Studieguide for ECON2310 Makroøkonomi 2

Hvorfor dette temaet er viktigst av alle

Solow-modellen er den mest eksaminerte modellen i ECON2310. Den var hovedmodell på H2018 og H2020, på «Vekst»-delen av H2021, og den var hele oppgaven på de utsatte eksamenene høsten 2023, 2024 og 2025. Formuleringen går igjen nesten ordrett: «Sett opp en modell med fire hovedegenskaper …». Kan du denne modellen med figurer, er du sikret et solid grunnlag.

Grunnmodellen

Alt måles per arbeider. La $k = K/L$ være kapital per arbeider og $y = f(k)$ produksjon per arbeider. Kapitalen per arbeider utvikler seg slik:

$$\Delta k = \gamma f(k) - (\delta + n)k$$

der $\gamma$ er spareraten (investeringsandelen), $\delta$ er kapitalslitraten og $n$ er befolkningens vekstrate. Merk at eksamenssettene bytter mellom symbolene: H2020 bruker $\gamma$, H2021 og H2025 bruker $s$, og H2025 skriver kapitalslit som $d$ i stedet for $\delta$. Innholdet er identisk — bruk gjerne den notasjonen oppgaven oppgir.

Det første leddet, $\gamma f(k)$, er sparing og dermed realinvestering per arbeider. Det andre leddet er kapitalbehovet: $\delta k$ går til å erstatte utslitt kapital, og $nk$ går til å utruste de nye arbeiderne med like mye kapital som de gamle har. Kommer det mer inn enn det som forsvinner, stiger $k$.

De fire antagelsene sensor spør etter

Eksamensteksten ber om «fire hovedegenskaper», og sensorveiledningene premierer at du gjør dem eksplisitt:

1. $f'(k) > 0$: produksjon per arbeider stiger når kapital per arbeider stiger.
2. $f''(k) < 0$: virkningen er avtakende og etter hvert minimal. Begrunnelsen sensor vil se (H2025-utsatt punkt 2) er at produktfunksjonen $Y = F(K, L)$ har konstant skalaavkastning. Øker du bare $K$ og holder $L$ fast, gir hver ny maskin mindre og mindre tilleggsproduksjon.
3. Nedbrytning: kapital per arbeider synker av befolkningsvekst $n$ og kapitalslit $\delta$.
4. Fast sparerate: realinvesteringene utgjør en konstant andel $\gamma$ av produksjonen.

Steady state

Steady state er den kapitalintensiteten $k^*$ der $\Delta k = 0$:

$$\gamma f(k^*) = (\delta + n)k^*$$

I figuren er dette skjæringspunktet mellom den konkave sparekurven $\gamma f(k)$ og den rette nedbrytningsstrålen $(\delta + n)k$ fra origo. Er $k < k^*$, ligger sparekurven over strålen, $\Delta k > 0$, og $k$ vokser. Er $k > k^*$, er det motsatt. Steady state er derfor stabil, og $k$ nærmer seg $k^*$ asymptotisk.

Presisering som skiller besvarelser: i steady state er kapital per arbeider konstant, men samlet kapital $K$ og samlet BNP $Y$ vokser fortsatt med takten $n$. Sensorveiledningen for H2021 sier rett ut at en påstand om at $Y$ og $K$ ikke endrer seg i steady state er «positivt feil».

Gjennomregnet eksempel

La $f(k) = \sqrt{k}$, $\gamma = 0{,}24$, $\delta = 0{,}05$ og $n = 0{,}01$. Steady state krever $0{,}24\sqrt{k^*} = 0{,}06\,k^*$, altså $\sqrt{k^*} = 0{,}24/0{,}06 = 4$ og

$$k^* = 16, \qquad y^* = \sqrt{16} = 4, \qquad c^* = (1-\gamma)y^* = 0{,}76 \cdot 4 = 3{,}04$$

Kontroll: sparing per arbeider er $0{,}24 \cdot 4 = 0{,}96$, og nedbrytningen er $0{,}06 \cdot 16 = 0{,}96$. De er like, så $\Delta k = 0$.

Virkningen av høyere sparerate

La $\gamma$ stige varig fra $0{,}24$ til $0{,}30$. Sparekurven roterer oppover, og ny steady state blir $\sqrt{k^{**}} = 0{,}30/0{,}06 = 5$, altså $k^{**} = 25$ og $y^{**} = 5$.

• På kort sikt ligger $k$ fortsatt på 16, så $y$ er uendret 4. Men konsumandelen er redusert: $c = (1 - 0{,}30) \cdot 4 = 2{,}80$, som er lavere enn de opprinnelige $3{,}04$. Konsum per arbeider faller altså på kort sikt.
• På lang sikt er $c^{**} = 0{,}70 \cdot 5 = 3{,}50 > 3{,}04$. Både produksjon og konsum per arbeider ender høyere.

Dette er nøyaktig avveiningen H2020 punkt 5 og H2025-utsatt punkt 5–6 spør etter: du gir opp konsum nå for å få mer senere. Legg merke til at vekstraten på lang sikt er tilbake til null for $k$ og $y$ — en høyere sparerate gir et nivåskift, ikke varig vekst per arbeider.

Høyere kapitalslit eller befolkningsvekst

Stiger $\delta$ fra $0{,}05$ til $0{,}09$ (med $\gamma = 0{,}24$, $n = 0{,}01$), blir strålen brattere: $\sqrt{k^*} = 0{,}24/0{,}10 = 2{,}4$, så $k^* = 5{,}76$ og $y^* = 2{,}4$. Startet økonomien i den gamle likevekten, skjer det ingenting på kort sikt — $k$ er en beholdning og endrer seg ikke brått. Over tid synker både $y$ og $c$. Høyere $n$ virker likt på $k$ og $y$, men sensorveiledningen for H2023-utsatt påpeker en forskjell: ser du på samlede størrelser $Y$ og $K$, er høyere befolkningsvekst mindre negativt enn høyere kapitalslit, fordi flere arbeidere også produserer mer.

Golden rule

Ikke enhver sparerate er ønskelig. Konsum per arbeider i steady state er

$$c^* = f(k^*) - (\delta + n)k^*$$

Maksimering med hensyn på $k^*$ gir betingelsen

$$f'(k^*_{GR}) = \delta + n$$

Grafisk: der produktfunksjonens helning er lik nedbrytningsstrålens helning, altså der avstanden mellom $f(k)$ og $(\delta+n)k$ er størst.

Med $f(k) = \sqrt{k}$ og $\delta + n = 0{,}06$: $f'(k) = 0{,}5k^{-1/2} = 0{,}06$ gir $\sqrt{k} = 0{,}5/0{,}06 = 8{,}333$, altså $k_{GR} = 69{,}44$ og $y_{GR} = 8{,}333$. Spareraten som gir dette, følger av steady state-betingelsen:

$$\gamma_{GR} = \frac{(\delta+n)k_{GR}}{f(k_{GR})} = \frac{0{,}06 \cdot 69{,}44}{8{,}333} = 0{,}50$$

og konsumet blir $c_{GR} = 0{,}50 \cdot 8{,}333 = 4{,}17$. Siden vår opprinnelige $\gamma = 0{,}24$ er godt under $0{,}50$, sparer denne økonomien for lite: den kan øke langsiktig konsum fra $3{,}04$ til $4{,}17$. Motsatt: hadde $\gamma$ vært over $0{,}50$, ville lavere sparing gitt høyere konsum både på kort og lang sikt.

Flere likevekter og fattigdomsfeller

Dette er sluttspørsmålet som skiller de beste besvarelsene, og det har kommet i tre varianter: spareraten avhenger av inntekt (H2020 punkt 6, H2025-utsatt punkt 8) eller befolkningsveksten avhenger av inntekt (H2024-utsatt punkt 7).

Anta $f(k) = \sqrt{k}$, $\delta + n = 0{,}06$, og at spareraten er $\gamma = 0{,}10$ når $y < 2$ og $\gamma = 0{,}40$ når $y \geq 2$. Terskelen $y = 2$ svarer til $k = 4$.

• Lav likevekt: $0{,}10\sqrt{k} = 0{,}06k$ gir $\sqrt{k} = 1{,}667$, altså $k = 2{,}78$ og $y = 1{,}67$. Siden $1{,}67 < 2$, er lavspareregimet det riktige her — likevekten er gyldig og stabil.
• Høy likevekt: $0{,}40\sqrt{k} = 0{,}06k$ gir $\sqrt{k} = 6{,}667$, altså $k = 44{,}44$ og $y = 6{,}67 \geq 2$. Også gyldig og stabil.
• Terskelen $k = 4$ er ustabil: ved $k = 3$ er sparingen $0{,}10\sqrt{3} = 0{,}173$ mot nedbrytning $0{,}18$, så $\Delta k < 0$ og økonomien glir ned mot $2{,}78$. Ved $k = 4^+$ er sparingen $0{,}40 \cdot 2 = 0{,}80$ mot nedbrytning $0{,}24$, så $\Delta k > 0$ og økonomien vokser mot $44{,}44$.

Sparekurven består altså av to segmenter og krysser strålen på to steder. Et land som starter under terskelen, blir fanget i den lave likevekten — det er innholdet i begrepet fattigdomsfelle. Poenget er ikke at landet er dømt, men at det trenger et engangsløft av $k$ over terskelen; deretter bærer dynamikken seg selv.