Konsumentens maksimeringsproblem

En konsument med nyttefunksjon $u(x_1, x_2)$ står overfor priser $p_1$ og $p_2$ og har inntekt $m$. Konsumentens problem er å velge konsum slik at nytten maksimeres under budsjettbetingelsen:

$$\max_{x_1, x_2} u(x_1, x_2) \quad \text{gitt} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$

Vi antar at nytten er økende i begge goder ($u'_1 > 0,\; u'_2 > 0$) og at marginalnytten er avtakende ($u''_{11} < 0,\; u''_{22} < 0$). Budsjettbetingelsen holder med likhet fordi konsumenten alltid bruker hele inntekten når nytten er voksende (lokalt umettelig).

Løsning med Lagrange

Vi setter opp Lagrange-funksjonen:

$$\mathcal{L} = u(x_1, x_2) - \lambda(p_1 x_1 + p_2 x_2 - m)$$

Førstegradsbetingelsene (FOB) er:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = u'_1 - \lambda p_1 = 0$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = u'_2 - \lambda p_2 = 0$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(p_1 x_1 + p_2 x_2 - m) = 0$$

Ved å dividere de to første FOB på hverandre elimineres $\lambda$ og vi får tilpasningsbetingelsen:

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2}$$

Tolkning av tilpasningsbetingelsen

Venstresiden er den marginale substitusjonsbrøken (MRS) – konsumentens subjektive bytteforhold mellom godene. Den uttrykker hvor mange enheter av gode 2 konsumenten er villig til å gi opp for å få en ekstra enhet av gode 1, uten endring i nyttenivå. Høyresiden er det relative prisforholdet på markedet – antall enheter gode 2 man faktisk må gi opp for å kjøpe én ekstra enhet gode 1. I optimum må disse være like. Hvis MRS > prisforhold verdsetter konsumenten gode 1 mer enn markedet gjør, og kan øke nytten ved å kjøpe mer gode 1.

Grafisk fremstilling

I et $(x_1, x_2)$-diagram er budsjettlinjen en rett linje med helning $-p_1/p_2$ og skjæringspunkter $m/p_1$ på $x_1$-aksen og $m/p_2$ på $x_2$-aksen. Indifferenskurvene er konvekse kurver (buede mot origo) som viser kombinasjoner som gir lik nytte. Optimum er der den høyest oppnåelige indifferenskurven tangerer budsjettlinjen. Et punkt der indifferenskurven skjærer budsjettlinjen er ikke optimalt: konsumenten kan øke nytten ved å bevege seg langs budsjettlinjen.

Lagrange-multiplikatorens tolkning

Multiplikatoren $\lambda^*$ er skyggeprisen på inntekt: den måler hvor mye nytten øker dersom inntekten $m$ øker marginalt. Fra FOB ser vi at $\lambda = u'_1/p_1 = u'_2/p_2$ – nytten av å bruke den siste kronen er den samme uansett om den brukes på gode 1 eller gode 2. Når dette ikke gjelder, kan konsumenten forbedre sin allokering.

Eksempel – Lagrange med generell nyttefunksjon

Konsumenten maksimerer $u(c_1, c_2)$ gitt $p_1 c_1 + p_2 c_2 = m$.

$\mathcal{L} = u(c_1, c_2) - \lambda(p_1 c_1 + p_2 c_2 - m)$

FOB: $u'_1 = \lambda p_1$ og $u'_2 = \lambda p_2$

Tilpasningsbetingelse: $\dfrac{u'_1}{u'_2} = \dfrac{p_1}{p_2}$

Tolkning: I optimum er den marginale betalingsvilligheten for gode 1, målt i enheter av gode 2, lik antall enheter gode 2 man må gi opp for å kjøpe én ekstra enhet gode 1 i markedet.

Studieguide: Konsumentteori og nyttemaksimering

Studieguide: Konsumentteori og nyttemaksimering