Hvorfor dette temaet er viktigst av alle

Solow-modellen er den mest eksaminerte modellen i ECON2310. Den var hovedmodell på H2018 og H2020, på «Vekst»-delen av H2021, og den var hele oppgaven på de utsatte eksamenene høsten 2023, 2024 og 2025. Formuleringen går igjen nesten ordrett: «Sett opp en modell med fire hovedegenskaper …». Kan du denne modellen med figurer, er du sikret et solid grunnlag.

Grunnmodellen

Alt måles per arbeider. La \(k = K/L\) være kapital per arbeider og \(y = f(k)\) produksjon per arbeider. Kapitalen per arbeider utvikler seg slik:

\[\Delta k = \gamma f(k) - (\delta + n)k\]

der \(\gamma\) er spareraten (investeringsandelen), \(\delta\) er kapitalslitraten og \(n\) er befolkningens vekstrate. Merk at eksamenssettene bytter mellom symbolene: H2020 bruker \(\gamma\), H2021 og H2025 bruker \(s\), og H2025 skriver kapitalslit som \(d\) i stedet for \(\delta\). Innholdet er identisk — bruk gjerne den notasjonen oppgaven oppgir.

Det første leddet, \(\gamma f(k)\), er sparing og dermed realinvestering per arbeider. Det andre leddet er kapitalbehovet: \(\delta k\) går til å erstatte utslitt kapital, og \(nk\) går til å utruste de nye arbeiderne med like mye kapital som de gamle har. Kommer det mer inn enn det som forsvinner, stiger \(k\).

De fire antagelsene sensor spør etter

Eksamensteksten ber om «fire hovedegenskaper», og sensorveiledningene premierer at du gjør dem eksplisitt:

\(f'(k) > 0\): produksjon per arbeider stiger når kapital per arbeider stiger.
\(f''(k) < 0\): virkningen er avtakende og etter hvert minimal. Begrunnelsen sensor vil se (H2025-utsatt punkt 2) er at produktfunksjonen \(Y = F(K, L)\) har konstant skalaavkastning. Øker du bare \(K\) og holder \(L\) fast, gir hver ny maskin mindre og mindre tilleggsproduksjon.
Nedbrytning: kapital per arbeider synker av befolkningsvekst \(n\) og kapitalslit \(\delta\).
Fast sparerate: realinvesteringene utgjør en konstant andel \(\gamma\) av produksjonen.

Steady state

Steady state er den kapitalintensiteten \(k^*\) der \(\Delta k = 0\):

\[\gamma f(k^*) = (\delta + n)k^*\]

I figuren er dette skjæringspunktet mellom den konkave sparekurven \(\gamma f(k)\) og den rette nedbrytningsstrålen \((\delta + n)k\) fra origo. Er \(k < k^*\), ligger sparekurven over strålen, \(\Delta k > 0\), og \(k\) vokser. Er \(k > k^*\), er det motsatt. Steady state er derfor stabil, og \(k\) nærmer seg \(k^*\) asymptotisk.

Presisering som skiller besvarelser: i steady state er kapital per arbeider konstant, men samlet kapital \(K\) og samlet BNP \(Y\) vokser fortsatt med takten \(n\). Sensorveiledningen for H2021 sier rett ut at en påstand om at \(Y\) og \(K\) ikke endrer seg i steady state er «positivt feil».

Gjennomregnet eksempel

La \(f(k) = \sqrt{k}\), \(\gamma = 0{,}24\), \(\delta = 0{,}05\) og \(n = 0{,}01\). Steady state krever \(0{,}24\sqrt{k^*} = 0{,}06\,k^*\), altså \(\sqrt{k^*} = 0{,}24/0{,}06 = 4\) og

\[k^* = 16, \qquad y^* = \sqrt{16} = 4, \qquad c^* = (1-\gamma)y^* = 0{,}76 \cdot 4 = 3{,}04\]

Kontroll: sparing per arbeider er \(0{,}24 \cdot 4 = 0{,}96\), og nedbrytningen er \(0{,}06 \cdot 16 = 0{,}96\). De er like, så \(\Delta k = 0\).

Virkningen av høyere sparerate

La \(\gamma\) stige varig fra \(0{,}24\) til \(0{,}30\). Sparekurven roterer oppover, og ny steady state blir \(\sqrt{k^{**}} = 0{,}30/0{,}06 = 5\), altså \(k^{**} = 25\) og \(y^{**} = 5\).

På kort sikt ligger \(k\) fortsatt på 16, så \(y\) er uendret 4. Men konsumandelen er redusert: \(c = (1 - 0{,}30) \cdot 4 = 2{,}80\), som er lavere enn de opprinnelige \(3{,}04\). Konsum per arbeider faller altså på kort sikt.
På lang sikt er \(c^{**} = 0{,}70 \cdot 5 = 3{,}50 > 3{,}04\). Både produksjon og konsum per arbeider ender høyere.

Dette er nøyaktig avveiningen H2020 punkt 5 og H2025-utsatt punkt 5–6 spør etter: du gir opp konsum nå for å få mer senere. Legg merke til at vekstraten på lang sikt er tilbake til null for \(k\) og \(y\) — en høyere sparerate gir et nivåskift, ikke varig vekst per arbeider.

Høyere kapitalslit eller befolkningsvekst

Stiger \(\delta\) fra \(0{,}05\) til \(0{,}09\) (med \(\gamma = 0{,}24\), \(n = 0{,}01\)), blir strålen brattere: \(\sqrt{k^*} = 0{,}24/0{,}10 = 2{,}4\), så \(k^* = 5{,}76\) og \(y^* = 2{,}4\). Startet økonomien i den gamle likevekten, skjer det ingenting på kort sikt — \(k\) er en beholdning og endrer seg ikke brått. Over tid synker både \(y\) og \(c\). Høyere \(n\) virker likt på \(k\) og \(y\), men sensorveiledningen for H2023-utsatt påpeker en forskjell: ser du på samlede størrelser \(Y\) og \(K\), er høyere befolkningsvekst mindre negativt enn høyere kapitalslit, fordi flere arbeidere også produserer mer.

Golden rule

Ikke enhver sparerate er ønskelig. Konsum per arbeider i steady state er

\[c^* = f(k^*) - (\delta + n)k^*\]

Maksimering med hensyn på \(k^*\) gir betingelsen

\[f'(k^*_{GR}) = \delta + n\]

Grafisk: der produktfunksjonens helning er lik nedbrytningsstrålens helning, altså der avstanden mellom \(f(k)\) og \((\delta+n)k\) er størst.

Med \(f(k) = \sqrt{k}\) og \(\delta + n = 0{,}06\): \(f'(k) = 0{,}5k^{-1/2} = 0{,}06\) gir \(\sqrt{k} = 0{,}5/0{,}06 = 8{,}333\), altså \(k_{GR} = 69{,}44\) og \(y_{GR} = 8{,}333\). Spareraten som gir dette, følger av steady state-betingelsen:

\[\gamma_{GR} = \frac{(\delta+n)k_{GR}}{f(k_{GR})} = \frac{0{,}06 \cdot 69{,}44}{8{,}333} = 0{,}50\]

og konsumet blir \(c_{GR} = 0{,}50 \cdot 8{,}333 = 4{,}17\). Siden vår opprinnelige \(\gamma = 0{,}24\) er godt under \(0{,}50\), sparer denne økonomien for lite: den kan øke langsiktig konsum fra \(3{,}04\) til \(4{,}17\). Motsatt: hadde \(\gamma\) vært over \(0{,}50\), ville lavere sparing gitt høyere konsum både på kort og lang sikt.

Flere likevekter og fattigdomsfeller

Dette er sluttspørsmålet som skiller de beste besvarelsene, og det har kommet i tre varianter: spareraten avhenger av inntekt (H2020 punkt 6, H2025-utsatt punkt 8) eller befolkningsveksten avhenger av inntekt (H2024-utsatt punkt 7).

Anta \(f(k) = \sqrt{k}\), \(\delta + n = 0{,}06\), og at spareraten er \(\gamma = 0{,}10\) når \(y < 2\) og \(\gamma = 0{,}40\) når \(y \geq 2\). Terskelen \(y = 2\) svarer til \(k = 4\).

Lav likevekt: \(0{,}10\sqrt{k} = 0{,}06k\) gir \(\sqrt{k} = 1{,}667\), altså \(k = 2{,}78\) og \(y = 1{,}67\). Siden \(1{,}67 < 2\), er lavspareregimet det riktige her — likevekten er gyldig og stabil.
Høy likevekt: \(0{,}40\sqrt{k} = 0{,}06k\) gir \(\sqrt{k} = 6{,}667\), altså \(k = 44{,}44\) og \(y = 6{,}67 \geq 2\). Også gyldig og stabil.
Terskelen \(k = 4\) er ustabil: ved \(k = 3\) er sparingen \(0{,}10\sqrt{3} = 0{,}173\) mot nedbrytning \(0{,}18\), så \(\Delta k < 0\) og økonomien glir ned mot \(2{,}78\). Ved \(k = 4^+\) er sparingen \(0{,}40 \cdot 2 = 0{,}80\) mot nedbrytning \(0{,}24\), så \(\Delta k > 0\) og økonomien vokser mot \(44{,}44\).

Sparekurven består altså av to segmenter og krysser strålen på to steder. Et land som starter under terskelen, blir fanget i den lave likevekten — det er innholdet i begrepet fattigdomsfelle. Poenget er ikke at landet er dømt, men at det trenger et engangsløft av \(k\) over terskelen; deretter bærer dynamikken seg selv.

Studieguide: Solow-vekstmodellen