ECON3120

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Implicit Function Theorem and Comparative Statics

• $\mathbf{J}\begin{pmatrix}\partial x_1/\partial p \\ \partial x_2/\partial p\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}F_{1,p} \\ F_{2,p}\end{pmatrix}$ — Differensiert system på matriseform
• $x(p_0 + \Delta p) \approx x(p_0) + x'(p_0)\cdot\Delta p$ — Lineær approksimasjon
• $\frac{\partial x_i}{\partial p} = -\frac{\det(\mathbf{J}_i)}{\det(\mathbf{J})}$ — Cramers regel på det differensierte systemet

Linear Algebra: Matrix Operations and Products

• $\mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{B}_{n\times p} = \mathbf{C}_{m\times p}$ — Veldefinert produkt, dimensjonsregel
• $(\mathbf{A}\mathbf{B})' = \mathbf{B}'\mathbf{A}'$ — Transponert av produkt
• $(\mathbf{M}'\mathbf{M})_{ij} = \sum_k M_{ki}M_{kj}$ — Gram-matrisen (alltid symmetrisk)

Determinants, Invertibility and Linear Systems

• $\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$ — Kofaktorekspansjon
• $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ — Invers 2×2-matrise
• $\det(\mathbf{A}) \neq 0 \Leftrightarrow \mathbf{A}\text{ inverterbar} \Leftrightarrow \mathbf{Ax=b}\text{ har entydig løsning}$

Constrained Optimization: Lagrange Conditions

• $\mathcal{L} = f(\mathbf{x}) - \sum_j\lambda_j(g_j(\mathbf{x})-b_j)$ — Lagrangefunksjonen
• $\nabla_x\mathcal{L} = \mathbf{0},\quad g_j(\mathbf{x}) = b_j$ — Førsteordensbetingelser
• $\frac{\partial V^*}{\partial b_j} = \lambda_j$ — Envelop-teoremet (skyggepris)

Kuhn-Tucker Conditions and Inequality Constraints

• $\nabla f(\mathbf{x}^*) = \sum_j\lambda_j\nabla g_j(\mathbf{x}^*)$ — Stasjonaritetsbetingelse (KT)
• $\lambda_j \geq 0,\quad \lambda_j(g_j(\mathbf{x}^*)-b_j)=0$ — Ikke-negativitet og komplementær slakkhet
• $g_j(\mathbf{x}^*) \leq b_j$ — Primal feasibility

Integration by Parts and Improper Integrals

• $\int f'g\,dt = fg - \int fg'\,dt$ — Delvis integrasjon (E3)
• $\frac{d}{dt}\int_{a}^{b} f(x,t)\,dx = \int_a^b f_t'(x,t)\,dx$ — Leibniz (konstante grenser)
• $\int_a^\infty f\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_a^R f\,dx$ — Uegentlig integral, konvergens

Differential Equations (First-Order Linear and Separable)

• $x(t) = e^{-A(t)}\left(C + \int b(t)e^{A(t)}\,dt\right),\quad A(t)=\int a(t)\,dt$ — Generell løsning, lineær ODE (F1)
• $\int\frac{dx}{g(x)} = \int f(t)\,dt + C$ — Separasjon av variable (F2)
• $x(t) = x_h(t) + x_p(t),\quad x_h = Ce^{-at}$ — Homogen + partikulær

Convexity, Concavity and Unconstrained Optimization

• $H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ — Hessian-determinanten (to variable)
• $H\geq 0,\; f_{xx}\geq 0 \Rightarrow f\text{ konveks}\quad H\geq 0,\; f_{xx}\leq 0 \Rightarrow f\text{ konkav}$ — (D3/D4)
• $H>0,\; f_{xx}>0\Rightarrow\text{min};\quad H>0,\; f_{xx}<0\Rightarrow\text{maks};\quad H<0\Rightarrow\text{sadel}$ — Klassifisering

Homogeneous Functions and Euler's Theorem

• $F(tx,ty) = t^k F(x,y)$ — Definisjon: homogen av grad $k$
• $xF_x + yF_y = kF(x,y)$ — Eulers teorem
• $F\text{ hom. grad }k \Rightarrow F_x\text{ hom. grad }k-1$ — Homogenitet av partiellderiverte

Dynamic Programming and Bellman Equations

• $V_t(x_t) = \max_{c_t}\{R(x_t,c_t)+\beta V_{t+1}(f(x_t,c_t))\}$ — Bellman-likningen
• $\beta = \frac{1}{1+d}$ — Diskonteringsfaktor
• $\frac{\partial}{\partial c_t}\{R+\beta V_{t+1}\} = 0$ — Optimalt kontrollvalg

Difference Equations

• $x_t = Ca^t + x_t^{(p)}$ — Generell løsning av $x_{t+1}-ax_t=b_t$
• $|a|<1\Rightarrow Ca^t\to 0\;(\text{stabil})\quad |a|>1\Rightarrow\text{ustabil}$ — Stabilitetsvilkår
• $x_{t+1}^{(p)}-ax_t^{(p)}=b_t$ — Sett inn gjettingen og sammenlign koeffisienter

Cramer's Rule and Equation Systems with Parameters

• $x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$ — Cramers regel (krever $\det(\mathbf{A})\neq 0$)
• $\mathbf{A}_i = [\mathbf{A}\text{ med kolonne }i\text{ erstattet av }\mathbf{b}]$
• $\det(\mathbf{A})=0\Rightarrow\text{Cramers regel gjelder ikke}$

Vanlige feil å unngå

Implicit Function Theorem and Comparative Statics

•Differensierer sammensatte uttrykk feil — husk kjerneregelen: $\frac{d}{dp}[f(x(p))] = f'(x) \cdot x'(p)$. Sensor rapporterer at mange tror $\frac{d}{dx}(KL)^{1/3} = (KL)^{-2/3}$ og glemmer kjerneregelen — $\frac{d}{dK}(KL)^{1/3} = \tfrac13 K^{-2/3}L^{1/3}$
•Nuller ut feil differensial: når du søker $\partial x/\partial p$, sett $dt=0$ og behold $dp$ — ikke nuller ut $dp$ eller en endogen $dx$
•Setter inn tallverdier før differensiering — sett inn ETTER differensiering og FØR løsning av systemet
•Glemmer å differensiere begge sider av likningen — høyresiden er sjelden null
•Sløser tid ved å dra urørte uttrykk som $16\cdot 64^{-2/3}$ gjennom hele utregningen i stedet for å forenkle til $1$ først — forenkle tallene tidlig
•Regnefeil ved innsetting av brøker og røtter — dobbeltsjekk aritmetikken med de gitte tallverdiene

Linear Algebra: Matrix Operations and Products

•Konkluderer at $(\mathbf{v}_t)^2$ er veldefinert fordi $\mathbf{v}_t$ er kvadratbar i en annen forstand — det er kun $\mathbf{v}_t'\mathbf{v}_t$ (skalar) eller $\mathbf{v}_t\mathbf{v}_t'$ (ytre produkt) som er veldefinert
•Regner matriseprodukter ELEMENTVIS — dette er en felle. $(\mathbf{AB})_{ij}$ er prikkproduktet av rad $i$ i $\mathbf{A}$ og kolonne $j$ i $\mathbf{B}$, aldri $a_{ij}b_{ij}$. Elementvis multiplikasjon gir et plausibelt, men feil, svar
•Blander rekkefølge i matriseprodukter — $\mathbf{AB} \neq \mathbf{BA}$ generelt
•Glemmer å sjekke dimensjonene eksplisitt og skriver bare «veldefinert» uten begrunnelse
•Regner $\mathbf{M}'\mathbf{M}$ feil ved å bruke rader i stedet for kolonner som dot-produkter

Determinants, Invertibility and Linear Systems

•Fortegnsfeil i kofaktorekspansjonen — vekslingen $+,-,+,-$ langs raden er kritisk, bruk sjakkmønsteret
•Konkluderer «ingen løsning» når $\det = 0$ uten å sjekke konsistens — det kan like godt være uendelig mange
•Bruker formelen for $2\times 2$-invers på en $3\times 3$-matrise
•Glemmer å sjekke om løsningen er entydig når $\det \neq 0$ for alle $t$ versus kun for spesielle $t$

Constrained Optimization: Lagrange Conditions

•Slutter å jobbe etter å ha funnet kandidatpunktet — du MÅ vise optimalitet, typisk via konveksitetsargument
•Feil fortegn på Lagrange-multiplikatoren — konvensjonen er $\mathcal{L} = f - \lambda(g-b)$, merk minustegnet. Et minustegn i en bibetingelse (f.eks. $x-z=2$) forsvinner lett — vær nøye
•Glemmer å verifisere at kandidatpunktet faktisk tilfredsstiller begge bibetingelsene
•«Verifiser Lagrangebetingelsene» betyr ALLE FOB, ikke bare å regne ut multiplikatorene fra to likninger — du må sette begge multiplikatorene inn i den TREDJE FOB og vise at den holder
•Glemmer at Lagrangebetingelsene inkluderer stasjonaritet av Lagrangefunksjonen — kun å sjekke at punktet er tillatt (admissibelt) er ikke nok
•Bruker envelop-teoremet ukritisk når bibetingelsen selv avhenger av endogene variabler

Kuhn-Tucker Conditions and Inequality Constraints

•Glemmer fortegnskravet $\lambda_j \geq 0$ — dette er det som skiller KT fra Lagrange
•Glemmer komplementær slakkhet — du MÅ sjekke om $\lambda_j(g_j-b_j)=0$ for hvert $j$
•Slutter analysen etter å ha funnet ett kandidatpunkt — det kan finnes flere kandidater (ulike aktive sett)
•Bruker KT-betingelsene for likhetsbibetingelser der Lagrange er korrekt — les oppgaven nøye

Integration by Parts and Improper Integrals

•Velger feil $u$ og $dv$ — logaritmer og polynomer bør deriveres (velges som $u$), ikke integreres
•Glemmer å evaluere $[fg]_a^b$-leddet ved bestemte integraler — begge grenser må settes inn
•Overser at polen (singulariteten) ligger INNE i integrasjonsintervallet — da må integralet splittes i to uegentlige integraler, og BEGGE må konvergere. Et $\ln$-ledd som går mot $-\infty$ ved polen avslører divergens
•Deriverer $(\ln z)^2$ feil — kjerneregelen gir $\frac{d}{dz}(\ln z)^2 = 2\ln z\cdot\frac1z$, ikke $2\ln z$
•Bruker Leibniz' fulle formel (med varierende grenser) når grensene er konstante — da er kun integralleddet ikke-null
•Forveksler delvis integrasjon med substitusjon — $(y^2+1)^3$ er IKKE $(y^2)^3+1^3$; substitusjon er ikke pensum, så ekspander polynomet eller bruk gjentatt delvis integrasjon

Differential Equations (First-Order Linear and Separable)

•Setter inn initialbetingelsen i kun den partikulære løsningen — $C$ finnes fra den GENERELLE løsningen
•Deler på $g(x)$ i en separabel likning UTEN å sjekke om $g$ har nullpunkter — sensor kaller dette «a grave sin». Hvert nullpunkt $g(x_0)=0$ gir en egen konstant løsning $x\equiv x_0$ som ofte ER en av løsningene oppgaven spør om
•Feil fortegn på $a(t)$ i $A(t)=\int a(t)\,dt$ — integrèr $+a(t)$, ikke $-a(t)$
•Bruker gjettingsmetoden uten å verifisere — sett alltid den partikulære løsningen tilbake i likningen

Convexity, Concavity and Unconstrained Optimization

•Sjekker Hessian-betingelsen kun i ett punkt og konkluderer globalt — betingelsen MÅ gjelde overalt
•Glemmer å sjekke $f_{xx}$ i tillegg til $H$ — $H\geq 0$ alene sier ingenting om konveks vs. konkav
•Klassifiserer feil: $H<0$ er sadelpunkt, IKKE minimum
•Beregner Hessian-determinanten feil: husk at $H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$, ikke $f_{xx}f_{yy}+f_{xy}^2$

Homogeneous Functions and Euler's Theorem

•Sjekker bare noen verdier av $t$ og konkluderer homogenitet — definisjonen krever at det gjelder for ALLE $t>0$
•Anvender Eulers teorem uten å verifisere at funksjonen faktisk er homogen
•Forveksler «homogen av grad 0» (skalainvariant) med «lineært homogen» (grad 1)
•Glemmer at summen av ledd av ulik grad (f.eks. $x+x^2$) IKKE er homogen

Dynamic Programming and Bellman Equations

•Løser FREMOVER i stedet for BAKOVER — dynamisk programmering starter alltid fra $T$ og jobber mot $t_0$
•Glemmer terminalbetingelsen $V_T$ — dette er startpunktet for baklengs induksjon
•Blander diskonteringsfaktor $\beta = 1/(1+d)$ med rente $r$ — de er forskjellige størrelser
•Ved induksjonsbevis: glemmer å verifisere basistilfellet $V_T(x_T)$ eksplisitt

Difference Equations

•Blander $a$ i differenslikning ($Ca^t$) med $a$ i differensiallikning ($Ce^{at}$) — ulike former
•Gjetter feil form: $b_t=7-2^{-t}$ krever begge ledd $h+q\cdot 2^{-t}$, ikke bare ett av dem
•Resonansfeil: hvis $b_t\propto a^t$ (presis resonans), må du gjette $t\cdot a^t$, ikke $a^t$
•Setter inn $t+1$ feil: $x_p(t+1) = q\cdot 2^{-(t+1)} = q\cdot 2^{-t}/2$, ikke $q\cdot 2^{-t}-1$

Cramer's Rule and Equation Systems with Parameters

•Erstatter feil kolonne — kolonne $i$ (ikke rad $i$) erstattes av $\mathbf{b}$
•Bruker Cramers regel uten å verifisere $\det(\mathbf{A})\neq 0$ — regelen er ugyldig ellers
•Beregner $\det(\mathbf{A}_i)$ feil — husk at $\mathbf{b}$ erstatter én kolonne, resten av matrisen er uendret
•Glemmer at oppgaven kan be om å vise at $x_i=0$ — da holder det å vise $\det(\mathbf{A}_i)=0$

Eksamenstips

Implicit Function Theorem and Comparative Statics

•Verifiser at det gitte punktet tilfredsstiller de opprinnelige likningene — dette avslører avskrivningsfeil
•Skriv det differensierte systemet eksplisitt på matriseform — gir oversikt og lar deg bruke Cramers regel
•For approksimasjon: $\Delta p = p_{ny} - p_0$ kan være en brøk — beregn den nøye
•Oppgaven gir alltid et hint i parentes (f.eks. H2024: «it might be useful to write some terms as n/16») — bruk det

Linear Algebra: Matrix Operations and Products

•Skriv dimensjonene (m×n) eksplisitt ved siden av hvert matrisesymbol — dimensjonssjekken tar 10 sekunder og gir sikre poeng
•Oppgaven spør typisk: «One or more of the five products will be square but not of order 4×4. Calculate it» — $\mathbf{M}'\mathbf{M}$ er alltid kandidaten
•Ved beregning av $\mathbf{M}'\mathbf{M}$: kolonne $j$ i $\mathbf{M}$ gir rad $j$ i $\mathbf{M}'$ — tenk dot-produkter av kolonner

Determinants, Invertibility and Linear Systems

•Ekspander alltid langs raden/kolonnen med flest nuller — sparer tid og reduserer regnefeil
•Faktoriser determinanten som funksjon av parameteren — gjør det lett å finne nullpunktene
•Når oppgaven ber om å «vise» at en invers er korrekt: verifiser $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ i stedet for å beregne inversen på nytt
•Når du har $\mathbf{A}^{-1}$, er løsningen $\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ — ren matrisemultiplikasjon
•Sensorveiledningene advarer gjentatte ganger mot den falske ekvivalensen «$\det\neq 0\Leftrightarrow$ løsning eksisterer». Hvis oppgaven OPPGIR at $\mathbf{x}_0$ er en løsning, finnes det per definisjon en løsning — uavhengig av determinanten. Determinanten avgjør kun ENTYDIGHET.
•Les radene i en radredusert utvidet matrise korrekt: en rad $(0\;0\;0\;0\,|\,1)$ betyr $0=1$ (ingen løsning), mens $(0\;1\;0\;0\,|\,0)$ betyr $x_2=0$ — to helt forskjellige ting

Constrained Optimization: Lagrange Conditions

•Skriv opp ALLE FOB eksplisitt før du begynner å løse — oversikt er avgjørende med mange variabler
•For skyggeprisoppgaver: $\Delta V^* \approx \lambda_j \cdot \Delta b_j$ — tre linjer og sikre poeng. Sensor påpeker at svært få studenter på masternivå faktisk PEKER PÅ at multiplikatoren ER skyggeprisen — gjør det eksplisitt og du skiller deg ut
•Verifiser kandidatpunktet i FOB ved direkte innsetting — raskere enn å løse systemet
•Hvis konveksitetsbeviset er en separat deloppgave (typisk del (a) eller (b)), løs det FØR optimalitetsargumentet
•Trivariat konkavitet er ikke pensum — bruk i stedet at en sum av konkave (eller konvekse) funksjoner arver egenskapen (D7/D8), så holder en $2\times2$-Hessian pluss en énvariabel-andrederivert

Kuhn-Tucker Conditions and Inequality Constraints

•Start med å telle opp alle mulige kombinasjoner av aktive/inaktive bibetingelser — er det 2 bibetingelser, er det 4 kombinasjoner
•Sjekk alltid feasibility (at kandidatpunktet oppfyller bibetingelsene) — dette er et vanlig sted å tape poeng
•KT er tatt ut av pensum fra 2024 — fokuser på Lagrange (likhetsbetingelser) for nyere eksamener

Integration by Parts and Improper Integrals

•Skriv alltid eksplisitt: «La $u=\ldots$, $dv=\ldots$, da er $du=\ldots$, $v=\ldots$» — dette tvinger deg til å tenke og gir poeng
•For parameterintegral $J(t)$: derivasjon mhp $t$ gir $\int x e^{tx}\,dx$ — Leibniz brukes direkte
•Verifiser svaret ved derivering — denne sjekken tar 30 sekunder og avslører feil
•H2024(5d): $\int(y^2+1)^3 \cdot 2y\,dy$ uten substitusjon — ekspander $(y^2+1)^3$ og integrer ledd for ledd

Differential Equations (First-Order Linear and Separable)

•Identifiser umiddelbart: er likningen lineær ($\dot{x}+a(t)x=b(t)$) eller separabel ($\dot{x}=f(t)g(x)$)?
•For gjetting: hvert ledd i $b(t)$ tilsvarer et ledd i $x_p$ — $7$ gir konstant, $2^{-t}$ gir $q\cdot 2^{-t}$
•Verifiser partikulær løsning ved direkte innsetting — ta 1 minutt og unngå å miste poeng
•H2025(4c): vis at $\hat{I}+C/t$ løser ODE-en ved å sette inn og bruke at $\hat{I}$ løser den

Convexity, Concavity and Unconstrained Optimization

•For $f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$: $H=4ac-b^2$ (beregn i hodet), $f_{xx}=2a$
•Konveksitetssjekken tar 3–4 linjer og gir direkte poeng — gjør den alltid eksplisitt
•Bruk summeregelargumentet (D7) for summer — mye enklere enn $3\times 3$-Hessian
•Husk: for ubegrenset optimering er stasjonæritet nødvendig, men konveksitet/konkavitet beviser globalitet

Homogeneous Functions and Euler's Theorem

•Raskeste sjekk: sett inn $(tx,ty)$ og faktoriser ut $t^k$ — hvis det ikke går, er funksjonen ikke homogen
•For polynomer: sjekk om alle ledd har samme totale potens — $ax^2+bxy+cy^2$ er grad 2, $x+xy$ er ikke homogen
•Eulers teorem brukes i oppgaver der du skal vise en bestemt relasjon mellom $F$, $F_x$ og $F_y$
•Homotetisitet er et svakere krav — bruk det når nyttefunksjonen er en strikt stigende transformasjon av en homogen funksjon

Dynamic Programming and Bellman Equations

•Vis baklengs induksjon eksplisitt: «Vi starter med $v_T$, beregner $v_{T-1}$» — sett opp FOB og løs
•Verdifunksjonen beholder typisk sin form (kvadratisk → kvadratisk): gjett formen og verifiser
•For stoppeproblemer: sammenlign «stopp nå»-verdi og «fortsett»-verdi direkte — vis ulikheten tydelig
•Oppgi alltid den optimale policyen ($c_t^*$ som funksjon av $x_t$) i tillegg til verdifunksjonen

Difference Equations

•Skriv opp gjettingen, sett inn, og sammenlign koeffisienter for hvert type ledd (eksponential, konstant) separat
•Bruk alltid den GENERELLE løsningen (homogen + partikulær) for å finne $C$ fra initialbetingelsen
•H2024-eksamen gir deg valget mellom differenslikning og differensiallikning — begge gir full uttelling
•Sjekk svaret ved $t=0$: verifiser at $x_0$ stemmer og sett inn i likningen for $t=0$

Cramer's Rule and Equation Systems with Parameters

•Hvis oppgaven sier «bruk Cramers regel», gi null poeng for Gauss-eliminasjon — les instruksjonen
•For å vise $x_i=0$: beregn $\det(\mathbf{A}_i)$ og vis at den er null — ikke løs hele systemet
•Kombiner med beregningene fra determinant-seksjonen — har du allerede $\det(\mathbf{A})$, trenger du bare $\det(\mathbf{A}_i)$
•Etter implisitt differensiering: systemet er allerede satt opp — bruk Cramers regel direkte på det differensierte systemet

ECON3120

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Implicit Function Theorem and Comparative Statics

• $\mathbf{J}\begin{pmatrix}\partial x_1/\partial p \\ \partial x_2/\partial p\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}F_{1,p} \\ F_{2,p}\end{pmatrix}$ — Differensiert system på matriseform
• $x(p_0 + \Delta p) \approx x(p_0) + x'(p_0)\cdot\Delta p$ — Lineær approksimasjon
• $\frac{\partial x_i}{\partial p} = -\frac{\det(\mathbf{J}_i)}{\det(\mathbf{J})}$ — Cramers regel på det differensierte systemet

Linear Algebra: Matrix Operations and Products

• $\mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{B}_{n\times p} = \mathbf{C}_{m\times p}$ — Veldefinert produkt, dimensjonsregel
• $(\mathbf{A}\mathbf{B})' = \mathbf{B}'\mathbf{A}'$ — Transponert av produkt
• $(\mathbf{M}'\mathbf{M})_{ij} = \sum_k M_{ki}M_{kj}$ — Gram-matrisen (alltid symmetrisk)

Determinants, Invertibility and Linear Systems

• $\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$ — Kofaktorekspansjon
• $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ — Invers 2×2-matrise
• $\det(\mathbf{A}) \neq 0 \Leftrightarrow \mathbf{A}\text{ inverterbar} \Leftrightarrow \mathbf{Ax=b}\text{ har entydig løsning}$

Constrained Optimization: Lagrange Conditions

• $\mathcal{L} = f(\mathbf{x}) - \sum_j\lambda_j(g_j(\mathbf{x})-b_j)$ — Lagrangefunksjonen
• $\nabla_x\mathcal{L} = \mathbf{0},\quad g_j(\mathbf{x}) = b_j$ — Førsteordensbetingelser
• $\frac{\partial V^*}{\partial b_j} = \lambda_j$ — Envelop-teoremet (skyggepris)

Kuhn-Tucker Conditions and Inequality Constraints

• $\nabla f(\mathbf{x}^*) = \sum_j\lambda_j\nabla g_j(\mathbf{x}^*)$ — Stasjonaritetsbetingelse (KT)
• $\lambda_j \geq 0,\quad \lambda_j(g_j(\mathbf{x}^*)-b_j)=0$ — Ikke-negativitet og komplementær slakkhet
• $g_j(\mathbf{x}^*) \leq b_j$ — Primal feasibility

Integration by Parts and Improper Integrals

• $\int f'g\,dt = fg - \int fg'\,dt$ — Delvis integrasjon (E3)
• $\frac{d}{dt}\int_{a}^{b} f(x,t)\,dx = \int_a^b f_t'(x,t)\,dx$ — Leibniz (konstante grenser)
• $\int_a^\infty f\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_a^R f\,dx$ — Uegentlig integral, konvergens

Differential Equations (First-Order Linear and Separable)

• $x(t) = e^{-A(t)}\left(C + \int b(t)e^{A(t)}\,dt\right),\quad A(t)=\int a(t)\,dt$ — Generell løsning, lineær ODE (F1)
• $\int\frac{dx}{g(x)} = \int f(t)\,dt + C$ — Separasjon av variable (F2)
• $x(t) = x_h(t) + x_p(t),\quad x_h = Ce^{-at}$ — Homogen + partikulær

Convexity, Concavity and Unconstrained Optimization

• $H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ — Hessian-determinanten (to variable)
• $H\geq 0,\; f_{xx}\geq 0 \Rightarrow f\text{ konveks}\quad H\geq 0,\; f_{xx}\leq 0 \Rightarrow f\text{ konkav}$ — (D3/D4)
• $H>0,\; f_{xx}>0\Rightarrow\text{min};\quad H>0,\; f_{xx}<0\Rightarrow\text{maks};\quad H<0\Rightarrow\text{sadel}$ — Klassifisering

Homogeneous Functions and Euler's Theorem

• $F(tx,ty) = t^k F(x,y)$ — Definisjon: homogen av grad $k$
• $xF_x + yF_y = kF(x,y)$ — Eulers teorem
• $F\text{ hom. grad }k \Rightarrow F_x\text{ hom. grad }k-1$ — Homogenitet av partiellderiverte

Dynamic Programming and Bellman Equations

• $V_t(x_t) = \max_{c_t}\{R(x_t,c_t)+\beta V_{t+1}(f(x_t,c_t))\}$ — Bellman-likningen
• $\beta = \frac{1}{1+d}$ — Diskonteringsfaktor
• $\frac{\partial}{\partial c_t}\{R+\beta V_{t+1}\} = 0$ — Optimalt kontrollvalg

Difference Equations

• $x_t = Ca^t + x_t^{(p)}$ — Generell løsning av $x_{t+1}-ax_t=b_t$
• $|a|<1\Rightarrow Ca^t\to 0\;(\text{stabil})\quad |a|>1\Rightarrow\text{ustabil}$ — Stabilitetsvilkår
• $x_{t+1}^{(p)}-ax_t^{(p)}=b_t$ — Sett inn gjettingen og sammenlign koeffisienter

Cramer's Rule and Equation Systems with Parameters

• $x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$ — Cramers regel (krever $\det(\mathbf{A})\neq 0$)
• $\mathbf{A}_i = [\mathbf{A}\text{ med kolonne }i\text{ erstattet av }\mathbf{b}]$
• $\det(\mathbf{A})=0\Rightarrow\text{Cramers regel gjelder ikke}$

Vanlige feil å unngå

Implicit Function Theorem and Comparative Statics

•Differensierer sammensatte uttrykk feil — husk kjerneregelen: $\frac{d}{dp}[f(x(p))] = f'(x) \cdot x'(p)$. Sensor rapporterer at mange tror $\frac{d}{dx}(KL)^{1/3} = (KL)^{-2/3}$ og glemmer kjerneregelen — $\frac{d}{dK}(KL)^{1/3} = \tfrac13 K^{-2/3}L^{1/3}$
•Nuller ut feil differensial: når du søker $\partial x/\partial p$, sett $dt=0$ og behold $dp$ — ikke nuller ut $dp$ eller en endogen $dx$
•Setter inn tallverdier før differensiering — sett inn ETTER differensiering og FØR løsning av systemet
•Glemmer å differensiere begge sider av likningen — høyresiden er sjelden null
•Sløser tid ved å dra urørte uttrykk som $16\cdot 64^{-2/3}$ gjennom hele utregningen i stedet for å forenkle til $1$ først — forenkle tallene tidlig
•Regnefeil ved innsetting av brøker og røtter — dobbeltsjekk aritmetikken med de gitte tallverdiene

Linear Algebra: Matrix Operations and Products

•Konkluderer at $(\mathbf{v}_t)^2$ er veldefinert fordi $\mathbf{v}_t$ er kvadratbar i en annen forstand — det er kun $\mathbf{v}_t'\mathbf{v}_t$ (skalar) eller $\mathbf{v}_t\mathbf{v}_t'$ (ytre produkt) som er veldefinert
•Regner matriseprodukter ELEMENTVIS — dette er en felle. $(\mathbf{AB})_{ij}$ er prikkproduktet av rad $i$ i $\mathbf{A}$ og kolonne $j$ i $\mathbf{B}$, aldri $a_{ij}b_{ij}$. Elementvis multiplikasjon gir et plausibelt, men feil, svar
•Blander rekkefølge i matriseprodukter — $\mathbf{AB} \neq \mathbf{BA}$ generelt
•Glemmer å sjekke dimensjonene eksplisitt og skriver bare «veldefinert» uten begrunnelse
•Regner $\mathbf{M}'\mathbf{M}$ feil ved å bruke rader i stedet for kolonner som dot-produkter

Determinants, Invertibility and Linear Systems

•Fortegnsfeil i kofaktorekspansjonen — vekslingen $+,-,+,-$ langs raden er kritisk, bruk sjakkmønsteret
•Konkluderer «ingen løsning» når $\det = 0$ uten å sjekke konsistens — det kan like godt være uendelig mange
•Bruker formelen for $2\times 2$-invers på en $3\times 3$-matrise
•Glemmer å sjekke om løsningen er entydig når $\det \neq 0$ for alle $t$ versus kun for spesielle $t$

Constrained Optimization: Lagrange Conditions

•Slutter å jobbe etter å ha funnet kandidatpunktet — du MÅ vise optimalitet, typisk via konveksitetsargument
•Feil fortegn på Lagrange-multiplikatoren — konvensjonen er $\mathcal{L} = f - \lambda(g-b)$, merk minustegnet. Et minustegn i en bibetingelse (f.eks. $x-z=2$) forsvinner lett — vær nøye
•Glemmer å verifisere at kandidatpunktet faktisk tilfredsstiller begge bibetingelsene
•«Verifiser Lagrangebetingelsene» betyr ALLE FOB, ikke bare å regne ut multiplikatorene fra to likninger — du må sette begge multiplikatorene inn i den TREDJE FOB og vise at den holder
•Glemmer at Lagrangebetingelsene inkluderer stasjonaritet av Lagrangefunksjonen — kun å sjekke at punktet er tillatt (admissibelt) er ikke nok
•Bruker envelop-teoremet ukritisk når bibetingelsen selv avhenger av endogene variabler

Kuhn-Tucker Conditions and Inequality Constraints

•Glemmer fortegnskravet $\lambda_j \geq 0$ — dette er det som skiller KT fra Lagrange
•Glemmer komplementær slakkhet — du MÅ sjekke om $\lambda_j(g_j-b_j)=0$ for hvert $j$
•Slutter analysen etter å ha funnet ett kandidatpunkt — det kan finnes flere kandidater (ulike aktive sett)
•Bruker KT-betingelsene for likhetsbibetingelser der Lagrange er korrekt — les oppgaven nøye

Integration by Parts and Improper Integrals

•Velger feil $u$ og $dv$ — logaritmer og polynomer bør deriveres (velges som $u$), ikke integreres
•Glemmer å evaluere $[fg]_a^b$-leddet ved bestemte integraler — begge grenser må settes inn
•Overser at polen (singulariteten) ligger INNE i integrasjonsintervallet — da må integralet splittes i to uegentlige integraler, og BEGGE må konvergere. Et $\ln$-ledd som går mot $-\infty$ ved polen avslører divergens
•Deriverer $(\ln z)^2$ feil — kjerneregelen gir $\frac{d}{dz}(\ln z)^2 = 2\ln z\cdot\frac1z$, ikke $2\ln z$
•Bruker Leibniz' fulle formel (med varierende grenser) når grensene er konstante — da er kun integralleddet ikke-null
•Forveksler delvis integrasjon med substitusjon — $(y^2+1)^3$ er IKKE $(y^2)^3+1^3$; substitusjon er ikke pensum, så ekspander polynomet eller bruk gjentatt delvis integrasjon

Differential Equations (First-Order Linear and Separable)

•Setter inn initialbetingelsen i kun den partikulære løsningen — $C$ finnes fra den GENERELLE løsningen
•Deler på $g(x)$ i en separabel likning UTEN å sjekke om $g$ har nullpunkter — sensor kaller dette «a grave sin». Hvert nullpunkt $g(x_0)=0$ gir en egen konstant løsning $x\equiv x_0$ som ofte ER en av løsningene oppgaven spør om
•Feil fortegn på $a(t)$ i $A(t)=\int a(t)\,dt$ — integrèr $+a(t)$, ikke $-a(t)$
•Bruker gjettingsmetoden uten å verifisere — sett alltid den partikulære løsningen tilbake i likningen

Convexity, Concavity and Unconstrained Optimization

•Sjekker Hessian-betingelsen kun i ett punkt og konkluderer globalt — betingelsen MÅ gjelde overalt
•Glemmer å sjekke $f_{xx}$ i tillegg til $H$ — $H\geq 0$ alene sier ingenting om konveks vs. konkav
•Klassifiserer feil: $H<0$ er sadelpunkt, IKKE minimum
•Beregner Hessian-determinanten feil: husk at $H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$, ikke $f_{xx}f_{yy}+f_{xy}^2$

Homogeneous Functions and Euler's Theorem

•Sjekker bare noen verdier av $t$ og konkluderer homogenitet — definisjonen krever at det gjelder for ALLE $t>0$
•Anvender Eulers teorem uten å verifisere at funksjonen faktisk er homogen
•Forveksler «homogen av grad 0» (skalainvariant) med «lineært homogen» (grad 1)
•Glemmer at summen av ledd av ulik grad (f.eks. $x+x^2$) IKKE er homogen

Dynamic Programming and Bellman Equations

•Løser FREMOVER i stedet for BAKOVER — dynamisk programmering starter alltid fra $T$ og jobber mot $t_0$
•Glemmer terminalbetingelsen $V_T$ — dette er startpunktet for baklengs induksjon
•Blander diskonteringsfaktor $\beta = 1/(1+d)$ med rente $r$ — de er forskjellige størrelser
•Ved induksjonsbevis: glemmer å verifisere basistilfellet $V_T(x_T)$ eksplisitt

Difference Equations

•Blander $a$ i differenslikning ($Ca^t$) med $a$ i differensiallikning ($Ce^{at}$) — ulike former
•Gjetter feil form: $b_t=7-2^{-t}$ krever begge ledd $h+q\cdot 2^{-t}$, ikke bare ett av dem
•Resonansfeil: hvis $b_t\propto a^t$ (presis resonans), må du gjette $t\cdot a^t$, ikke $a^t$
•Setter inn $t+1$ feil: $x_p(t+1) = q\cdot 2^{-(t+1)} = q\cdot 2^{-t}/2$, ikke $q\cdot 2^{-t}-1$

Cramer's Rule and Equation Systems with Parameters

•Erstatter feil kolonne — kolonne $i$ (ikke rad $i$) erstattes av $\mathbf{b}$
•Bruker Cramers regel uten å verifisere $\det(\mathbf{A})\neq 0$ — regelen er ugyldig ellers
•Beregner $\det(\mathbf{A}_i)$ feil — husk at $\mathbf{b}$ erstatter én kolonne, resten av matrisen er uendret
•Glemmer at oppgaven kan be om å vise at $x_i=0$ — da holder det å vise $\det(\mathbf{A}_i)=0$

Eksamenstips

Implicit Function Theorem and Comparative Statics

•Verifiser at det gitte punktet tilfredsstiller de opprinnelige likningene — dette avslører avskrivningsfeil
•Skriv det differensierte systemet eksplisitt på matriseform — gir oversikt og lar deg bruke Cramers regel
•For approksimasjon: $\Delta p = p_{ny} - p_0$ kan være en brøk — beregn den nøye
•Oppgaven gir alltid et hint i parentes (f.eks. H2024: «it might be useful to write some terms as n/16») — bruk det

Linear Algebra: Matrix Operations and Products

•Skriv dimensjonene (m×n) eksplisitt ved siden av hvert matrisesymbol — dimensjonssjekken tar 10 sekunder og gir sikre poeng
•Oppgaven spør typisk: «One or more of the five products will be square but not of order 4×4. Calculate it» — $\mathbf{M}'\mathbf{M}$ er alltid kandidaten
•Ved beregning av $\mathbf{M}'\mathbf{M}$: kolonne $j$ i $\mathbf{M}$ gir rad $j$ i $\mathbf{M}'$ — tenk dot-produkter av kolonner

Determinants, Invertibility and Linear Systems

•Ekspander alltid langs raden/kolonnen med flest nuller — sparer tid og reduserer regnefeil
•Faktoriser determinanten som funksjon av parameteren — gjør det lett å finne nullpunktene
•Når oppgaven ber om å «vise» at en invers er korrekt: verifiser $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ i stedet for å beregne inversen på nytt
•Når du har $\mathbf{A}^{-1}$, er løsningen $\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ — ren matrisemultiplikasjon
•Sensorveiledningene advarer gjentatte ganger mot den falske ekvivalensen «$\det\neq 0\Leftrightarrow$ løsning eksisterer». Hvis oppgaven OPPGIR at $\mathbf{x}_0$ er en løsning, finnes det per definisjon en løsning — uavhengig av determinanten. Determinanten avgjør kun ENTYDIGHET.
•Les radene i en radredusert utvidet matrise korrekt: en rad $(0\;0\;0\;0\,|\,1)$ betyr $0=1$ (ingen løsning), mens $(0\;1\;0\;0\,|\,0)$ betyr $x_2=0$ — to helt forskjellige ting

Constrained Optimization: Lagrange Conditions

•Skriv opp ALLE FOB eksplisitt før du begynner å løse — oversikt er avgjørende med mange variabler
•For skyggeprisoppgaver: $\Delta V^* \approx \lambda_j \cdot \Delta b_j$ — tre linjer og sikre poeng. Sensor påpeker at svært få studenter på masternivå faktisk PEKER PÅ at multiplikatoren ER skyggeprisen — gjør det eksplisitt og du skiller deg ut
•Verifiser kandidatpunktet i FOB ved direkte innsetting — raskere enn å løse systemet
•Hvis konveksitetsbeviset er en separat deloppgave (typisk del (a) eller (b)), løs det FØR optimalitetsargumentet
•Trivariat konkavitet er ikke pensum — bruk i stedet at en sum av konkave (eller konvekse) funksjoner arver egenskapen (D7/D8), så holder en $2\times2$-Hessian pluss en énvariabel-andrederivert

Kuhn-Tucker Conditions and Inequality Constraints

•Start med å telle opp alle mulige kombinasjoner av aktive/inaktive bibetingelser — er det 2 bibetingelser, er det 4 kombinasjoner
•Sjekk alltid feasibility (at kandidatpunktet oppfyller bibetingelsene) — dette er et vanlig sted å tape poeng
•KT er tatt ut av pensum fra 2024 — fokuser på Lagrange (likhetsbetingelser) for nyere eksamener

Integration by Parts and Improper Integrals

•Skriv alltid eksplisitt: «La $u=\ldots$, $dv=\ldots$, da er $du=\ldots$, $v=\ldots$» — dette tvinger deg til å tenke og gir poeng
•For parameterintegral $J(t)$: derivasjon mhp $t$ gir $\int x e^{tx}\,dx$ — Leibniz brukes direkte
•Verifiser svaret ved derivering — denne sjekken tar 30 sekunder og avslører feil
•H2024(5d): $\int(y^2+1)^3 \cdot 2y\,dy$ uten substitusjon — ekspander $(y^2+1)^3$ og integrer ledd for ledd

Differential Equations (First-Order Linear and Separable)

•Identifiser umiddelbart: er likningen lineær ($\dot{x}+a(t)x=b(t)$) eller separabel ($\dot{x}=f(t)g(x)$)?
•For gjetting: hvert ledd i $b(t)$ tilsvarer et ledd i $x_p$ — $7$ gir konstant, $2^{-t}$ gir $q\cdot 2^{-t}$
•Verifiser partikulær løsning ved direkte innsetting — ta 1 minutt og unngå å miste poeng
•H2025(4c): vis at $\hat{I}+C/t$ løser ODE-en ved å sette inn og bruke at $\hat{I}$ løser den

Convexity, Concavity and Unconstrained Optimization

•For $f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$: $H=4ac-b^2$ (beregn i hodet), $f_{xx}=2a$
•Konveksitetssjekken tar 3–4 linjer og gir direkte poeng — gjør den alltid eksplisitt
•Bruk summeregelargumentet (D7) for summer — mye enklere enn $3\times 3$-Hessian
•Husk: for ubegrenset optimering er stasjonæritet nødvendig, men konveksitet/konkavitet beviser globalitet

Homogeneous Functions and Euler's Theorem

•Raskeste sjekk: sett inn $(tx,ty)$ og faktoriser ut $t^k$ — hvis det ikke går, er funksjonen ikke homogen
•For polynomer: sjekk om alle ledd har samme totale potens — $ax^2+bxy+cy^2$ er grad 2, $x+xy$ er ikke homogen
•Eulers teorem brukes i oppgaver der du skal vise en bestemt relasjon mellom $F$, $F_x$ og $F_y$
•Homotetisitet er et svakere krav — bruk det når nyttefunksjonen er en strikt stigende transformasjon av en homogen funksjon

Dynamic Programming and Bellman Equations

•Vis baklengs induksjon eksplisitt: «Vi starter med $v_T$, beregner $v_{T-1}$» — sett opp FOB og løs
•Verdifunksjonen beholder typisk sin form (kvadratisk → kvadratisk): gjett formen og verifiser
•For stoppeproblemer: sammenlign «stopp nå»-verdi og «fortsett»-verdi direkte — vis ulikheten tydelig
•Oppgi alltid den optimale policyen ($c_t^*$ som funksjon av $x_t$) i tillegg til verdifunksjonen

Difference Equations

•Skriv opp gjettingen, sett inn, og sammenlign koeffisienter for hvert type ledd (eksponential, konstant) separat
•Bruk alltid den GENERELLE løsningen (homogen + partikulær) for å finne $C$ fra initialbetingelsen
•H2024-eksamen gir deg valget mellom differenslikning og differensiallikning — begge gir full uttelling
•Sjekk svaret ved $t=0$: verifiser at $x_0$ stemmer og sett inn i likningen for $t=0$

Cramer's Rule and Equation Systems with Parameters

•Hvis oppgaven sier «bruk Cramers regel», gi null poeng for Gauss-eliminasjon — les instruksjonen
•For å vise $x_i=0$: beregn $\det(\mathbf{A}_i)$ og vis at den er null — ikke løs hele systemet
•Kombiner med beregningene fra determinant-seksjonen — har du allerede $\det(\mathbf{A})$, trenger du bare $\det(\mathbf{A}_i)$
•Etter implisitt differensiering: systemet er allerede satt opp — bruk Cramers regel direkte på det differensierte systemet