convexity, Concavity and Unconstrained Optimization