ECON3120 · UiO

Studieguide for ECON3120 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra

Komplett pensumoversikt for mathematics 2: calculus and linear algebra ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra er et avansert matematikkurs for økonomistudenter ved UiO. Kurset deles mellom bachelor- og masternivå (ECON3120/4120) og avholdes på engelsk. Eksamen er en 4-timers skriftlig skoleeksamen i Inspera med vedlegget «Rules and formulas» og enkel kalkulator. Typisk format er 4–5 problemer med 2–5 bokstavdeler (a, b, c …), der hvert bokstavpunkt teller likt.

Basert på eksamener fra 2019–2025 er følgende temaer alltid representert: implisitt derivasjon av likningssystemer, lineær algebra (matriser, determinanter, Cramers regel), Lagrange-optimering med konveksitetsbevis, integrasjon ved delvis integrasjon, og førsteordens differensiallikninger. Fra og med H2024 er dynamisk programmering og differenslikninger lagt til pensum, mens Kuhn-Tucker er tatt ut. Du må beherske alle disse temaene for å oppnå god karakter. Vis alltid utregninger og begrunn hvert steg — «state reasons for all your answers» er instruksjonen som gjentas på alle eksamener.

En sentral egenskap ved eksamen er at deloppgaver bygger på hverandre: resultater fra (a) brukes i (c), og du har eksplisitt lov til å bruke informasjon fra en deloppgave selv om du ikke klarte å løse den. Lær deg å lese oppgavesettet raskt og identifisere disse koblingene før du begynner å skrive.

Implicit Function Theorem and Comparative Statics

Eksamensrelevant

Differensiering av likningssystemer for å uttrykke endogene variabler som funksjoner av parametere, og beregning av partiellderiverte i et gitt punkt. Kommer på samtlige eksamener, typisk som Problem 1.

Grunnideen

Når et likningssystem $F_1(x_1, x_2, p) = 0$ , $F_2(x_1, x_2, p) = 0$ implisitt definerer $x_1$ og $x_2$ som differensierbare funksjoner av parameteren $p$ , kan vi finne $\partial x_1/\partial p$ og $\partial x_2/\partial p$ ved å differensiere hele systemet med hensyn på $p$ . Metoden krever ingen eksplisitt løsning for $x_1, x_2$ — kun differensiering av de opprinnelige likningene.

Fremgangsmåte steg for steg

Differensier begge likninger med hensyn på den aktuelle parameteren (bruk kjerneregelen og produktregelen nøye).
Skriv systemet på matriseform: $\mathbf{J}\begin{pmatrix}\partial x_1/\partial p \\ \partial x_2/\partial p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-F_{1,p} \\ -F_{2,p}\end{pmatrix}$ , der $\mathbf{J}$ er Jacobian-matrisen med partielle deriverte av $F_1, F_2$ med hensyn på $x_1, x_2$ .
Evaluer Jacobian-matrisen og høyresiden i det gitte punktet.
Løs $2 \times 2$ -systemet for de ønskede deriverte — bruk Cramers regel eller direkte eliminasjon.

Linearisering og approksimasjon

De beregnede deriverte brukes deretter til å approksimere funksjonsverdier nær det gitte punktet. Hvis $x = x(p)$ og vi kjenner $x(p_0)$ og $x'(p_0)$ , er lineariseringsformelen $x(p_0 + \Delta p) \approx x(p_0) + x'(p_0) \cdot \Delta p$ . For systemer med flere parametere brukes tilsvarende partiell linearisering.

Typiske varianter fra eksamen

Oppgavene varierer fra enkle systemer med eksponential- og potensfunksjoner til mer sammensatte etterspørselslikninger. H2023 har systemet $(4-x)^2 + yx^{3/2} - t = 5$ og $16x + 3ye^{x-1} = 24$ med $(t,x,y) = (20/3, 1, 8/3)$ og ber om approksimasjon av $x(7)$ . H2024 har et system med $(KL)^{1/3}$ -ledd og ber om $L_p'(14,1)$ . H2025 har etterspørselslikninger med $\sqrt{x_i}$ og ber om kryssprisderivert $\partial x_1/\partial p_2$ . Felles er at du må differensiere sammensatte uttrykk presist og sette inn tallverdier uten regnefeil.

Eksempel (etterspørselssystem)

System: $p_1\sqrt{x_1} - 2p_2\sqrt{x_2} = 0$ og $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$ . Finn $\partial x_1/\partial p_2$ i punktet $(x_1, x_2, p_1, p_2, m) = (9, 4, 4, 3, 48)$ .

Differensier likning 1 mhp

p_2

\frac{p_1}{2\sqrt{x_1}}\frac{\partial x_1}{\partial p_2} - \frac{p_2}{\sqrt{x_2}}\frac{\partial x_2}{\partial p_2} = 2\sqrt{x_2}

Differensier likning 2 mhp

p_2

p_1\frac{\partial x_1}{\partial p_2} + p_2\frac{\partial x_2}{\partial p_2} = -x_2

Sett inn tallverdier:

\frac{4}{6}\frac{\partial x_1}{\partial p_2} - \frac{3}{2}\frac{\partial x_2}{\partial p_2} = 4

4\frac{\partial x_1}{\partial p_2} + 3\frac{\partial x_2}{\partial p_2} = -4

Løs

2\times 2

-systemet for

\partial x_1/\partial p_2

Nøkkelformler

•$ $\mathbf{J}\begin{pmatrix}\partial x_1/\partial p \\ \partial x_2/\partial p\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}F_{1,p} \\ F_{2,p}\end{pmatrix}$ $ — Differensiert system på matriseform
•$ $x(p_0 + \Delta p) \approx x(p_0) + x'(p_0)\cdot\Delta p$ $ — Lineær approksimasjon
•$ $\displaystyle \frac{\partial x_i}{\partial p} = -\frac{\det(\mathbf{J}_i)}{\det(\mathbf{J})}$ $ — Cramers regel på det differensierte systemet

Vanlige feil

⚠️Differensierer sammensatte uttrykk feil — husk kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dp}[f(x(p))] = f'(x) \cdot x'(p)$ . Sensor rapporterer at mange tror $\displaystyle \frac{d}{dx}(KL)^{1/3} = (KL)^{-2/3}$ og glemmer kjerneregelen — $\displaystyle \frac{d}{dK}(KL)^{1/3} = \tfrac13 K^{-2/3}L^{1/3}$
⚠️Nuller ut feil differensial: når du søker $\partial x/\partial p$ , sett $dt=0$ og behold $dp$ — ikke nuller ut $dp$ eller en endogen $dx$
⚠️Setter inn tallverdier før differensiering — sett inn ETTER differensiering og FØR løsning av systemet
⚠️Glemmer å differensiere begge sider av likningen — høyresiden er sjelden null
⚠️Sløser tid ved å dra urørte uttrykk som $16\cdot 64^{-2/3}$ gjennom hele utregningen i stedet for å forenkle til $1$ først — forenkle tallene tidlig
⚠️Regnefeil ved innsetting av brøker og røtter — dobbeltsjekk aritmetikken med de gitte tallverdiene

Eksamenstips

💡Verifiser at det gitte punktet tilfredsstiller de opprinnelige likningene — dette avslører avskrivningsfeil
💡Skriv det differensierte systemet eksplisitt på matriseform — gir oversikt og lar deg bruke Cramers regel
💡For approksimasjon: $\Delta p = p_{ny} - p_0$ kan være en brøk — beregn den nøye
💡Oppgaven gir alltid et hint i parentes (f.eks. H2024: «it might be useful to write some terms as n/16») — bruk det

Laster...

Laster…

Introduksjon