Grunnmodellen

Solow-vekstmodellen beskriver hvordan en økonomi akkumulerer kapital over tid. Alt måles per arbeider. La $k = K/L$ være kapital per arbeider og $y = f(k)$ være produksjon per arbeider. Kapitalakkumulasjonen følger:

$$\Delta k = \gamma f(k) - (\delta + n)k$$

der $\gamma$ er spareraten, $\delta$ er kapitalslitraten og $n$ er befolkningsvekstraten. Det første leddet er sparing (investeringer) per arbeider. Det andre leddet er det samlede kapitalbehovet: $\delta k$ til å erstatte slitt kapital og $nk$ til å utstyre nye arbeidere med like mye kapital som de eksisterende.

Antagelser i modellen

Sensorveiledningen (H2020) understreker at en god besvarelse forklarer antagelsene: (1) Produksjonsfunksjonen $f(k)$ er konkav og stigende -- avtakende marginalprodukt av kapital. (2) Modellen er målt i enheter per arbeider (homogenitet av grad 1 i $K$ og $L$). (3) Alle land sparer en konstant andel $\gamma$ av produksjonen. (4) I en lukket økonomi er $\gamma$ fullt dekkende for sparerate, men i en åpen økonomi kan kapital ogsa finansieres via utenlandsk direkte investering og lan.

Steady state

Steady state er den kapitalintensiteten $k^*$ der $\Delta k = 0$:

$$\gamma f(k^*) = (\delta + n)k^*$$

I figuren er dette skjaringspunktet mellom sparekurven $\gamma f(k)$ og nedbrytningsstrålen $(\delta + n)k$. Viktig presisering: i steady state er $k$ (kapital per arbeider) konstant, men total kapital $K$ og totalt BNP $Y$ vokser med takt $n$ (befolkningsvekstraten). Steady state betyr altsa ikke null vekst i økonomien -- det betyr konstant kapital per arbeider.

Dynamikken mot steady state

Når $k < k^*$ er $\gamma f(k) > (\delta + n)k$, så $\Delta k > 0$ og kapital per arbeider stiger. Når $k > k^*$ er det motsatt og $k$ synker. Steady state er stabilt. Vekstraten er høy når $k$ er langt under $k^*$ og avtar gradvis. Dette er konvergensprediksjon: fattige land vokser raskere enn rike -- et empirisk testbart resultat.

Effekt av økt sparerate

Når $\gamma$ stiger, roterer sparekurven oppover. Det opprinnelige $k^*$ har nå overskuddssparing, så $\Delta k > 0$ og $k$ stiger til et nytt og høyere $k^{**}$. Kortsiktig (under overgangen): produksjon per arbeider stiger, men konsum per arbeider kan synke på kort sikt fordi en større andel av produksjonen spares. Langsiktig: bade produksjon og konsum per arbeider er høyere enn for, men vekstraten er igjen null.

Golden rule

Ikke alle verdier av $k^*$ gir høyest mulig konsum per arbeider på lang sikt. Konsum per arbeider er $(1-\gamma)f(k^*) = f(k^*) - (\delta + n)k^*$. Dette maksimeres der:

$$f'(k^*_{GR}) = \delta + n$$

Golden rule-spareraten gir den kapitalintensiteten der helningen på produksjonsfunksjonen er lik helningen på nedbrytningsstrålen. Grafisk: tangentlinjen fra origo til $f(k)$ med helning $(\delta + n)$. Dersom $k^* > k^*_{GR}$ sparer økonomien for mye -- konsumet kan okes ved å redusere spareraten. Dersom $k^* < k^*_{GR}$ er det rom for økt sparing som på lang sikt øke konsumet.

Fattigdomsfeller

Dersom spareraten avhenger av inntektsnivået -- lav $\gamma_l$ for $k < \hat{k}$ og høy $\gamma_h$ for $k > \hat{k}$ -- far sparekurven et trappetrinn. Kurven kan da krysse nedbrytningsstrålen to steder: en lav likevekt (fattigdomsfellen) og en høy likevekt. Begge er stabile. En økonomi som starter i den lave likevekten forblir der. Et stort eksogent bidrag (bistand, kapitalinnsproyting) kan skyve økonomien forbi terskelen $\hat{k}$ og frikoplere den til den høye likevekten -- det er begrunnelsen for storskalahjelp til fattige land.

Eksempel 1 -- Steady state med befolkningsvekst (H2021, H2020)

Når befolkningen vokser med rate $n = 0{,}02$ og kapitalslit er $\delta = 0{,}05$, er nedbrytningsstrålen $(n+\delta)k = 0{,}07k$. Steady state der $\gamma f(k^*) = 0{,}07k^*$. Når $n$ stiger fra 0,02 til 0,03, roterer strålen brattere og $k^*$ synker -- høyere befolkningsvekst gir lavere kapital og BNP per arbeider i steady state. Men totalt BNP vokser raskere. Sensorveiledningen understreker at K og Y vokser selv om k er stabil.

Eksempel 2 -- Økt sparerate (H2021, oppgave 2)

Spareraten stiger fra $\gamma_1$ til $\gamma_2$. På kort sikt: konsum per arbeider synker midlertidig fordi en større andel spares. Produksjon per arbeider stiger på vei mot nytt steady state. På lang sikt: produksjon og konsum per arbeider er begge høyere. Sensorveiledningen påpeker at spørsmål om golden rule ikke er et absolutt krav for god karakter, men at de beste besvarelsene diskuterer om utgangspunktet var over eller under golden rule.

Studieguide: Solow-vekstmodellen