Studieguide for ECON2310 Makroøkonomi 2

Grunnmodellen

Solow-vekstmodellen beskriver hvordan en økonomi akkumulerer kapital over tid. Alt måles per arbeider. La $k = K/L$ være kapital per arbeider og $y = f(k)$ være produksjon per arbeider. Kapitalakkumulasjonen følger:

$$\Delta k = \gamma f(k) - (\delta + n)k$$

der $\gamma$ er spareraten, $\delta$ er kapitalslitraten og $n$ er befolkningsvekstraten. Det første leddet er sparing (investeringer) per arbeider. Det andre leddet er det samlede kapitalbehovet: $\delta k$ til å erstatte slitt kapital og $nk$ til å utstyre nye arbeidere med like mye kapital som de eksisterende.

Antagelser i modellen

Sensorveiledningen (H2020) understreker at en god besvarelse forklarer antagelsene: (1) Produksjonsfunksjonen $f(k)$ er konkav og stigende -- avtakende marginalprodukt av kapital. (2) Modellen er målt i enheter per arbeider (homogenitet av grad 1 i $K$ og $L$). (3) Alle land sparer en konstant andel $\gamma$ av produksjonen. (4) I en lukket økonomi er $\gamma$ fullt dekkende for sparerate, men i en åpen økonomi kan kapital ogsa finansieres via utenlandsk direkte investering og lan.

Steady state

Steady state er den kapitalintensiteten $k^*$ der $\Delta k = 0$:

$$\gamma f(k^*) = (\delta + n)k^*$$

I figuren er dette skjaringspunktet mellom sparekurven $\gamma f(k)$ og nedbrytningsstrålen $(\delta + n)k$. Viktig presisering: i steady state er $k$ (kapital per arbeider) konstant, men total kapital $K$ og totalt BNP $Y$ vokser med takt $n$ (befolkningsvekstraten). Steady state betyr altsa ikke null vekst i økonomien -- det betyr konstant kapital per arbeider.

Dynamikken mot steady state

Når $k < k^*$ er $\gamma f(k) > (\delta + n)k$, så $\Delta k > 0$ og kapital per arbeider stiger. Når $k > k^*$ er det motsatt og $k$ synker. Steady state er stabilt. Vekstraten er høy når $k$ er langt under $k^*$ og avtar gradvis. Dette er konvergensprediksjon: fattige land vokser raskere enn rike -- et empirisk testbart resultat.

Effekt av økt sparerate

Når $\gamma$ stiger, roterer sparekurven oppover. Det opprinnelige $k^*$ har nå overskuddssparing, så $\Delta k > 0$ og $k$ stiger til et nytt og høyere $k^{**}$. Kortsiktig (under overgangen): produksjon per arbeider stiger, men konsum per arbeider kan synke på kort sikt fordi en større andel av produksjonen spares. Langsiktig: bade produksjon og konsum per arbeider er høyere enn for, men vekstraten er igjen null.

Golden rule

Ikke alle verdier av $k^*$ gir høyest mulig konsum per arbeider på lang sikt. Konsum per arbeider er $(1-\gamma)f(k^*) = f(k^*) - (\delta + n)k^*$. Dette maksimeres der:

$$f'(k^*_{GR}) = \delta + n$$

Golden rule-spareraten gir den kapitalintensiteten der helningen på produksjonsfunksjonen er lik helningen på nedbrytningsstrålen. Grafisk: tangentlinjen fra origo til $f(k)$ med helning $(\delta + n)$. Dersom $k^* > k^*_{GR}$ sparer økonomien for mye -- konsumet kan okes ved å redusere spareraten. Dersom $k^* < k^*_{GR}$ er det rom for økt sparing som på lang sikt øke konsumet.

Fattigdomsfeller

Dersom spareraten avhenger av inntektsnivået -- lav $\gamma_l$ for $k < \hat{k}$ og høy $\gamma_h$ for $k > \hat{k}$ -- far sparekurven et trappetrinn. Kurven kan da krysse nedbrytningsstrålen to steder: en lav likevekt (fattigdomsfellen) og en høy likevekt. Begge er stabile. En økonomi som starter i den lave likevekten forblir der. Et stort eksogent bidrag (bistand, kapitalinnsproyting) kan skyve økonomien forbi terskelen $\hat{k}$ og frikoplere den til den høye likevekten -- det er begrunnelsen for storskalahjelp til fattige land.