ECON3120

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Avansert makroøkonomi

eksamenssett.no

Formler

Lineaer algebra

•$\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$
•Cramers regel: $x_i = \det(\mathbf{A}_i)/\det(\mathbf{A})$
•$\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ har entydig losning $\Leftrightarrow \det(\mathbf{A}) \neq 0$
•Differensier hele systemet, samle $dx_i$-ledd, los lineaert system
•Lineaer approksimasjon: $f(a + \Delta) \approx f(a) + f'(a)\Delta$
•Lagrange: $\mathcal{L} = f - \sum \lambda_j(g_j - b_j)$, FOB: $\nabla f = \sum \lambda_j \nabla g_j$
•Kuhn-Tucker: $\lambda_j \geq 0$, $\lambda_j(g_j - b_j) = 0$
•Konvolutt: $\partial V / \partial b_j = \lambda_j$
•Hessian (2 var): $h = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$
•Konveks: $h \geq 0, f_{xx} \geq 0$. Konkav: $h \geq 0, f_{xx} \leq 0$
•Delvis: $\int f'g = fg - \int fg'$
•Leibniz: $\frac{d}{dt}\int_u^v f\,dx = fv' - fu' + \int_u^v f_t'\,dx$
•Uegentlig: split ved singularitet, ta grenser
•Lineaer ODE $\dot{x} + ax = b$: $x = Ce^{-at} + b/a$ (konstant $a, b$)
•Generell: $x = Ce^{-A(t)} + e^{-A(t)}\int be^{A(t)}\,dt$
•Separabel $\dot{x} = f(t)g(x)$: $\int dx/g(x) = \int f(t)\,dt$
•$x_{t+1} = ax_t + b_t$: $x_t = Ca^t + x_t^{(p)}$
•Stabil nar $|a| < 1$
•Bellman: $V_t(x) = \max_c\{R(x,c) + \beta V_{t+1}(f(x,c))\}$
•Los baklengs fra $T$
•Sum av konvekse er konveks (D7)
•Homogen grad $k$: $F(tx,ty) = t^kF(x,y)$
•Euler: $xF_x + yF_y = kF$

Nøkkelformler per tema

Lineaer algebra og matriser

• $\det(\mathbf{A}) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$ -- Kofaktorekspansjon for 3x3-matrise
• $x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$ -- Cramers regel (krever $\det(\mathbf{A}) \neq 0$)
• $\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \text{adj}(\mathbf{A})$ -- Invers matrise via adjungert
• $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ -- Losning via invers

Implisitt derivasjon av likningssystemer

• $\mathbf{A} \begin{pmatrix} dx_1 \\ dx_2 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} F_{1,p} \\ F_{2,p} \end{pmatrix} dp$ -- Differensiert system pa matriseform
• $\frac{\partial x_i}{\partial p} = -\frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$ -- Cramers regel pa det differensierte systemet
• $x(t_0 + \Delta t) \approx x(t_0) + x'(t_0) \cdot \Delta t$ -- Lineaer approksimasjon

Optimering med bibetingelser (Lagrange og Kuhn-Tucker)

• $\mathcal{L} = f(\mathbf{x}) - \sum_j \lambda_j(g_j(\mathbf{x}) - b_j)$ -- Lagrangefunksjonen
• $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = 0, \quad g_j(\mathbf{x}) = b_j$ -- Forstordensbetingelser (Lagrange)
• $\lambda_j \geq 0, \quad \lambda_j(g_j(\mathbf{x}^*) - b_j) = 0$ -- Komplementaer slakkhet (Kuhn-Tucker)
• $\frac{\partial V}{\partial b_j} = \lambda_j$ -- Konvolutt-teoremet (skyggepris)

Dynamisk programmering og Bellman-likninger

• $V_t(x_t) = \max_{c_t} \{R(x_t, c_t) + \beta V_{t+1}(f(x_t, c_t))\}$ -- Bellman-likningen (generell form)
• $\beta = \frac{1}{1+d}$ -- Diskonteringsfaktor
• $V_T(x_T) = g(x_T)$ -- Terminalverdi (gitt i oppgaven)
• $\frac{\partial}{\partial c_t}\{R + \beta V_{t+1}\} = 0$ -- Forstordensbetingelse for optimal kontroll

Integrasjon og uegentlige integraler

• $\int f'(t)g(t)\,dt = f(t)g(t) - \int f(t)g'(t)\,dt$ -- Delvis integrasjon (E3)
• $\frac{d}{dt}\int_{u(t)}^{v(t)} f(x,t)\,dx = f(v,t)v' - f(u,t)u' + \int_u^v f_t'\,dx$ -- Leibniz' regel (E8)
• $\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{R \to a^+} \int_R^c f\,dt + \lim_{S \to b^-} \int_c^S f\,dt$ -- Uegentlig integral med singularitet (E6)

Differensiallikninger

• $x(t) = Ce^{-A(t)} + e^{-A(t)}\int b(t)e^{A(t)}\,dt$ -- Generell losning av lineaer ODE (F1)
• $\int \frac{dx}{g(x)} = \int f(t)\,dt$ -- Separasjon av variable (F2)
• $x(t) = x_h(t) + x_p(t)$ -- Generell = homogen + partikulaer losning

Differenslikninger

• $x_t = Ca^t + x_t^{(p)}$ -- Generell losning av $x_{t+1} = ax_t + b_t$
• $|a| < 1 \Rightarrow Ca^t \to 0$ -- Stabilitetsvilkar: losningen konvergerer
• $x_{t+1} - ax_t = b_t$ -- Standardform (identifiser $a$ og $b_t$ riktig)

Konveksitet, konkavitet og homogenitet

• $h = f_{xx}''f_{yy}'' - (f_{xy}'')^2$ -- Hessian-determinanten for to variable
• $h \geq 0 \text{ og } f_{xx}'' \geq 0 \Rightarrow f \text{ konveks}$ -- Konveksitetstest (D3)
• $F(tx, ty) = t^k F(x,y) \Rightarrow xF_x + yF_y = kF$ -- Eulers teorem for homogene funksjoner
• $\alpha f + \beta g \text{ konveks hvis } f, g \text{ konvekse og } \alpha, \beta \geq 0$ -- Summeregel (D7)

Nyttemaksimering og okonomiske anvendelser

• $\frac{U_i'}{\lambda} = p_i$ -- Marginalnytte per krone skal vaere lik for alle goder
• $\frac{c_H}{c_W} = \left(\frac{(1-\kappa)q}{\kappa p}\right)^{1/\gamma}$ -- Optimalt konsumforhold med forhandlingsmakt
• $\frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{w_H}{w_W}$ -- Optimalt fritidsforhold (lonnvektet)
• $\frac{U_1}{U_2} = F'(I)$ -- Intertemporal effektivitetsbetingelse

Vanlige feil å unngå

Lineaer algebra og matriser

•Glemmer a sjekke dimensjoner for matriseprodukter: (4x1)(4x1) er IKKE veldefinert, men (1x4)(4x1) gir en skalar
•Regner determinanten feil ved fortegnsfeil i kofaktorekspansjonen — vekslingen +, -, + i forste rad er kritisk
•Bruker Cramers regel nar determinanten er null — da er regelen ikke anvendbar
•Nar oppgaven sier 'bruk Cramers regel', gir andre metoder null poeng — les oppgaveteksten noyaktig

Implisitt derivasjon av likningssystemer

•Deriverer sammensatte uttrykk feil: husk kjerneregelen, f.eks. $\frac{d}{dx}(yx^{3/2}) = \frac{3}{2}yx^{1/2}dx + x^{3/2}dy$
•Glemmer a differensiere BEGGE sider av likningen — hvis hoyresiden er en konstant, er differensialet null
•Setter inn tallverdier for tidlig (for differensiering) eller for sent (etter a ha lost generelt) — sett inn ETTER differensiering, for losning
•Regnefeil ved innsetting av broker og roter — dobbeltsjekk aritmetikken grundig

Optimering med bibetingelser (Lagrange og Kuhn-Tucker)

•Glemmer a verifisere at losningen faktisk er et optimum — forstordensbetingelsene alene er ikke tilstrekkelig, du MA vise konveksitet/konkavitet
•Feil fortegn pa Lagrange-multiplikatoren: for minimering med likhetsbibetingelser er fortegnet pa lambda vilkarlig, men for Kuhn-Tucker ma lambda >= 0
•Blander Lagrange (likhet) og Kuhn-Tucker (ulikhet) — les oppgaven noyaktig for a se hvilken type bibetingelse det er
•Glemmer komplementaer slakkhet: nar bibetingelsen ikke er bindende, MA lambda = 0

Dynamisk programmering og Bellman-likninger

•Starter losningen fra t=0 i stedet for fra T — dynamisk programmering loses BAKLENGS, fra slutten
•Glemmer a forklare HVORFOR Bellman-likningen gjelder: optimalitetsprinsippet sier at den optimale policyen fra t ma vaere optimal ogsa fra t+1
•Blander diskonteringsfaktor beta = 1/(1+d) med rente r — disse er to forskjellige ting
•Ved induksjonsbevis: glemmer a verifisere basistilfellet (V_T) for a begynne induksjonen

Integrasjon og uegentlige integraler

•Velger feil oppdeling i delvis integrasjon: skal derivere polynomer/ln og integrere eksponentialfunksjoner, ikke omvendt
•Glemmer a sjekke om det uegentlige integralet divergerer — konklusjonen 'konvergerer' ma begrunnes med grenseberegning
•Ved parameterintegral: blander derivasjon mhp parameter (Leibniz) med derivasjon mhp integrasjonsvariabel
•Glemmer konstanten +C i ubestemte integraler, eller glemmer a evaluere grensene i bestemte integraler

Differensiallikninger

•Bruker feil fortegn pa a(t): i formen x' + a(t)x = b(t) er A(t) integralet av +a(t), ikke -a(t)
•Glemmer de konstante losningene i separable likninger: nar g(x_0) = 0, er x = x_0 en losning
•Setter inn initialbetingelsen i den partikulaere losningen i stedet for i den generelle losningen
•Blander differensiallikninger (kontinuerlig) og differenslikninger (diskret) — losningsmetodene er forskjellige

Differenslikninger

•Blander a i differenslikningen med a i differensiallikningen: x_{t+1} = ax_t gir Ca^t, mens x' = ax gir Ce^{at}
•Gjetter feil form for partikulaer losning: nar hoyresiden inneholder 2^{-t} og en konstant, ma gjettingen ha BEGGE ledd
•Glemmer a justere gjettingen nar hoyresiden inneholder a^t (resonans): da ma du gjette t*a^t i stedet
•Setter inn t+1 i gjettingen feil: nar x_p = q*2^{-t}, er x_{p,t+1} = q*2^{-(t+1)} = q*2^{-t}/2

Konveksitet, konkavitet og homogenitet

•Sjekker Hessian-determinanten bare i ETT punkt og konkluderer globalt — betingelsen ma gjelde OVERALT
•Forveksler sterk og svak konveksitet: h > 0 gir STRENG konveksitet, h >= 0 gir (svak) konveksitet
•Glemmer a sjekke f_xx i tillegg til h: h >= 0 alene er ikke tilstrekkelig — du trenger ogsa fortegnet pa f_xx
•Skriver 'F er ikke homogen' uten begrunnelse — du ma VISE at F(tx,ty) ikke kan skrives som t^k * F(x,y)

Nyttemaksimering og okonomiske anvendelser

•Setter opp budsjettbetingelsen med feil fortegn: arbeidsinntekt er w(1-l), ikke wl
•Deriverer CES-aggregatet feil: $\frac{\partial}{\partial l_H}[\alpha l_H + (1-\alpha)l_W]^{1-\phi} = \alpha(1-\phi)[\ldots]^{-\phi}$
•Glemmer at lambda er den FELLES multiplikatoren — den kobler alle forstordensbetingelsene
•Blander kappa (forhandlingsmakt/konsumandel) med alpha (fritidsvekt) — les notasjonen noyaktig

Eksamenstips

Lineaer algebra og matriser

•Sjekk alltid dimensjonene for du begynner a multiplisere matriser — skriv dimensjonene eksplisitt som (mxn)(nxp)=(mxp)
•Nar du beregner determinanter med parameter, faktoriser uttrykket for a finne nullpunktene enkelt
•Vis Cramers regel steg for steg: skriv opp bade den originale determinanten og den modifiserte
•Nar matrisen inneholder nuller, ekspander langs raden/kolonnen med flest nuller for a spare tid

Implisitt derivasjon av likningssystemer

•Folg alltid oppskriften: (1) differensier, (2) sett inn punkt, (3) los systemet — ALDRI hopp over steg
•Skriv det differensierte systemet pa matriseform — dette gir oversikt og lar deg bruke Cramers regel direkte
•Nar oppgaven gir et spesifikt punkt, verifiser at punktet tilfredsstiller de opprinnelige likningene — dette fanger opp avskrivningsfeil
•Approksimasjonsoppgaver gir enkle poeng: du trenger bare lineariseringen, ikke eksakt losning

Optimering med bibetingelser (Lagrange og Kuhn-Tucker)

•For konveksitetssjekk: beregn Hessian-determinanten h og sjekk fortegnet pa f_xx — dette tar 30 sekunder og gir sikre poeng
•Bruk konvolutt-teoremet for approksimasjonsoppgaver: $\Delta V \approx \lambda \cdot \Delta b$ — enkelt og poengtungt
•Nar F er en sum f(x,y) + h(z), vis konveksiteten separat for hver del og bruk regel D7 fra vedlegget
•Skriv alltid opp ALLE forstordensbetingelser for du begynner a lose — det gir oversikt og hindrer at du glemmer noen

Dynamisk programmering og Bellman-likninger

•Vis baklengs induksjon eksplisitt: start med V_T, beregn V_{T-1}, og vis monsteret
•For stoppeproblemer: sammenlign 'stopp na'-verdi med 'fortsett'-verdi direkte — vis ulikheten tydelig
•Nar verdifunksjonen er kvadratisk (v = alpha*x^2), antar neste steg ogsa kvadratisk form — gjett og verifiser
•Oppgi alltid den optimale policyen (hva agenten bor gjore) i tillegg til verdifunksjonen

Integrasjon og uegentlige integraler

•Pa delvis integrasjon: skriv alltid tydelig hva som er f' og hva som er g for du begynner
•For uegentlige integraler: identifiser singulariteten forst, splitt integralet, og ta grensene eksplisitt
•Nar oppgaven sier 'bruk delvis integrasjon', gi null poeng for andre metoder — folg instruksjonen
•Sjekk svaret ved a derivere antiderivert — dette tar lite tid og fanger opp feil

Differensiallikninger

•Les oppgaven noyaktig: 'finn den partikulaere losningen slik at x(1) = e' betyr at du ma finne C fra initialbetingelsen
•Nar oppgaven refererer til tidligere deloppgaver, BRUK resultatene derfra — dette er med vilje
•For separable likninger: sjekk alltid om g(x) = 0 for noen x — dette gir konstante losninger du ellers overser
•Verifiser losningen din ved a sette den tilbake i den originale likningen — dette er enkelt og avslorer feil

Differenslikninger

•Nar oppgaven gir deg et valg mellom differenslikning og differensiallikning, velg den du er tryggest pa
•Skriv opp gjettingen, sett inn, og sammenlign koeffisienter systematisk — ikke ta snarveier
•Bruk initialbetingelsen pa den GENERELLE losningen (homogen + partikulaer), ikke bare pa den partikulaere
•Sjekk svaret ved a verifisere at x_0 stemmer og at likningen er oppfylt for t = 0

Konveksitet, konkavitet og homogenitet

•Konveksitetssjekken tar typisk 2-3 linjer og gir sikre poeng — la den aldri sta
•For funksjoner av typen ax^2 + by^2 + cxy: Hessian-determinanten er 4ab - c^2 (beregn dette i hodet)
•Nar malsunksjonen er en sum f(x,y) + g(z), bruk summeregleni stedet for a beregne 3x3-Hessian
•Homogenitetssjekk: sett inn (tx, ty) og se om du kan trekke ut t^k — dette er den raskeste metoden

Nyttemaksimering og okonomiske anvendelser

•Skriv opp ALLE forstordensbetingelser for du begynner a eliminere lambda — oversikt er alt
•For a finne forholdstall (c_H/c_W, l_H/l_W): del to forstordensbetingelser pa hverandre — lambda kansellerer
•Forklar okonomisk HVA betingelsene sier: 'den med hoyere lonn bor jobbe mer fordi alternativkostnaden av fritid er hoyere'
•Disse oppgavene har ofte mange poeng for oppsett alene — sett opp Lagrangefunksjonen og forstordensbetingelsene selv om du ikke klarer a lose alt

ECON3120

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Avansert makroøkonomi

eksamenssett.no

Formler

Lineaer algebra

•$\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$
•Cramers regel: $x_i = \det(\mathbf{A}_i)/\det(\mathbf{A})$
•$\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ har entydig losning $\Leftrightarrow \det(\mathbf{A}) \neq 0$
•Differensier hele systemet, samle $dx_i$-ledd, los lineaert system
•Lineaer approksimasjon: $f(a + \Delta) \approx f(a) + f'(a)\Delta$
•Lagrange: $\mathcal{L} = f - \sum \lambda_j(g_j - b_j)$, FOB: $\nabla f = \sum \lambda_j \nabla g_j$
•Kuhn-Tucker: $\lambda_j \geq 0$, $\lambda_j(g_j - b_j) = 0$
•Konvolutt: $\partial V / \partial b_j = \lambda_j$
•Hessian (2 var): $h = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$
•Konveks: $h \geq 0, f_{xx} \geq 0$. Konkav: $h \geq 0, f_{xx} \leq 0$
•Delvis: $\int f'g = fg - \int fg'$
•Leibniz: $\frac{d}{dt}\int_u^v f\,dx = fv' - fu' + \int_u^v f_t'\,dx$
•Uegentlig: split ved singularitet, ta grenser
•Lineaer ODE $\dot{x} + ax = b$: $x = Ce^{-at} + b/a$ (konstant $a, b$)
•Generell: $x = Ce^{-A(t)} + e^{-A(t)}\int be^{A(t)}\,dt$
•Separabel $\dot{x} = f(t)g(x)$: $\int dx/g(x) = \int f(t)\,dt$
•$x_{t+1} = ax_t + b_t$: $x_t = Ca^t + x_t^{(p)}$
•Stabil nar $|a| < 1$
•Bellman: $V_t(x) = \max_c\{R(x,c) + \beta V_{t+1}(f(x,c))\}$
•Los baklengs fra $T$
•Sum av konvekse er konveks (D7)
•Homogen grad $k$: $F(tx,ty) = t^kF(x,y)$
•Euler: $xF_x + yF_y = kF$

Nøkkelformler per tema

Lineaer algebra og matriser

• $\det(\mathbf{A}) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$ -- Kofaktorekspansjon for 3x3-matrise
• $x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$ -- Cramers regel (krever $\det(\mathbf{A}) \neq 0$)
• $\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \text{adj}(\mathbf{A})$ -- Invers matrise via adjungert
• $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ -- Losning via invers

Implisitt derivasjon av likningssystemer

• $\mathbf{A} \begin{pmatrix} dx_1 \\ dx_2 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} F_{1,p} \\ F_{2,p} \end{pmatrix} dp$ -- Differensiert system pa matriseform
• $\frac{\partial x_i}{\partial p} = -\frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$ -- Cramers regel pa det differensierte systemet
• $x(t_0 + \Delta t) \approx x(t_0) + x'(t_0) \cdot \Delta t$ -- Lineaer approksimasjon

Optimering med bibetingelser (Lagrange og Kuhn-Tucker)

• $\mathcal{L} = f(\mathbf{x}) - \sum_j \lambda_j(g_j(\mathbf{x}) - b_j)$ -- Lagrangefunksjonen
• $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = 0, \quad g_j(\mathbf{x}) = b_j$ -- Forstordensbetingelser (Lagrange)
• $\lambda_j \geq 0, \quad \lambda_j(g_j(\mathbf{x}^*) - b_j) = 0$ -- Komplementaer slakkhet (Kuhn-Tucker)
• $\frac{\partial V}{\partial b_j} = \lambda_j$ -- Konvolutt-teoremet (skyggepris)

Dynamisk programmering og Bellman-likninger

• $V_t(x_t) = \max_{c_t} \{R(x_t, c_t) + \beta V_{t+1}(f(x_t, c_t))\}$ -- Bellman-likningen (generell form)
• $\beta = \frac{1}{1+d}$ -- Diskonteringsfaktor
• $V_T(x_T) = g(x_T)$ -- Terminalverdi (gitt i oppgaven)
• $\frac{\partial}{\partial c_t}\{R + \beta V_{t+1}\} = 0$ -- Forstordensbetingelse for optimal kontroll

Integrasjon og uegentlige integraler

• $\int f'(t)g(t)\,dt = f(t)g(t) - \int f(t)g'(t)\,dt$ -- Delvis integrasjon (E3)
• $\frac{d}{dt}\int_{u(t)}^{v(t)} f(x,t)\,dx = f(v,t)v' - f(u,t)u' + \int_u^v f_t'\,dx$ -- Leibniz' regel (E8)
• $\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{R \to a^+} \int_R^c f\,dt + \lim_{S \to b^-} \int_c^S f\,dt$ -- Uegentlig integral med singularitet (E6)

Differensiallikninger

• $x(t) = Ce^{-A(t)} + e^{-A(t)}\int b(t)e^{A(t)}\,dt$ -- Generell losning av lineaer ODE (F1)
• $\int \frac{dx}{g(x)} = \int f(t)\,dt$ -- Separasjon av variable (F2)
• $x(t) = x_h(t) + x_p(t)$ -- Generell = homogen + partikulaer losning

Differenslikninger

• $x_t = Ca^t + x_t^{(p)}$ -- Generell losning av $x_{t+1} = ax_t + b_t$
• $|a| < 1 \Rightarrow Ca^t \to 0$ -- Stabilitetsvilkar: losningen konvergerer
• $x_{t+1} - ax_t = b_t$ -- Standardform (identifiser $a$ og $b_t$ riktig)

Konveksitet, konkavitet og homogenitet

• $h = f_{xx}''f_{yy}'' - (f_{xy}'')^2$ -- Hessian-determinanten for to variable
• $h \geq 0 \text{ og } f_{xx}'' \geq 0 \Rightarrow f \text{ konveks}$ -- Konveksitetstest (D3)
• $F(tx, ty) = t^k F(x,y) \Rightarrow xF_x + yF_y = kF$ -- Eulers teorem for homogene funksjoner
• $\alpha f + \beta g \text{ konveks hvis } f, g \text{ konvekse og } \alpha, \beta \geq 0$ -- Summeregel (D7)

Nyttemaksimering og okonomiske anvendelser

• $\frac{U_i'}{\lambda} = p_i$ -- Marginalnytte per krone skal vaere lik for alle goder
• $\frac{c_H}{c_W} = \left(\frac{(1-\kappa)q}{\kappa p}\right)^{1/\gamma}$ -- Optimalt konsumforhold med forhandlingsmakt
• $\frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{w_H}{w_W}$ -- Optimalt fritidsforhold (lonnvektet)
• $\frac{U_1}{U_2} = F'(I)$ -- Intertemporal effektivitetsbetingelse

Vanlige feil å unngå

Lineaer algebra og matriser

•Glemmer a sjekke dimensjoner for matriseprodukter: (4x1)(4x1) er IKKE veldefinert, men (1x4)(4x1) gir en skalar
•Regner determinanten feil ved fortegnsfeil i kofaktorekspansjonen — vekslingen +, -, + i forste rad er kritisk
•Bruker Cramers regel nar determinanten er null — da er regelen ikke anvendbar
•Nar oppgaven sier 'bruk Cramers regel', gir andre metoder null poeng — les oppgaveteksten noyaktig

Implisitt derivasjon av likningssystemer

•Deriverer sammensatte uttrykk feil: husk kjerneregelen, f.eks. $\frac{d}{dx}(yx^{3/2}) = \frac{3}{2}yx^{1/2}dx + x^{3/2}dy$
•Glemmer a differensiere BEGGE sider av likningen — hvis hoyresiden er en konstant, er differensialet null
•Setter inn tallverdier for tidlig (for differensiering) eller for sent (etter a ha lost generelt) — sett inn ETTER differensiering, for losning
•Regnefeil ved innsetting av broker og roter — dobbeltsjekk aritmetikken grundig

Optimering med bibetingelser (Lagrange og Kuhn-Tucker)

•Glemmer a verifisere at losningen faktisk er et optimum — forstordensbetingelsene alene er ikke tilstrekkelig, du MA vise konveksitet/konkavitet
•Feil fortegn pa Lagrange-multiplikatoren: for minimering med likhetsbibetingelser er fortegnet pa lambda vilkarlig, men for Kuhn-Tucker ma lambda >= 0
•Blander Lagrange (likhet) og Kuhn-Tucker (ulikhet) — les oppgaven noyaktig for a se hvilken type bibetingelse det er
•Glemmer komplementaer slakkhet: nar bibetingelsen ikke er bindende, MA lambda = 0

Dynamisk programmering og Bellman-likninger

•Starter losningen fra t=0 i stedet for fra T — dynamisk programmering loses BAKLENGS, fra slutten
•Glemmer a forklare HVORFOR Bellman-likningen gjelder: optimalitetsprinsippet sier at den optimale policyen fra t ma vaere optimal ogsa fra t+1
•Blander diskonteringsfaktor beta = 1/(1+d) med rente r — disse er to forskjellige ting
•Ved induksjonsbevis: glemmer a verifisere basistilfellet (V_T) for a begynne induksjonen

Integrasjon og uegentlige integraler

•Velger feil oppdeling i delvis integrasjon: skal derivere polynomer/ln og integrere eksponentialfunksjoner, ikke omvendt
•Glemmer a sjekke om det uegentlige integralet divergerer — konklusjonen 'konvergerer' ma begrunnes med grenseberegning
•Ved parameterintegral: blander derivasjon mhp parameter (Leibniz) med derivasjon mhp integrasjonsvariabel
•Glemmer konstanten +C i ubestemte integraler, eller glemmer a evaluere grensene i bestemte integraler

Differensiallikninger

•Bruker feil fortegn pa a(t): i formen x' + a(t)x = b(t) er A(t) integralet av +a(t), ikke -a(t)
•Glemmer de konstante losningene i separable likninger: nar g(x_0) = 0, er x = x_0 en losning
•Setter inn initialbetingelsen i den partikulaere losningen i stedet for i den generelle losningen
•Blander differensiallikninger (kontinuerlig) og differenslikninger (diskret) — losningsmetodene er forskjellige

Differenslikninger

•Blander a i differenslikningen med a i differensiallikningen: x_{t+1} = ax_t gir Ca^t, mens x' = ax gir Ce^{at}
•Gjetter feil form for partikulaer losning: nar hoyresiden inneholder 2^{-t} og en konstant, ma gjettingen ha BEGGE ledd
•Glemmer a justere gjettingen nar hoyresiden inneholder a^t (resonans): da ma du gjette t*a^t i stedet
•Setter inn t+1 i gjettingen feil: nar x_p = q*2^{-t}, er x_{p,t+1} = q*2^{-(t+1)} = q*2^{-t}/2

Konveksitet, konkavitet og homogenitet

•Sjekker Hessian-determinanten bare i ETT punkt og konkluderer globalt — betingelsen ma gjelde OVERALT
•Forveksler sterk og svak konveksitet: h > 0 gir STRENG konveksitet, h >= 0 gir (svak) konveksitet
•Glemmer a sjekke f_xx i tillegg til h: h >= 0 alene er ikke tilstrekkelig — du trenger ogsa fortegnet pa f_xx
•Skriver 'F er ikke homogen' uten begrunnelse — du ma VISE at F(tx,ty) ikke kan skrives som t^k * F(x,y)

Nyttemaksimering og okonomiske anvendelser

•Setter opp budsjettbetingelsen med feil fortegn: arbeidsinntekt er w(1-l), ikke wl
•Deriverer CES-aggregatet feil: $\frac{\partial}{\partial l_H}[\alpha l_H + (1-\alpha)l_W]^{1-\phi} = \alpha(1-\phi)[\ldots]^{-\phi}$
•Glemmer at lambda er den FELLES multiplikatoren — den kobler alle forstordensbetingelsene
•Blander kappa (forhandlingsmakt/konsumandel) med alpha (fritidsvekt) — les notasjonen noyaktig

Eksamenstips

Lineaer algebra og matriser

•Sjekk alltid dimensjonene for du begynner a multiplisere matriser — skriv dimensjonene eksplisitt som (mxn)(nxp)=(mxp)
•Nar du beregner determinanter med parameter, faktoriser uttrykket for a finne nullpunktene enkelt
•Vis Cramers regel steg for steg: skriv opp bade den originale determinanten og den modifiserte
•Nar matrisen inneholder nuller, ekspander langs raden/kolonnen med flest nuller for a spare tid

Implisitt derivasjon av likningssystemer

•Folg alltid oppskriften: (1) differensier, (2) sett inn punkt, (3) los systemet — ALDRI hopp over steg
•Skriv det differensierte systemet pa matriseform — dette gir oversikt og lar deg bruke Cramers regel direkte
•Nar oppgaven gir et spesifikt punkt, verifiser at punktet tilfredsstiller de opprinnelige likningene — dette fanger opp avskrivningsfeil
•Approksimasjonsoppgaver gir enkle poeng: du trenger bare lineariseringen, ikke eksakt losning

Optimering med bibetingelser (Lagrange og Kuhn-Tucker)

•For konveksitetssjekk: beregn Hessian-determinanten h og sjekk fortegnet pa f_xx — dette tar 30 sekunder og gir sikre poeng
•Bruk konvolutt-teoremet for approksimasjonsoppgaver: $\Delta V \approx \lambda \cdot \Delta b$ — enkelt og poengtungt
•Nar F er en sum f(x,y) + h(z), vis konveksiteten separat for hver del og bruk regel D7 fra vedlegget
•Skriv alltid opp ALLE forstordensbetingelser for du begynner a lose — det gir oversikt og hindrer at du glemmer noen

Dynamisk programmering og Bellman-likninger

•Vis baklengs induksjon eksplisitt: start med V_T, beregn V_{T-1}, og vis monsteret
•For stoppeproblemer: sammenlign 'stopp na'-verdi med 'fortsett'-verdi direkte — vis ulikheten tydelig
•Nar verdifunksjonen er kvadratisk (v = alpha*x^2), antar neste steg ogsa kvadratisk form — gjett og verifiser
•Oppgi alltid den optimale policyen (hva agenten bor gjore) i tillegg til verdifunksjonen

Integrasjon og uegentlige integraler

•Pa delvis integrasjon: skriv alltid tydelig hva som er f' og hva som er g for du begynner
•For uegentlige integraler: identifiser singulariteten forst, splitt integralet, og ta grensene eksplisitt
•Nar oppgaven sier 'bruk delvis integrasjon', gi null poeng for andre metoder — folg instruksjonen
•Sjekk svaret ved a derivere antiderivert — dette tar lite tid og fanger opp feil

Differensiallikninger

•Les oppgaven noyaktig: 'finn den partikulaere losningen slik at x(1) = e' betyr at du ma finne C fra initialbetingelsen
•Nar oppgaven refererer til tidligere deloppgaver, BRUK resultatene derfra — dette er med vilje
•For separable likninger: sjekk alltid om g(x) = 0 for noen x — dette gir konstante losninger du ellers overser
•Verifiser losningen din ved a sette den tilbake i den originale likningen — dette er enkelt og avslorer feil

Differenslikninger

•Nar oppgaven gir deg et valg mellom differenslikning og differensiallikning, velg den du er tryggest pa
•Skriv opp gjettingen, sett inn, og sammenlign koeffisienter systematisk — ikke ta snarveier
•Bruk initialbetingelsen pa den GENERELLE losningen (homogen + partikulaer), ikke bare pa den partikulaere
•Sjekk svaret ved a verifisere at x_0 stemmer og at likningen er oppfylt for t = 0

Konveksitet, konkavitet og homogenitet

•Konveksitetssjekken tar typisk 2-3 linjer og gir sikre poeng — la den aldri sta
•For funksjoner av typen ax^2 + by^2 + cxy: Hessian-determinanten er 4ab - c^2 (beregn dette i hodet)
•Nar malsunksjonen er en sum f(x,y) + g(z), bruk summeregleni stedet for a beregne 3x3-Hessian
•Homogenitetssjekk: sett inn (tx, ty) og se om du kan trekke ut t^k — dette er den raskeste metoden

Nyttemaksimering og okonomiske anvendelser

•Skriv opp ALLE forstordensbetingelser for du begynner a eliminere lambda — oversikt er alt
•For a finne forholdstall (c_H/c_W, l_H/l_W): del to forstordensbetingelser pa hverandre — lambda kansellerer
•Forklar okonomisk HVA betingelsene sier: 'den med hoyere lonn bor jobbe mer fordi alternativkostnaden av fritid er hoyere'
•Disse oppgavene har ofte mange poeng for oppsett alene — sett opp Lagrangefunksjonen og forstordensbetingelsene selv om du ikke klarer a lose alt